Den pythagoræiske sætning: The Way of Truth

Pythagoras (569-475 f.Kr.) er anerkendt som verdens første matematiker. Han blev født på øen Samos og menes at have studeret sammen med Thales og Anaximander (der er anerkendt som de første vestlige filosoffer). Pythagoras mente, at tal ikke kun var vejen til sandheden, men sandheden selv. Gennem matematikken kunne man opnå harmoni og leve et lettere liv. Han siges at have foreslået en række matematiske sætninger til dette formål, men af alle disse er kun den berømte pythagoræiske sætning tilbage (Allen, 1966).

Historikeren Robinson skriver: “Udsagnet om, at `Pythagoras arbejdede meget hårdt på den aritmetiske side af geometrien’ bekræftes yderligere af traditionen om, at han undersøgte det aritmetiske problem med at finde trekanter, hvor kvadratet på den ene side er lig med summen af kvadraterne på de to andre sider” og gjorde det tidligt ved at bruge sten i rækker for at forstå de sandheder, han forsøgte at formidle (1968). Den pythagoræiske sætning siger, at a² + b² = c². Dette bruges, når vi får en trekant, hvor vi kun kender længden af to af de tre sider. C er den længste side af den vinkel, der er kendt som hypotenusen. Hvis a er den tilstødende vinkel, er b den modsatte side. Hvis b er den tilstødende vinkel, er a den modsatte side. Hvis a = 3, og b = 4, kan vi så løse c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Dette er en af de vigtigste anvendelser af den pythagoræiske sætning.

Der findes mange beviser for den pythagoræiske sætning, hvoraf det mest kendte er Euklids bevis fra Bog I af hans Elementer.

Sætning: I retvinklede trekanter er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kvadraterne på benene.
Euklid startede med en pythagoræisk konfiguration og trak derefter en linje gennem et diagram, der illustrerer arealernes lighed. Han konkluderede, at AB/AC = AC/HA, og derfor er (AC)² = (HA)(AB). Da AB=AJ, svarer arealet af rektanglet HAJG til arealet af kvadratet på siden AC. På samme måde er AB/BC = BC/BH også skrevet som (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD), og da AB=BD. Vi ser således, at summen af rektanglernes arealer er arealet af kvadratet på hypotenusen. Med Stephanie Morris’ ord: “This completes the proof” (Morris, 2011).

Et andet bevis, som er lettere for folk at forstå, starter med et rektangel, der er opdelt i tre trekanter, alle med rette vinkler.
Trekanten BEA og trekanten BCE overlapper trekanten ACD. Hvis man sammenligner trekant BCE og trekant ACD og ser på deres tilsvarende sider, kan man se, at AC/BC = AD/EC. Da AD = BC, er AC/AD = AD/EC. Ved multiplikation bliver denne ligning (AD)² = (AC)(AE). Ud fra trekanterne ABC og ABE, idet vi bemærker, at AB = CD, og sammenligner de rette vinkler i disse to figurer, får vi ligningen AC/AB = CD/AE. Fra den oprindelige rektangelform havde vi AB = CD også givet som AC/CD = CD/AE, hvilket skrives som en multiplikationsopgave som (CD)² = (AC)(AE), og ved at lægge de hidtidige ligninger sammen får vi to nye formler, som er (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC)(EC) og (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Da AC = AE + EC, får vi (CD)² + (AD)² = (AC)². Som med det tidligere bevis viser dette gyldigheden af pythagoras’ sætning (Morris, 2011).

I pythagoras’ sætning er hver side/vinkel en vigtig oplysning, som hjælper os med at bestemme andre vinkler/sider. Pythagoras troede på en objektiv sandhed, som var tal. Pythagoras’ sætning gør det muligt at kende sandheder gennem ovenstående matematiske ligninger, hvilket betyder, at der findes en objektiv sandhed, uden for enhver personlig mening, som faktisk kan bevises; og det er endelig det, Pythagoras ønskede at bevise gennem sit arbejde.