Logik

Logik (fra det græske “logos”, som har en række forskellige betydninger, herunder ord, tanke, idé, argument, redegørelse, grund eller princip) er studiet af ræsonnement, eller studiet af principperne og kriterierne for gyldig slutning og demonstration. Den forsøger at skelne gode ræsonnementer fra dårlige ræsonnementer.

Aristoteles definerede logikken som “nye og nødvendige ræsonnementer”, “nye” fordi de gør det muligt for os at lære det, vi ikke ved, og “nødvendige” fordi deres konklusioner er uundgåelige. Den stiller spørgsmål som “Hvad er korrekte ræsonnementer?”, “Hvad adskiller et godt argument fra et dårligt?”, “Hvordan kan vi opdage en fejlslutning i et ræsonnement?”

Logikken undersøger og klassificerer strukturen af udsagn og argumenter, både gennem studiet af formelle slutningssystemer og gennem studiet af argumenter i naturligt sprog. Den beskæftiger sig kun med sætninger (deklarative sætninger, der bruges til at fremsætte en påstand, i modsætning til spørgsmål, kommandoer eller sætninger, der udtrykker ønsker), som kan være sande og falske. Den beskæftiger sig ikke med de psykologiske processer, der er forbundet med tænkning, eller med følelser, billeder og lignende. Den dækker centrale emner som f.eks. studiet af fejlslutninger og paradokser samt specialiseret analyse af ræsonnementer med sandsynlighed og argumenter, der involverer kausalitet og argumentationsteori.

Logiske systemer bør have tre ting: konsistens (hvilket betyder, at ingen af systemets sætninger modsiger hinanden); soliditet (hvilket betyder, at systemets bevisregler aldrig vil tillade en falsk slutning fra en sand præmis); og fuldstændighed (hvilket betyder, at der ikke er nogen sande sætninger i systemet, som ikke, i det mindste i princippet, kan bevises i systemet).

I det gamle Indien indeholder “Nasadiya Sukta” i Rig Veda’en forskellige logiske opdelinger, der senere blev omformet formelt som de fire katuskoti-cirkler: “A”, “ikke A”, “A og ikke A” og “ikke A og ikke ikke A”. Nyaya-skolen inden for indisk filosofisk spekulation er baseret på tekster kendt som “Nyaya Sutras” af Aksapada Gautama fra omkring det 2. århundrede f.Kr., og dens metode til slutning er baseret på et system af logik (der indebærer en kombination af induktion og deduktion ved at bevæge sig fra det partikulære til det partikulære via generalitet), som efterfølgende er blevet overtaget af de fleste andre indiske skoler.

Men moderne logik stammer hovedsagelig fra den oldgræske tradition. Både Platon og Aristoteles opfattede logikken som studiet af argumentation og ud fra en bekymring for argumentationens korrekthed. Aristoteles udgav seks værker om logik, der samlet er kendt som “Organon”, hvoraf det første af disse, “Prior Analytics”, er det første eksplicitte værk inden for formel logik.

Aristoteles gik ind for to principper af stor betydning i logikken, loven om den udelukkede midte (at ethvert udsagn er enten sandt eller falsk) og loven om ikke-modsigelse (til forveksling også kendt som loven om modsigelse, at intet udsagn er både sandt og falsk). Han er måske mest berømt for at have introduceret syllogismen (eller termlogikken) (se afsnittet om deduktiv logik nedenfor). Hans tilhængere, kendt som peripatetikerne, forfinede hans arbejde om logik yderligere.

I middelalderen blev Aristoteles’ logik (eller dialektik) studeret sammen med grammatik og retorik som et af de tre hovedstrenge i trivium, som var grundlaget for en middelalderlig liberal arts-uddannelse.

Logikken i islamisk filosofi bidrog også til udviklingen af moderne logik, især udviklingen af Avicennian logic (som var ansvarlig for indførelsen af den hypotetiske syllogisme, temporal logik, modal logik og induktiv logik) som et alternativ til den aristoteliske logik.

I det 18. århundrede argumenterede Immanuel Kant for, at logikken skulle opfattes som videnskaben om domme, således at logikkens gyldige slutninger følger af dommenes strukturelle træk, selv om han stadig fastholdt, at Aristoteles i det væsentlige havde sagt alt, hvad der var at sige om logikken som disciplin.

