W dzisiejszym poście dowiesz się jaka jest różnica między liczbami pierwszymi i złożonymi. Dodatkowo, pokażemy Ci kilka przykładów, które pomogą Ci je lepiej zrozumieć.
Indeks
Co to są liczby pierwsze?
Liczby pierwsze to liczby, które są podzielne tylko przez siebie i 1, innymi słowy, jeśli spróbujemy podzielić je przez inną liczbę, wynik nie jest liczbą całkowitą. Tak więc, jeśli podzielisz liczbę przez cokolwiek innego niż jeden lub samą siebie, otrzymasz resztę, która nie jest zerem.
Liczby pierwsze do 100
Utworzymy tabelę ze wszystkimi liczbami pierwszymi, które istnieją do 100.
Zacznijmy od 2. 2 jest liczbą pierwszą, ale wszystkie wielokrotności 2 będą liczbami złożonymi, ponieważ będą podzielne przez 2. Wykreślamy wszystkie wielokrotności 2 w tabeli.
Kolejną liczbą pierwszą jest 3, więc możemy wykreślić wszystkie wielokrotności 3, ponieważ będą one liczbami złożonymi.
Po 3, jest następna liczba pierwsza 5, więc przekreślamy wszystkie wielokrotności 5.
Następnie mamy liczbę pierwszą 7 i przekreślamy wszystkie wielokrotności 7.
Następna liczba pierwsza to 11, więc przekreślamy wszystkie wielokrotności 11, które są 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 i 99. Wszystkie te liczby zostały już wykreślone, więc skończyliśmy wykreślać wszystkie liczby złożone w naszej tabeli.
To jest nasza lista liczb pierwszych od 1 do 100. Nie musisz ich zapamiętywać, ale najlepiej byłoby, gdybyś zapamiętał mniejsze liczby, takie jak 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Ile jest liczb pierwszych?
Grecki matematyk Eratostenes (3 wiek p.n.e.) opracował szybki sposób na znalezienie wszystkich liczb pierwszych aż do danej liczby. Jest to proces zwany sitem Eratostenesa.
Zauważ, że między 1 a 100 jest 25 liczb pierwszych. Ile jest w sumie liczb pierwszych? Od czasów starożytnych wiemy, że jest ich nieskończenie wiele, więc nie sposób ich wszystkich wymienić. Ponieważ Euklides, który jako pierwszy pokazał, że jest ich nieskończenie wiele w IV wieku p.n.e., nie znał pojęcia nieskończoności, powiedział, że „liczb pierwszych jest więcej niż ich stała liczba”, co oznacza, że jeśli wyobrazisz sobie 100, jest ich więcej, a jeśli wyobrazisz sobie milion, jest ich jeszcze więcej.
Liczby pierwsze od 100 do 1000
Przyjrzyjrzyjmy się liczbom pierwszym od 100 do 1000.
Przykro nam, że nie możemy pokazać ich wszystkich, jak wiadomo jest ich nieskończenie wiele 😉
Liczby pierwsze Przykłady
Aby pomóc Ci lepiej zrozumieć liczby pierwsze, wyjaśnimy pewne ćwiczenie.
Sara ma 6 cukierków, którymi chce się podzielić, ale nie wie z iloma osobami może się nimi podzielić tak, żeby każdy dostał tyle samo i żeby żaden nie został. Na ile sposobów może to zrobić?
Oto Sara i jej 6 cukierków:
Jak możemy je podzielić?
Pierwszym i najprostszym sposobem jest danie ich jednej osobie, innymi słowy, podzielenie przez 1. W ten sposób ta osoba będzie miała 6 cukierków.
Następną możliwością jest podzielenie ich między 2 osoby. Ponieważ 6 podzielone przez 2 wynosi 3, każda osoba dostanie 3 cukierki!
Będziemy kontynuować z następną liczbą, 3. Jeśli podzielimy 6 cukierków między 3 osoby, to również jest to dokładny podział i każda osoba dostanie 2 cukierki:
Dalej kontynuujmy z liczbami. Nie mamy dokładnych podziałów z 4 i 5, ale mamy z 6.
Ponieważ 6 podzielone przez 6 wynosi 1, możemy dać 6 dzieciom po 1 cukierku.
Zbierzemy trochę informacji. Mamy 6 sztuk cukierków, które możemy podzielić (z dokładnym podziałem) między 1, 2, 3 i 6 osób. Innymi słowy, możemy podzielić liczbę 6 i otrzymać 0 jako resztę, gdy podzielimy ją przez 1, 2, 3 i 6. Liczby te są znane jako dzielniki liczby 6.
Spróbujemy teraz z inną liczbą, na przykład 7.
Teraz Sara ma 7 cukierków i chce się nimi podzielić, ale nie wie, z iloma osobami może się nimi podzielić tak, żeby każdy dostał tyle samo i żeby nikomu nic nie zostało. Na ile sposobów może to zrobić?
