- Cíle učení
- Příklad 1: Zvuky s nižší frekvencí jsou vydávány velkým reproduktorem, který se nazývá woofer. Výpočet vlnových délek: Jaké jsou vlnové délky slyšitelných zvuků?“
- Strategie
- Řešení
- Předpokládejte, že hodnoty frekvencí jsou přesné na dvě platné číslice. Určete známé. Hodnota vw, je dána vztahem
- Diskuse
- Vytváření souvislostí: Zkoumání s sebou domů – hlas jako zvuková vlna
- Zkontrolujte si porozumění
- Část 1
- Řešení
- Část 2
- Řešení
- Shrnutí oddílu
- Pojmové otázky
- Problémy & Cvičení
- Slovníček
- Vybraná řešení úloh & Cvičení
Cíle učení
Na konci této části budete schopni:
- Definice výšky tónu.
- Popsat vztah mezi rychlostí zvuku, jeho frekvencí a vlnovou délkou.
- Popsat vliv na rychlost zvuku při jeho šíření různými prostředími.
- Popsat vliv teploty na rychlost zvuku.
Obrázek 1. Vliv teploty na rychlost zvuku. Při výbuchu ohňostroje je světelná energie vnímána dříve než energie zvuková. Zvuk se šíří pomaleji než světlo. (kredit: Dominic Alves, Flickr)
Zvuk se stejně jako všechny vlny šíří určitou rychlostí a má vlastnosti frekvence a vlnové délky. Přímý důkaz rychlosti zvuku můžete pozorovat při sledování ohňostroje. Záblesk výbuchu je vidět mnohem dříve, než je slyšet jeho zvuk, což znamená, že se zvuk šíří konečnou rychlostí a že je mnohem pomalejší než světlo. Můžete také přímo vnímat frekvenci zvuku. Vnímání frekvence se nazývá výška tónu. Vlnovou délku zvuku přímo nevnímáme, ale nepřímým důkazem je souvislost velikosti hudebních nástrojů s jejich výškou. Malé nástroje, jako je pikola, obvykle vydávají zvuky o vysoké výšce, zatímco velké nástroje, jako je tuba, obvykle vydávají zvuky o nízké výšce. Vysoká výška tónu znamená malou vlnovou délku a velikost hudebního nástroje přímo souvisí s vlnovou délkou zvuku, který vydává. Malý nástroj tedy vydává zvuky s krátkou vlnovou délkou. Podobně platí, že velký nástroj vytváří zvuky dlouhé vlnové délky.
Vztah rychlosti zvuku, jeho frekvence a vlnové délky je stejný jako u všech vln: vw = fλ, kde vw je rychlost zvuku, f je jeho frekvence a λ je jeho vlnová délka. Vlnová délka zvuku je vzdálenost mezi sousedními stejnými částmi vlny – například mezi sousedními stlačeními, jak je znázorněno na obrázku 2. Frekvence je stejná jako frekvence zdroje a je to počet vln, které projdou daným bodem za jednotku času.
Obrázek 2. Frekvence vlnění je stejná jako frekvence zdroje. Zvuková vlna vychází ze zdroje kmitajícího s frekvencí f, šíří se rychlostí Vw a má vlnovou délku λ.
Z tabulky 1 je zřejmé, že rychlost zvuku se v různých prostředích značně liší. Rychlost zvuku v prostředí je dána kombinací tuhosti prostředí (nebo stlačitelnosti u plynů) a jeho hustoty. Čím je médium tužší (nebo méně stlačitelné), tím je rychlost zvuku vyšší. Toto pozorování je analogické skutečnosti, že frekvence jednoduchého harmonického pohybu je přímo úměrná tuhosti kmitajícího objektu. Čím větší je hustota prostředí, tím nižší je rychlost zvuku. Toto pozorování je analogické skutečnosti, že frekvence jednoduchého harmonického pohybu je nepřímo úměrná hmotnosti kmitajícího objektu. Rychlost zvuku ve vzduchu je nízká, protože vzduch je stlačitelný. Protože kapaliny a pevné látky jsou relativně tuhé a stlačují se velmi obtížně, je rychlost zvuku v těchto prostředích obecně větší než v plynech.