I det 20. århundrede vendte Gottlob Frege, Alfred North Whiteheads og Bertrand Russells arbejde med symbolsk logik imidlertid Kants påstand på hovedet. Denne nye logik, som de redegjorde for i deres fælles værk “Principia Mathematica”, er langt mere omfattende end den aristoteliske logik og indeholder endog den klassiske logik i sig selv, om end som en mindre del af den. Den ligner en matematisk kalkule og beskæftiger sig med symbolers indbyrdes relationer.

Logik generelt kan opdeles i formel logik, uformel logik og symbolsk logik og matematisk logik:

• Formel logik:
  Formel logik er det, vi opfatter som traditionel logik eller filosofisk logik, nemlig studiet af slutninger med et rent formelt og eksplicit indhold (dvs.dvs. at den kan udtrykkes som en særlig anvendelse af en helt abstrakt regel), som f.eks. de regler for formel logik, der er overleveret til os fra Aristoteles. (Se afsnittet om deduktiv logik nedenfor).
  Et formelt system (også kaldet en logisk kalkule) bruges til at udlede et udtryk (konklusion) fra et eller flere andre udtryk (præmisser). Disse forudsætninger kan være aksiomer (en selvindlysende sætning, der tages for givet) eller teoremer (afledt ved hjælp af et fast sæt af slutningsregler og aksiomer, uden yderligere antagelser).
  Formalisme er den filosofiske teori om, at formelle udsagn (logiske eller matematiske) ikke har nogen iboende betydning, men at dets symboler (der betragtes som fysiske enheder) udviser en form, der har nyttige anvendelser.
• Informel logik:
  Informel logik er en nyere disciplin, der studerer naturlige sprogargumenter og forsøger at udvikle en logik til at vurdere, analysere og forbedre ræsonnementer i almindeligt sprog (eller “hverdagsargumenter”). Ved naturligt sprog forstås her et sprog, der tales, skrives eller signeres af mennesker med henblik på kommunikation til generelle formål, til forskel fra formelle sprog (f.eks. computerprogrammeringssprog) eller konstruerede sprog (f.eks. esperanto).
  Det fokuserer på de ræsonnementer og argumenter, man finder i personlig udveksling, reklamer, politisk debat, juridiske argumenter og de sociale kommentarer, der kendetegner aviser, tv, internettet og andre former for massemedier.
• Symbolsk logik:
  Symbolsk logik er studiet af symbolske abstraktioner, der indfanger de formelle træk ved logisk inferens. Den beskæftiger sig med symbolers relationer til hinanden, ofte ved hjælp af komplekse matematiske kalkuler, i et forsøg på at løse uløselige problemer, som den traditionelle formelle logik ikke er i stand til at løse.
  Den er ofte opdelt i to undergrene:
  • Prædikatlogik: et system, hvor formler indeholder kvantificerbare variabler. (Se afsnittet om prædikatlogik nedenfor).
  • Propositionslogik (eller sætningslogik): et system, hvor formler, der repræsenterer sætninger, kan dannes ved at kombinere atomære sætninger ved hjælp af logiske forbindelsesled, og et system af formelle bevisregler gør det muligt at opstille visse formler som sætninger. (Se afsnittet om udsagnslogik nedenfor).
• Matematisk logik:
  Både anvendelsen af den formelle logiks teknikker på matematik og matematiske ræsonnementer og, omvendt, anvendelsen af matematiske teknikker på repræsentation og analyse af formel logik.
  Den tidligste anvendelse af matematik og geometri i forbindelse med logik og filosofi går tilbage til de gamle grækere som Euklid, Platon og Aristoteles.
  Computervidenskab opstod som disciplin i 1940’erne med Alan Turings (1912 – 1954) arbejde med Entscheidungsproblemet, der fulgte af Kurt Gödels (1906 – 1978) teorier, især hans ufuldstændighedssætninger. I 1950’erne og 1960’erne forudsagde forskerne, at når den menneskelige viden kunne udtrykkes ved hjælp af logik med matematisk notation, ville det være muligt at skabe en maskine, der ræsonnerer (eller kunstig intelligens), selv om dette viste sig at være vanskeligere end forventet på grund af kompleksiteten af den menneskelige ræsonnering.Matematikrelaterede doktriner omfatter:
  • Logikisme: det måske dristigste forsøg på at anvende logikken på matematikken, som blev indledt af filosoffer-logikere som Gottlob Frege og Bertrand Russell, især anvendelsen af matematikken på logikken i form af bevisteori, modelteori, mængdelære og rekursionsteori.
  • Intuitionisme: den doktrin, der hævder, at logik og matematik ikke består af analytiske aktiviteter, hvor dybe egenskaber ved eksistensen afsløres og anvendes, men blot af anvendelsen af internt konsistente metoder til at realisere mere komplekse mentale konstruktioner.