Henryk jest takim szczęściarzem! Dostał wszystkie kawałki cukierków!
Czy są inne sposoby, aby to zrobić? Nie możemy podzielić 7 przez 2, 3, 4, 5 lub 6, …ale 7 jest możliwe!
Sara może podzielić cukierki między 7 osób, dając im po jednym kawałku:
Więc 7 może być podzielna tylko przez 1 i 7, jej jedynymi dzielnikami są 1 i 7. To są typy liczb, które nazywamy liczbami pierwszymi.
Czy jest więcej liczb pierwszych? Oczywiście! Poszukajmy jeszcze kilku:
- Czy 4 jest 4? Nie! Ponieważ jej dzielniki to 1, 2 i 4.
- Czy jest 5? Tak! Ponieważ jego dzielniki są 1 i 5.
- Is 8? Nie! Ponieważ jego dzielniki są 1, 2, 4, i 8.
W skrócie, liczba jest pierwsza, jeśli ma tylko 2 dzielniki: 1 i siebie.
Teraz możesz wyszukać wiele liczb pierwszych!
Jak znaleźć liczby pierwsze
Przyjrzyj się uważnie! Przedstawimy Ci sztuczkę, dzięki której dowiesz się, czy dana liczba jest pierwsza czy nie, bez konieczności szukania jej dzielników, ale w sposób, który jest bardziej zabawny i daje nam dzielniki (jeśli je mają).
Wybierzmy losową liczbę, na przykład 16.
Aby sprawdzić, czy jest to liczba pierwsza czy nie, użyjemy tabelki, która jest bardzo podobna do kart Montessori do mnożenia. Otrzymamy tyle kulek, ile wynosi liczba, którą wybraliśmy. W tym przypadku 16 kulek.
Gdy mamy już tabelkę i kulki, układamy je na stole zaczynając od pierwszego miejsca, starając się utworzyć prostokąt. Liczby, które tworzą krawędzie prostokąta są jego dzielnikami.
W przypadku, gdy uda nam się utworzyć prostokąt tylko z tą samą liczbą, której używamy i liczbą 1, będzie to liczba pierwsza.
Na przykład, w tym przypadku, umieszczamy 8 piłek w pierwszym rzędzie i 8 kolejnych w drugim. Jak widać, utworzyliśmy prostokąt i widzimy, że 8, podobnie jak 2, są dzielnikami liczby 16. Zatem 16 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ, jak wiadomo, liczby pierwsze to takie, które są podzielne tylko przez siebie i 1.
Możemy spróbować z inną liczbą, na przykład 7.
Jak widzimy, nie możemy stworzyć pełnego prostokąta, brakowałoby nam kuli. Ponieważ nie jesteśmy w stanie utworzyć prostokąta, możemy powiedzieć, że liczba 7 nie ma żadnych innych dzielników poza sobą i 1, jak widać na poniższym obrazku.
Więc, 7 jest liczbą pierwszą!
Popróbuj z każdą inną liczbą, a zobaczysz jak to działa! Możesz użyć papieru graficznego i poszukać prostokątów używając tej liczby kwadratów.
Dlaczego liczby pierwsze są ważne?
Liczby pierwsze są kluczem do arytmetyki, poniżej zobaczysz przykład, który pokazuje ich znaczenie, nie tylko w matematyce, ale także w przyrodzie.
Co mamy na myśli, kiedy mówimy, że liczby pierwsze są kluczem do arytmetyki?
To dlatego, że każda liczba składa się z unikalnego produktu złożonego z serii tych liczb.
Uważa się, że są one badane od około 20 000 lat, kiedy to nasz przodek zapisał serię liczb pierwszych (11, 13, 17, i 19) na kości Ishango. Jakby to był przypadek, potwierdzono, że starożytni Egipcjanie pracowali z nimi 4000 lat temu.
W dodatku, natura zna je bardzo dobrze i niektóre gatunki były w stanie odkryć je w trakcie swojej ewolucji i wykorzystać je do przetrwania.
Mam na myśli kilka gatunków cykad, takich jak Magicicada septendecium, która żyje w Ameryce Północnej. Ten gatunek cykady ustalił swój cykl rozrodczy na około 13 lub 17 lat, nie 12, 14, 15, 16 lub 18 – dokładnie 13 lub 17. To pozwala im unikać drapieżników, które również mają okresowe cykle reprodukcyjne; wyobraźmy sobie drapieżnika z 4-letnim cyklem reprodukcyjnym.
Gdyby cykl życia cykady wynosił 12 lub 14 lat, zbiegałby się z drapieżnikiem bardzo często, znacznie częściej niż gdyby wynosił 13 lub 17 lat. Dokładnie 2 razy na 100 lat, podczas gdy w przeciwnym razie zbiegałyby się w 11 cyklach, co zagrażałoby rozwojowi gatunku.