| Tabulka 1: Rychlost zvuku v kapalinách a pevných látkách. Rychlost zvuku v různých médiích | |
|---|---|
| Médium | vw(m/s) |
| Plyny při. 0ºC | |
| Vzduch | 331 |
| Oxid uhličitý | 259 |
| Kyslík | 316 |
| Helium | 965 |
| Vodík | 1290 |
| Kapaliny při 20ºC | |
| Etanol | 1160 |
| Merkur | 1450 |
| Voda, sladká | 1480 |
| Mořská voda | 1540 |
| Lidská tkáň | 1540 |
| Tuhé látky (podélné nebo objemové) | |
| Vulkanizovaná pryž | 54 |
| Polyethylen | 920 |
| Mramor | 3810 |
| Sklo, Pyrex | 5640 |
| Olovo | 1960 |
| Hliník | 5120 |
| Ocel | 5960 |
Zemětřesení, v podstatě zvukové vlny v zemské kůře, jsou zajímavým příkladem toho, jak rychlost zvuku závisí na tuhosti prostředí. Zemětřesení mají podélnou i příčnou složku a ty se šíří různou rychlostí. Objemový modul žuly je větší než její smykový modul. Z tohoto důvodu je rychlost podélných nebo tlakových vln (vlny P) při zemětřesení v žule výrazně vyšší než rychlost příčných nebo smykových vln (vlny S). Obě složky zemětřesení se pohybují pomaleji v méně tuhém materiálu, jako jsou sedimenty. Vlny P mají rychlost 4 až 7 km/s a vlny S odpovídající rychlost od 2 do 5 km/s, přičemž obě jsou rychlejší v pevnějším materiálu. Při průchodu zemskou kůrou se vlna P postupně dostává dál než vlna S. Doba mezi vlnami P a S se běžně používá k určení vzdálenosti od jejich zdroje, epicentra zemětřesení.
Rychlost zvuku je v daném prostředí ovlivněna teplotou. Pro vzduch na úrovni hladiny moře je rychlost zvuku dána vztahem
v_{\text{w}}=\left(331\text{ m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{273\text{ K}}}\\,
kde teplota (označovaná jako T ) je v jednotkách kelvinů. Rychlost zvuku v plynech souvisí s průměrnou rychlostí částic v plynu, vrms, a to
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\,
kde k je Boltzmannova konstanta (1,38 × 10-23 J/K) a m je hmotnost každé (identické) částice v plynu. Je tedy rozumné, že rychlost zvuku ve vzduchu a jiných plynech by měla záviset na druhé odmocnině z teploty. Tato závislost sice není zanedbatelná, ale není nijak silná. Při teplotě 0 °C je rychlost zvuku 331 m/s, zatímco při teplotě 20,0 °C je 343 m/s, což je méně než 4% nárůst. Obrázek 3 ukazuje využití rychlosti zvuku netopýrem ke snímání vzdáleností. Ozvěny se používají také při lékařském zobrazování.
Obrázek 3. Netopýr využívá zvukové ozvěny k orientaci a k lovu kořisti. Doba, za kterou se ozvěna vrátí, je přímo úměrná vzdálenosti.
Jednou z důležitějších vlastností zvuku je, že jeho rychlost téměř nezávisí na frekvenci. Tato nezávislost zcela jistě platí na volném prostranství pro zvuky ve slyšitelném rozsahu 20 až 20 000 Hz. Kdyby tato nezávislost neplatila, jistě byste si jí všimli například u hudby, kterou hraje pochodová kapela na fotbalovém stadionu. Předpokládejme, že vysokofrekvenční zvuky se šíří rychleji – čím dále byste byli od kapely, tím více by zvuk z nástrojů s nízkými výškami zaostával za zvukem z nástrojů s vysokými výškami. Hudba ze všech nástrojů však přichází v kadenci nezávislé na vzdálenosti, a tak se všechny frekvence musí šířit téměř stejnou rychlostí. Připomeňme si, že
vw = fλ.
V daném prostředí za pevných podmínek je vw konstantní, takže mezi f a λ existuje vztah; čím vyšší je frekvence, tím menší je vlnová délka. Podívejte se na obrázek 4 a uvažujte následující příklad.
Obrázek 4. Protože se v daném prostředí šíří stejnou rychlostí, musí mít zvuky s nízkou frekvencí větší vlnovou délku než zvuky s vysokou frekvencí. Zde jsou zvuky s nižší frekvencí vydávány velkým reproduktorem, který se nazývá woofer, zatímco zvuky s vyšší frekvencí jsou vydávány malým reproduktorem, který se nazývá tweeter.
Příklad 1: Zvuky s nižší frekvencí jsou vydávány velkým reproduktorem, který se nazývá woofer. Výpočet vlnových délek: Jaké jsou vlnové délky slyšitelných zvuků?“
Vypočítejte vlnové délky zvuků na krajních hodnotách slyšitelného rozsahu, 20 a 20 000 Hz, ve vzduchu o teplotě 30,0ºC. (Předpokládejte, že hodnoty frekvencí jsou přesné na dvě platné číslice.)