Deduktiv ræsonnement vedrører det, der nødvendigvis følger af givne præmisser (dvs. fra en generel præmis til en bestemt præmis). En slutning er deduktivt gyldig, hvis (og kun hvis) der ikke findes nogen mulig situation, hvor alle præmisserne er sande og konklusionen falsk. Man skal dog huske på, at en falsk præmis muligvis kan føre til en falsk konklusion.

Deduktive ræsonnementer blev udviklet af Aristoteles, Thales, Pythagoras og andre græske filosoffer fra den klassiske periode. Kernen i det deduktive ræsonnement er syllogismen (også kendt som termlogik),der normalt tilskrives Aristoteles), hvor en sætning (konklusionen) udledes af to andre (præmisserne), som hver især har et begreb til fælles med konklusionen. For eksempel:

Hovedpræmis: Alle mennesker er dødelige.
Mindrepræmis: Sokrates er et menneske.
Konklusion: Sokrates er dødelig.

Et eksempel på deduktion er:

Alle æbler er frugter.
Alle frugter vokser på træer.
Deraf vokser alle æbler på træer.

Man kan benægte de indledende præmisser og derfor benægte konklusionen. Men enhver, der accepterer præmisserne, må acceptere konklusionen. I dag hævder nogle akademikere, at Aristoteles’ system ikke har meget mere end historisk værdi, idet det er blevet forældet med fremkomsten af prædikatlogikken og udsagnslogikken (se afsnittene nedenfor).

Induktiv ræsonnement er processen med at udlede en pålidelig generalisering fra observationer (dvs. fra det partikulære til det generelle), således at man mener, at præmisserne i et argument understøtter konklusionen, men ikke nødvendigvis sikrer den. Induktiv logik beskæftiger sig ikke med gyldighed eller slutningsevne, men med soliditeten af de slutninger, for hvilke beviserne ikke er afgørende.

Mange filosoffer, herunder David Hume, Karl Popper og David Miller, har anfægtet eller benægtet den logiske antagelighed af induktive ræsonnementer. Især Hume argumenterede, at det kræver induktiv ræsonnement at nå frem til præmisserne for princippet om induktiv ræsonnement, og derfor er begrundelsen for induktiv ræsonnement et cirkulært argument.

Et eksempel på stærk induktion (et argument, hvor sandheden af præmissen vil gøre sandheden af konklusionen sandsynlig, men ikke sikker) er:

Alle observerede krager er sorte.

Derfor:

Alle krager er sorte.

Et eksempel på svag induktion (et argument, hvor forbindelsen mellem forudsætningen og konklusionen er svag, og hvor konklusionen ikke engang nødvendigvis er sandsynlig) er:

Jeg hænger altid billeder op på søm.

Derfor:

Alle billeder hænger på søm.

Modal logik er ethvert system af formel logik, der forsøger at beskæftige sig med modaliteter (udtryk, der er forbundet med begreberne mulighed, sandsynlighed og nødvendighed). Modal logik beskæftiger sig derfor med udtryk som “eventuelt”, “tidligere”, “muligvis”, “kan”, “kunne”, “kunne”, “måske”, “kan”, “må” osv.

Modaliteter er måder, hvorpå sætninger kan være sande eller falske. Typer af modaliteter omfatter:

• Alethiske modaliteter: Omfatter mulighed og nødvendighed, såvel som umulighed og kontingens. Nogle sætninger er umulige (nødvendigvis falske), mens andre er kontingente (både muligvis sande og muligvis falske).
• Temporale modaliteter: Historisk og fremtidig sandhed eller falskhed. Nogle sætninger var sande/falskede i fortiden, og andre vil være sande/falskede i fremtiden.
• Deontiske modaliteter: Forpligtelse og tilladelighed. Nogle sætninger burde være sande/falskede, mens andre er tilladelige.
• Epistemiske modaliteter: Viden og tro. Nogle sætninger er kendt for at være sande/falsk, og andre er troet for at være sande/falsk.