Bezpieczeństwo komunikacji elektronicznej również opiera się na liczbach pierwszych. Każda zaszyfrowana wiadomość przesyłana przez Internet (sieci wiadomości, zakupy, czy bankowość elektroniczna) ma przypisaną dużą liczbę i bardzo trudno jest się zorientować, gdzie jest ona pierwsza, a gdzie nie. Odbiorca ma jeden z jej dzielników, i dlatego może ją odszyfrować. Tak więc posiadanie liczb pierwszych jest krytyczne dla naszej prywatności podczas komunikacji elektronicznej.
Czym są liczby złożone?
Liczby złożone są te liczby, które są podzielne przez 1 i siebie, jak również inne numbers.
Przyjrzymy się przykład liczby pierwszej i liczby złożonej.
11 może być napisane jako mnożenie 1 x 11, ale nie może być napisany jako każdy inny mnożenie liczb naturalnych. Ma tylko dzielniki 1 i 11, a zatem jest liczbą pierwszą.
12 można zapisać jako mnożenie 1 x 12 oraz jako mnożenie 3 x 4 i 2 x 6. Ponieważ 12 jest podzielne przez więcej liczb niż 1 i samą siebie, 12 jest liczbą złożoną.
Czy 1 jest liczbą pierwszą?
Są ludzie, którzy w to wierzą, ponieważ mówią, że 1 może być dzielona tylko przez 1 i samą siebie, ale w matematyce, liczba 1 została odrzucona jako liczba pierwsza, ponieważ ma tylko jeden dzielnik. W rzeczywistości kryterium „dodatnia liczba całkowita jest pierwsza, jeśli ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki” jest używane do wykluczenia liczby 1 z listy liczb pierwszych. To nie dlatego, że jesteśmy wybredni, ale jeśli liczba jeden była uważana za pierwszą, wtedy wiele matematycznych właściwości musiałoby być powiedziane inaczej.
Więc, 1 jest liczbą złożoną?
Cóż, nie jest też złożona, ponieważ nie może być umieszczona jako iloczyn liczb pierwszych. Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona. I zanim zapytasz, zero nie jest ani pierwsze, ani złożone, ale to dlatego, że wszystkie rozważania wyjaśnialiśmy dla liczb dodatnich, czyli większych od zera.
Dzielniki liczby
Dzielnik liczby jest wartością, która dzieli liczbę na dokładne części, innymi słowy, ma resztę 0.
Na przykład, będziemy obliczać dzielniki dla 24.
Zaczynamy dzielenie od najmniejszych liczb zaczynając od 1.
- 24 / 1 = 24. Zarówno 1 jak i 24 są dzielnikami.
- 24 / 2 = 12. Zatem 2 i 12 są dzielnikami.
- 24 / 3 = 8. Zatem 3 i 8 są dzielnikami.
- 24 / 4 = 6. Zatem 4 i 6 są dzielnikami.
- 24 / 5 = 4. Nie jest to dokładne dzielenie i ma resztę 4, więc 5 nie jest dzielnikiem.
Następną liczbą jest 6, ale ponieważ wiemy już, że 6 jest dzielnikiem 24, skończyliśmy obliczać dzielniki dla 24.
Video: Factorization i Prime Numbers
Jeśli chcesz wiedzieć więcej o liczbach pierwszych i złożonych, spójrz na poniższe wideo. Nauczysz się również koncepcji faktoryzacji używając tabeli Montessori.
Ten film jest jednym z naszych interaktywnych samouczków i mimo, że nie jest interaktywny, możesz go oglądać tyle razy ile potrzebujesz i dzielić się nim z przyjaciółmi. Jeśli chcesz mieć dostęp do naszych interaktywnych samouczków, zarejestruj się w Smartick! Metoda online pomagająca dzieciom w wieku od 4 do 14 lat uczyć się i ćwiczyć matematykę.
Jeśli chcesz kontynuować naukę o liczbach pierwszych i najlepszej matematyce dostosowanej do twojego poziomu, zarejestruj się w Smartick i wypróbuj ją za darmo!
Dowiedz się więcej:
- Liczby pierwsze i liczby złożone
- Liczby pierwsze: A Trick to Help You Identify Them
- Prime Numbers: Jak je znaleźć za pomocą sita Eratostenesa
- Naucz się, jak obliczać liczby pierwsze
- Działania na liczbach pierwszych z Smartick
.
- Autor
- Recent Posts
Wielodyscyplinarny i wielokulturowy zespół składający się z matematyków, nauczycieli, profesorów i innych specjalistów w dziedzinie edukacji!
Dążą do stworzenia jak najlepszych treści matematycznych.
- Examples of 3rd Grade Math Word Problems with Solutions – 03/25/2021
- Consecutive Interior Angles: Czym są i jak je znaleźć z przykładami – 03/11/2021
- Przykłady zadań z matematyki dla drugiej klasy z rozwiązaniami – 02/04/2021
.