Strategie
Pro zjištění vlnové délky z frekvence můžeme použít vw = fλ.
Řešení
1.
Předpokládejte, že hodnoty frekvencí jsou přesné na dvě platné číslice. Určete známé. Hodnota vw, je dána vztahem
v_{\text{w}}=\levice(331\text{ m/s}}\pravice)\sqrt{\frac{T}{273\text{ K}}}\\.
2. Zjistěte, zda je vw, nebo ne. Převeďte teplotu na kelviny a poté ji dosaďte do rovnice
v_{\text{w}}=\levice(331\text{ m/s}\pravice)\sqrt{\frac{303\text{ K}}{273\text{ K}}=348.7\text{ m/s}\\.
3. Vyřešte vztah mezi rychlostí a vlnovou délkou pro λ:
\lambda=\frac{v_{\text{w}}{f}\\.
4. Vyřešte vztah mezi rychlostí a vlnovou délkou. Zadejte rychlost a minimální frekvenci, abyste získali maximální vlnovou délku:
\lambda_{\text{max}}=\frac{348,7\text{ m/s}}{20\text{ Hz}}=17\text{ m}\.
5. Zadejte rychlost a maximální frekvenci, abyste získali minimální vlnovou délku:
\lambda_{\text{min}}=\frac{348,7\text{ m/s}}{20,000\text{ Hz}}=0,017\text{ m}=1,7\text{ cm}\\.
Diskuse
Protože součin f a λ je roven konstantě, čím menší je f, tím větší musí být λ a naopak.
Rychlost zvuku se může měnit, když zvuk přechází z jednoho prostředí do druhého. Frekvence však obvykle zůstává stejná, protože je jako poháněné kmitání a má frekvenci původního zdroje. Jestliže se mění vw a f zůstává stejná, pak se musí změnit i vlnová délka λ. To znamená, že protože vw = fλ, čím větší je rychlost zvuku, tím větší je jeho vlnová délka pro danou frekvenci.
Vytváření souvislostí: Zkoumání s sebou domů – hlas jako zvuková vlna
Podložte list papíru tak, aby horní okraj papíru byl pevný a spodní okraj se mohl volně pohybovat. Horní okraj papíru můžete přilepit k okraji stolu. Jemně foukněte do blízkosti spodního okraje listu a všimněte si, jak se list pohybuje. Mluvte tiše a pak hlasitěji tak, aby zvuky dopadaly na okraj spodní části papíru, a všímejte si, jak se list pohybuje. Vysvětlete, jak se to projevuje.
Zkontrolujte si porozumění
Část 1
Představte si, že pozorujete výbuch dvou ohňostrojů. Výbuch jednoho z nich uslyšíte, jakmile ho uvidíte. Druhý ohňostroj však vidíte několik milisekund předtím, než uslyšíte výbuch. Vysvětli, proč tomu tak je.
Řešení
Zvuk i světlo se pohybují určitou rychlostí. Rychlost zvuku je nižší než rychlost světla. První ohňostroj je pravděpodobně velmi blízko, takže rozdíl rychlostí není patrný. Druhý ohňostroj je dále, takže světlo dorazí k tvým očím znatelně dříve než zvuková vlna k tvým uším.
Část 2
Pozoruješ dva hudební nástroje, které nedokážeš identifikovat. Jeden hraje zvuky o vysokých výškách a druhý hraje zvuky o nízkých výškách. Jak bys mohl určit, který z nich je který, aniž bys slyšel hrát některý z nich?
Řešení
Porovnej jejich velikosti. Nástroje s vysokým tónem jsou obecně menší než nástroje s nízkým tónem, protože vytvářejí menší vlnovou délku.
Shrnutí oddílu
- Vztah rychlosti zvuku vw, jeho frekvence f a vlnové délky λ je dán vztahem vwfλ, což je stejný vztah daný pro všechny vlny.
- Ve vzduchu souvisí rychlost zvuku s teplotou vzduchu T vztahem v_{\text{w}}=\levice(\text{331}\text{m/s}\pravice)\sqrt{\frac{T}{\text{273}\text{K}}}. vw je stejná pro všechny frekvence a vlnové délky.
Pojmové otázky
- Jak se liší zvukové kmitání atomů od tepelného pohybu?