Men selv om Aristoteles’ logik næsten udelukkende beskæftiger sig med kategoriske syllogismer, foregreb han i nogen grad den modale logik og dens forbindelse med potentialitet og tid. Den moderne modallogik blev grundlagt af Gottlob Frege, selv om han i begyndelsen tvivlede på dens levedygtighed, og den blev først senere udviklet af Rudolph Carnap (1891 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1978), C.I. Lewis (1883 – 1964) og derefter Saul Kripke (1940 – ), der etablerede System K, den form for modallogik, som de fleste forskere bruger i dag).

Propositional Logic (eller Sentential Logic) beskæftiger sig kun med sætningsmæssige konnektiver og logiske operatorer (såsom “and”, “or”, “not”, “if …. så …”, “fordi” og “nødvendigvis”), i modsætning til prædikatlogik (se nedenfor), som også beskæftiger sig med den indre struktur af atomare sætninger.

Sætningslogik studerer således måder at sammenføje og/eller ændre hele sætninger, udsagn eller sætninger til mere komplekse sætninger, udsagn eller sætninger, samt de logiske relationer og egenskaber, som er afledt af disse metoder til at kombinere eller ændre udsagn. I udsagnslogikken betragtes de enkleste udsagn som uadskillelige enheder.

De stoiske filosoffer i slutningen af det 3. århundrede f.Kr. forsøgte at studere udsagnsoperatører som “og”, “eller” og “hvis … så …”, og Chrysippus (ca. 280-205 f.Kr.) udviklede en slags udsagnslogik ved at udpege en række forskellige måder at danne komplekse præmisser for argumenter på. Dette system blev også studeret af middelalderens logikere, selv om udsagnslogikken først for alvor kom til udfoldelse i midten af det 19. århundrede med fremkomsten af den symbolske logik hos logikere som Augustus DeMorgan (1806-1871), George Boole (1815-1864) og Gottlob Frege.

Predikatlogikken tillader, at sætninger kan analyseres i subjekt og argument på flere forskellige måder, i modsætning til den aristoteliske syllogistiske logik, hvor de former, som den relevante del af de involverede domme tog, skal specificeres og begrænses (se afsnittet om deduktiv logik ovenfor). Prædikatlogikken er også i stand til at give en redegørelse for kvantifikatorer, der er generel nok til at udtrykke alle argumenter, der forekommer i det naturlige sprog, hvilket gør det muligt at løse problemet med den multiple generalitet, som havde forvirret middelalderens logikere.

For eksempel er det intuitivt klart, at hvis:

En vis kat er frygtet af enhver mus

så følger det logisk set, at:

Alle mus er bange for mindst én kat

men fordi ovenstående sætninger hver især indeholder to kvantifikatorer (“some” og “every” i den første sætning og “all” og “at least one” i den anden sætning), kan de ikke repræsenteres på passende vis i traditionel logik.

Prædikatlogikken blev udformet som en form for matematik, og som sådan er den i stand til alle former for matematiske ræsonnementer, der ligger ud over term- eller syllogistisk logiks beføjelser. I første ordens logik (også kendt som første ordens prædikatkalkyle) kan et prædikat kun henvise til et enkelt subjekt, men prædikatlogikken kan også beskæftige sig med anden ordens logik, højere ordens logik, mange-sorteret logik eller infinitær logik. Den er også i stand til mange commonsense-slutninger, der unddrager sig termlogikken, og har (sammen med udsagnslogikken – se nedenfor) stort set fortrængt den traditionelle termlogik i de fleste filosofiske kredse.

Prædikatlogikken blev oprindeligt udviklet af Gottlob Frege og Charles Peirce i slutningen af det 19. århundrede, men den nåede sin fulde udfoldelse i Whiteheads og Russells logiske atomisme i det 20. århundrede (udviklet ud fra tidligere arbejde af Ludwig Wittgenstein).

