Pythagoras (569-475 v.Chr.) wordt erkend als ’s werelds eerste wiskundige. Hij werd geboren op het eiland Samos en zou hebben gestudeerd bij Thales en Anaximander (die worden beschouwd als de eerste westerse filosofen). Pythagoras geloofde dat getallen niet alleen de weg naar de waarheid waren, maar de waarheid zelf. Door middel van wiskunde kon men harmonie bereiken en een eenvoudiger leven leiden. Hij zou hiertoe een aantal wiskundige stellingen hebben voorgesteld, maar van al deze stellingen is alleen de beroemde Stelling van Pythagoras overgebleven (Allen, 1966).
De historicus Robinson schrijft: “De bewering dat ‘Pythagoras zeer hard werkte aan de rekenkundige kant van de meetkunde’ wordt verder gestaafd door de overlevering dat hij het rekenkundige probleem onderzocht van het vinden van driehoeken waarvan het kwadraat aan één zijde gelijk is aan de som van de kwadraten aan de andere twee” en dat hij dit al vroeg deed door stenen in rijen te gebruiken om de waarheden te begrijpen die hij probeerde over te brengen (1968). De stelling van Pythagoras stelt dat a² + b² = c². Deze wordt gebruikt wanneer we een driehoek krijgen waarvan we slechts de lengte van twee van de drie zijden kennen. C is de langste zijde van de hoek, de hypotenusa. Als a de aanliggende hoek is, dan is b de overstaande zijde. Als b de aanliggende hoek is, dan is a de overstaande zijde. Als a = 3, en b = 4, dan kunnen we c oplossen. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Dit is een van de belangrijkste toepassingen van de Stelling van Pythagoras.
Aanbieding
Er zijn vele bewijzen van de Stelling van Pythagoras, waarvan het bekendste het bewijs van Euclides uit Boek I van zijn Elementen is.
Propositie: In rechthoekige driehoeken is het kwadraat op de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten op de benen.
Euclides begon met een Pythagoreïsche configuratie en trok vervolgens een lijn door een diagram dat de gelijkheden van de oppervlakten illustreerde. Hij concludeerde dat AB/AC = AC/HA, dus (AC)² = (HA)(AB). Daar AB=AJ, komt de oppervlakte van de rechthoek HAJG overeen met de oppervlakte van het vierkant met zijde AC. Evenzo geldt AB/BC = BC/BH ook geschreven als (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD) en aangezien AB=BD. Zo zien we dat de som van de oppervlakten van de rechthoeken de oppervlakte is van het vierkant op de schuine zijde. In de woorden van Stephanie Morris: “Hiermee is het bewijs af” (Morris, 2011).
Advertentie
Een ander bewijs, dat voor mensen gemakkelijker te begrijpen is, begint met een rechthoek verdeeld in drie driehoeken, alle met rechte hoeken.
Driehoek BEA en driehoek BCE overlappen driehoek ACD. Als we driehoek BCE en driehoek ACD vergelijken, en kijken naar hun overeenkomstige zijden, zien we dat AC/BC = AD/EC. Aangezien AD = BC, is AC/AD = AD/EC. Door vermenigvuldiging wordt deze vergelijking (AD)² = (AC)(AE). Uit driehoeken ABC en ABE, met de vaststelling dat AB = CD, en door vergelijking van de rechte hoeken van deze twee figuren volgt de vergelijking AC/AB = CD/AE. Van de oorspronkelijke rechthoekvorm hadden we AB = CD ook gegeven als AC/CD = CD/AE, dat als een vermenigvuldigingsprobleem wordt geschreven als (CD)² = (AC)(AE) en door de vergelijkingen op te tellen die we tot nu toe hebben, krijgen we twee nieuwe formules die zijn (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC) (EC) en (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Daar AC = AE + EC, verkrijgen we (CD)² + (AD)² = (AC)². Net als bij het eerdere bewijs toont dit de geldigheid van de Stelling van Pythagoras aan (Morris, 2011).
In de Stelling van Pythagoras is elke zijde/hoek een kritisch stukje informatie dat ons helpt andere hoeken/zijden te bepalen. Pythagoras geloofde in een objectieve waarheid die het getal was. De Stelling van Pythagoras maakt het mogelijk waarheden te kennen door middel van de bovenstaande wiskundige vergelijkingen, wat betekent dat er een objectieve waarheid bestaat, buiten elke persoonlijke mening, die daadwerkelijk bewezen kan worden; en dit is tenslotte wat Pythagoras wilde bewijzen met zijn werk.
Teken in voor onze wekelijkse e-mail nieuwsbrief!