- Přechází-li zvuk z jednoho prostředí do druhého, kde je jeho rychlost šíření jiná, mění se jeho frekvence nebo vlnová délka? Vysvětlete stručně svou odpověď.
Problémy & Cvičení
- Při šťouchnutí kopím vydá operní sopranistka skřek o frekvenci 1200 Hz. Jaká je jeho vlnová délka, je-li rychlost zvuku 345 m/s?
- Jaká frekvence zvuku má vlnovou délku 0,10 m, je-li rychlost zvuku 340 m/s?
- Vypočítejte rychlost zvuku v den, kdy frekvence 1500 Hz má vlnovou délku 0,221 m.
- (a) Jaká je rychlost zvuku v prostředí, kde frekvence 100 Hz vytváří vlnovou délku 5,96 cm? (b) Která látka z tabulky 1 to pravděpodobně bude?
- Ukažte, že rychlost zvuku ve vzduchu o teplotě 20,0ºC je 343 m/s, jak se tvrdí v textu.
- Teplota vzduchu na Sahaře může dosahovat 56,0ºC (asi 134ºF). Jaká je rychlost zvuku ve vzduchu při této teplotě?
- Delfíni vydávají zvuky ve vzduchu i ve vodě. Jaký je poměr vlnové délky zvuku ve vzduchu a jeho vlnové délky v mořské vodě? Předpokládejme, že teplota vzduchu je 20,0 ºC.
- Sonarová ozvěna se vrací k ponorce 1,20 s po jejím vyslání. Jaká je vzdálenost k objektu, který ozvěnu vytvořil? (Předpokládejte, že se ponorka nachází v oceánu, nikoli ve sladké vodě.)
- (a) Jestliže sonar ponorky dokáže měřit čas ozvěny s přesností 0,0100 s, jaký je nejmenší rozdíl vzdáleností, který dokáže zjistit? (Předpokládejte, že se ponorka nachází v oceánu, nikoli ve sladké vodě.) (b) Diskutujte o omezeních, která toto časové rozlišení klade na schopnost sonarového systému zjistit velikost a tvar objektu vytvářejícího ozvěnu.
- Fyzik na ohňostroji změří prodlevu mezi spatřením výbuchu a zaslechnutím jeho zvuku a zjistí, že činí 0,400 s. (a) Jak daleko je výbuch, je-li teplota vzduchu \text{24,0\texttordmaskulin C} a zanedbáte-li dobu, za kterou k fyzikovi dorazí světlo? (b) Vypočítejte vzdálenost k výbuchu s přihlédnutím k rychlosti světla. Všimněte si, že tato vzdálenost je zanedbatelně větší.
- Předpokládejme, že netopýr používá zvukovou ozvěnu k nalezení své hmyzí kořisti, vzdálené 3,00 m. (Viz obrázek 3.) (a) Vypočítejte časy ozvěny pro teploty 5,00 ºC a 35,0 ºC. (b) Jakou procentní nejistotu to způsobí netopýrovi při lokalizaci hmyzu? (c) Diskutujte o významu této nejistoty a o tom, zda může netopýrovi způsobit potíže. (V praxi netopýr pokračuje v používání zvuku, jakmile se přiblíží, což eliminuje většinu potíží způsobených tímto a dalšími vlivy, jako je pohyb kořisti.)
Slovníček
výška tónu: vnímání frekvence zvuku
Vybraná řešení úloh & Cvičení
1. 0,288 m
3. 332 m/s
5. Vnímání frekvence zvuku. \begin{array}{lll}{v}_{\text{w}}& =& \left(\text{331 m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{\text{273 K}}=\left(\text{331 m/s}\pravo)\sqrt{\frac{\text{293 K}}{\text{273 K}}\\ & =& \text{343 m/s}\end{array}\\
7. 0.223
9. (a) 7,70 m; (b) To znamená, že sonar je dobrý pro zjišťování a lokalizaci velkých objektů, ale není schopen rozlišit menší objekty nebo zjistit detailní tvary objektů. Objekty, jako jsou lodě nebo velké kusy letadel, lze najít pomocí sonaru, zatímco menší kusy je třeba vyhledat jinými prostředky.
11. Sonarový průzkum se provádí pomocí sonaru. (a) 18,0 ms, 17,1 ms; (b) 5,00 %; (c) Tato nejistota by netopýrovi rozhodně mohla způsobit potíže, kdyby při přibližování ke kořisti nepokračoval v používání zvuku. Nejistota 5 % by mohla představovat rozdíl mezi zachycením kořisti kolem krku nebo kolem hrudi, což znamená, že by mohl svou kořist nestihnout uchopit.
.