O número de k-combinações de um dado conjunto S de n elementos é frequentemente indicado em textos combinatórios elementares por C ( n , k ) {\i1}displaystyle C(n,k)}
, ou por uma variação como C k n {\i1}^{n}}
, n C k {\i}displaystyle {}_{n}C_{k}}
, n C k {\i1}c_{k}}
, C n , k {\i1}displaystyle C_{n,k}}
ou mesmo C n k {\i}^{k}}
(este último formulário era padrão em francês, romeno, russo, chinês e polaco). O mesmo número, porém, ocorre em muitos outros contextos matemáticos, onde é denotado por ( n k ) {\i1}{\i}{n}{k}}}
(muitas vezes lido como “n escolha k”); notavelmente ocorre como um coeficiente na fórmula binomial, daí o seu nome coeficiente binomial. Pode-se definir ( n k ) {\i1}{\i1}{\i1}{n}{k}}}{\i1}displaystyle {\i}{\i1}{\i1}displaystyle {\i}tbinom
para todos os números naturais k ao mesmo tempo pela relação ( 1 + X ) n = ∑ k ≥ 0 ( n k ) X k , {\i1+X} ^{n}=sum _{k=geq 0}{\i}{\i}{n}{k}}X^{k},}
do qual é claro que
( n 0 ) = ( n n ) = 1 , {\i1}{\i}{0}={\i1,}{\i}=1,}
> e mais adiante,
( n k ) = 0 {\i}{\i}{\i}{\i}=0}
para k > n.
Para ver que estes coeficientes contam k-combinações de S, pode-se primeiro considerar uma coleção de n variáveis distintas Xs rotuladas pelos elementos s de S, e expandir o produto sobre todos os elementos de S:
∏ s ∈ S ( 1 + X s ) ; {\i1+X_{\i}prod _{\i}(1+X_{\i});}
tem 2n termos distintos correspondentes a todos os subconjuntos de S, cada subconjunto dando o produto das variáveis Xs correspondentes. Agora definindo todos os Xs iguais à variável não rotulada X, de modo que o produto torna-se (1 + X)n, o termo para cada k-combinação de S torna-se Xk, de modo que o coeficiente dessa potência no resultado é igual ao número dessas k-combinações.
Coeficientes binomiais podem ser computados explicitamente de várias maneiras. Para obter todos eles para as expansões até (1 + X)n, pode-se usar (além dos casos básicos já dados) a relação de recorrência
( n k ) = ( n – 1 k – 1 ) + ( n – 1 k ) , {\i1}{\i1},}
para 0 < k < n, que segue de (1 + X)n = (1 + X)n – 1(1 + X); isto leva à construção do triângulo de Pascal.
Para determinar um coeficiente binomial individual, é mais prático usar a fórmula
( n k ) = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( n – k + 1 ) k ! {\i1}{k}={\i1}frac {n(n-1)(n-2)|cdots (n-k+1)}{k!}}}{k!}}}
.
O numerador dá o número de k-permutações de n, i.e, de sequências de k elementos distintos de S, enquanto o denominador dá o número de tais k-permutações que dão a mesma k-combinação quando a ordem é ignorada.
Quando k excede n/2, a fórmula acima contém fatores comuns ao numerador e ao denominador, e cancelando-os dá a relação
( n k ) = ( n n n – k ) , {\i1}{\i1}={\i}binom {n}{n-k},}
para 0 ≤ k ≤ n. Isto expressa uma simetria que é evidente a partir da fórmula binomial, e também pode ser entendida em termos de k-combinações, tomando o complemento de tal combinação, que é uma (n – k)-combinação.
Finalmente existe uma fórmula que exibe esta simetria diretamente, e tem o mérito de ser fácil de lembrar:
( n k ) = n ! k ! ( n – k ) ! {\i1}, {\i}{\i1}displaystyle {\i}binom {\i}{k}={\iFrac {n!}{k!(n-k)! },}
where n! denota o fatorial de n. É obtido a partir da fórmula anterior multiplicando o denominador e o numerador por (n – k)!Assim, é certamente computacionalmente menos eficiente que essa fórmula.
A última fórmula pode ser entendida diretamente, considerando as n! permutações de todos os elementos de S. Cada uma dessas permutações dá uma k-combinação, selecionando seus primeiros k elementos. Há muitas seleções duplicadas: qualquer permutação combinada dos primeiros k elementos entre si, e dos elementos finais (n – k) entre si produz a mesma combinação; isto explica a divisão na fórmula.
Das fórmulas acima seguem as relações entre números adjacentes no triângulo de Pascal em todas as três direções:
( n k ) = { ( n k – 1 ) n – k + 1 k se k > 0 ( n – 1 k ) n n – k se k < n ( n – 1 k – 1 ) n k se n , k > 0 {\a6883> 0 {\a6883>0 {\a6883>0}{\a6883>0}binom {\a6883>0}binom {\a6883>0}{\a6883>0{\a6883>0}binom1}{k}{nfrac {n}{n-k}&quad {\i}text{\i}k<nbinom {n-1}{k-1}{k-1}{frac {n-1}&quad {\i}{\i1}text{\i}n,k>0\end{cases}}}
.
Conjuntamente com os casos básicos ( n 0 ) = 1 = ( n n ) {\i1}{0}=1={\i1}{\i1}{\i1}{\i}}{\i1}{\i1}}displaystyle
, estes permitem calcular sucessivamente, respectivamente, todos os números de combinações do mesmo conjunto (uma linha no triângulo de Pascal), de k-combinações de conjuntos de tamanhos crescentes, e de combinações com um complemento de tamanho fixo n – k.
Exemplo de combinações de contagemEditar
Como exemplo específico, pode-se calcular o número de mãos de cinco cartas possíveis a partir de um baralho de cinquenta e duas cartas padrão como:
( 52 5 ) = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 311.875.200 120 = 2.598.960. 5 {\a2}={\a2}={\a2}==511{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.}{598.}{,}960.}
Alternativamente pode-se usar a fórmula em termos de fatores e cancelar os fatores no numerador contra partes dos fatores no denominador, após o que só é necessária a multiplicação dos fatores restantes:
( 52 5 ) = 52 ! 5 ! 47 ! = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 × 47 ! 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 47 ! = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 5 × 4 × 3 × 2 = ( 26 × 2 ) × ( 17 × 3 ) × ( 10 × 5 ) × 49 × ( 12 × 4 ) 5 × 4 × 3 × 2 = 26 × 17 × 10 × 49 × 12 = 2,598,960. estilo de jogo (em primeiro lugar) (2) (52) escolha 5) 982>={52! 5! 47! 982>={52! 51 vezes 50 vezes 49 vezes 48 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 4 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1 vez 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5}}}}&={\i1}{\i1}frac {\i1}51 vezes 50 vezes 49 vezes 48 vezes (5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes) vezes 49 vezes 49 vezes (12 vezes) cancelar 4 vezes 5 vezes Cancelamento 4 vezes Cancelamento 4 vezes Cancelamento 3 vezes Cancelamento 2 vezes Cancelamento 982 > > 26 vezes 17 vezes 10 vezes 49 vezes 12,}598{,}960.\Fim do alinhamento.
Outro cálculo alternativo, equivalente ao primeiro, baseia-se na escrita
( n k ) = ( n – 0 ) 1 × ( n – 1 ) 2 × ( n – 2 ) 3 × ⋯ × ( n – ( k – 1 ) ) k , “Timesfrac” (n-0)1 “Timesfrac” (n-1)2 “Timesfrac” (n-2)3 “Times” (n-2)3 “Cdots” (n-(k-1))k}
que dá
( 52 5 ) = 52 1 × 51 2 × 50 3 × 49 4 × 48 5 = 2.598,960 estilo de jogo 52 escolha 5 5 =frac 1 = times 51 = 2 = times 50 = 3 = times 4 = times 4 = times 4 = 598 = 560 = 960 = 960 = 960
.
Quando avaliado na seguinte ordem, 52 ÷ 1 × 51 ÷ 2 × 50 ÷ 3 × 49 ÷ 4 × 48 ÷ 5, isto pode ser calculado usando apenas a aritmética inteira. A razão é que quando cada divisão ocorre, o resultado intermediário que é produzido é em si mesmo um coeficiente binomial, de modo que nenhum remanescente nunca ocorre.
Usar a fórmula simétrica em termos de fatores sem realizar simplificações dá um cálculo bastante extenso:
( 52 5 ) = n ! k ! ( n – k ) ! = 52 ! 5 ! ( 52 − 5 ) ! = 52 ! 5 ! 47 ! = 80 , 658 , 175 , 170 , 943 , 878 , 571 , 660 , 636 , 856 , 403 , 766 , 975 , 289 , 505 , 440 , 883 , 277 , 824 , 000 , 000 , 000 , 000 120 × 258 , 623 , 241 , 511 , 168 , 180 , 642 , 964 , 355 , 153 , 611 , 979 , 969 , 197 , 632 , 389 , 120 , 000 , 000 , 000 = 2,598,960. estilo de jogo {\\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}-9782>={\i1}frac {\i}{\i1}(n-k!(n-k)!}}={\i1}frac {\i}(52!(52-5)!}={\i1}{\i1}frac {\i}(52! 5! 47!}}\\&={\tfrac {80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000}{120\times 258,623,241,511,168,180,642,964,355,153,611,979,969,197,632,389,120,000,000,000}}\\&=2{,}598{,}960.\Fim
Enumerar k-combinaçõesEditar
Pode-se enumerar todas as k-combinações de um dado conjunto S de n elementos em alguma ordem fixa, o que estabelece uma bijecção a partir de um intervalo de ( n k ) {\i1}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}displaystyle {\i}
inteiros com o conjunto dessas k-combinações. Assumindo que S está ordenado, por exemplo S = { 1, 2, …, n }, existem duas possibilidades naturais para ordenar as suas k-combinações: comparando primeiro os seus elementos mais pequenos (como nas ilustrações acima) ou comparando primeiro os seus elementos maiores. Esta última opção tem a vantagem de adicionar um novo elemento maior a S não irá alterar a parte inicial da enumeração, mas apenas adicionar as novas k-combinações do conjunto maior depois das anteriores. Repetindo este processo, a enumeração pode ser estendida indefinidamente com k-combinações de conjuntos cada vez maiores. Se, além disso, os intervalos dos números inteiros forem tomados para começar em 0, então a k-combinação em um determinado lugar i na enumeração pode ser calculada facilmente a partir de i, e a bijecção assim obtida é conhecida como o sistema de números combinatórios. Também é conhecido como “rank”/”ranking” e “unranking” em matemática computacional.
Existem muitas formas de enumerar k combinações. Uma maneira é visitar todos os números binários com menos de 2n. Escolha os números que tenham k não zero bits, embora isso seja muito ineficiente mesmo para pequenos n (por exemplo, n = 20 exigiria visitar cerca de um milhão de números enquanto o número máximo de combinações de k permitidas é de cerca de 186 mil para k = 10). As posições destes 1 bits em tal número é uma combinação específica de k do conjunto { 1, …, n }. Outra forma simples e mais rápida é seguir os números de índice k dos elementos selecionados, começando com {0 … k-1}. (baseado em zero) ou {1 … k} (com base em um) como a primeira k-combinação permitida e depois passar repetidamente para a próxima k-combinação permitida incrementando o último número de índice se este for inferior a n-1 (com base em zero) ou n (com base em um) ou o último número de índice x que for inferior ao número de índice seguinte menos um se esse índice existir e redefinindo os números de índice após x para {x+1, x+2, …}.