En logisk fejlslutning er enhver form for fejl i ræsonnementer eller slutninger, eller i det væsentlige noget, der får et argument til at gå galt. Der findes to hovedkategorier af fejlslutninger, tvetydige fejlslutninger og kontekstuelle fejlslutninger:

• tvetydige fejlslutninger: Et udtryk er tvetydigt, hvis det har mere end én betydning. Der findes to hovedtyper:
  • ekvivokation: hvor et enkelt ord kan bruges i to forskellige betydninger.
  • amfiboli: hvor tvetydigheden opstår på grund af sætningsstrukturen (ofte på grund af hængende participier eller upræcis brug af negativer), snarere end de enkelte ords betydning.
• kontekstuelle fejlslutninger: som afhænger af den kontekst eller de omstændigheder, hvori sætningerne bruges. Der findes mange forskellige typer, blandt de mest almindelige er:
  • Betydningsfejl: hvor det er uklart, om en påstand er betydningsfuld eller ej.
  • Betydningsfejl: ukorrekt fremhævelse af ord i en sætning.
  • Fallacies of Quoting Out of Context: manipulation af sammenhængen i et citat.
  • Fallacies of Argumentum ad Hominem: Det kan ikke påvises, at en påstand er falsk, blot fordi det kan påvises, at den person, der fremsætter den, har en mangelfuld karakter.
  • Fallacies of Arguing from Authority: Sandhed eller falskhed kan ikke bevises, blot fordi den person, der siger det, anses for at være en “autoritet” på området.
  • Fallacies of Argumenter, der appellerer til følelser: Redegør for, hvordan folk har det med noget for at overbevise snarere end at bevise.
  • Fallacies of Argument from Ignorance: Et udsagn kan ikke bevises at være sandt, blot fordi der ikke er noget bevis for at modbevise det.
  • Fallacies of Begging the Question: Et cirkulært argument, hvor reelt det samme udsagn bruges både som forudsætning og som konklusion.
  • Kompositionsfejl: Antagelse om, at det, der er sandt for en del, også er sandt for helheden.
  • Divisionsfejl: Den omvendte antagelse om, at det, der er sandt for en helhed, også må være sandt for alle dens dele.
  • Fallacies of Irrelevant Conclusion: hvor konklusionen vedrører noget andet end det, som argumentet oprindeligt forsøgte at bevise.
  • Fallacies of Non-Sequitur: et argumentationsspring, hvor konklusionen ikke nødvendigvis følger af præmisserne.
  • Fallacies of Statistics: Statistikker kan manipuleres og skævvrides for at “bevise” mange forskellige hypoteser.

Dette er blot nogle af de mest almindeligt forekommende typer, Internet Encyclopedia of Philosophy-siden om Fallacies opregner 176!

Et paradoks er et udsagn eller en følelse, der tilsyneladende er modstridende eller i modstrid med den sunde fornuft, og som alligevel måske er sandt i virkeligheden. Omvendt kan et paradoks være et udsagn, der faktisk er selvmodsigende (og derfor falsk), selv om det tilsyneladende er sandt. Typisk er det sådan, at enten indebærer de pågældende udsagn i virkeligheden ikke modsigelsen, det gådefulde resultat er i virkeligheden ikke en modsigelse, eller selve forudsætningerne er ikke alle virkelig sande eller kan ikke være sande alle sammen.

Erkendelsen af tvetydigheder, tvetydigheder og uudtalte antagelser, der ligger til grund for kendte paradokser, har ført til betydelige fremskridt inden for videnskab, filosofi og matematik. Men mange paradokser (f.eks. Currys paradoks) har endnu ikke universelt accepterede løsninger.

Det kan hævdes, at der findes fire klasser af paradokser:

• Veridiske paradokser: som giver et resultat, der forekommer absurd, men som kan påvises at være sandt alligevel.
• Falside paradokser: som frembringer et resultat, der ikke blot synes falsk, men som faktisk er falsk.
• Antinomier: som hverken er veridiske eller falside, men som frembringer et selvmodsigende resultat ved korrekt anvendelse af accepterede ræsonnementer.
• Dialædier: som frembringer et resultat, der både er sandt og falsk på samme tid og i samme forstand.

Paradokser skyldes ofte selvreferencer (hvor en sætning eller formel refererer direkte til sig selv), uendelighed (et argument, der genererer en uendelig regres eller en uendelig række af understøttende referencer), cirkulære definitioner (hvor en sætning, der skal bevises, forudsættes implicit eller eksplicit i en af præmisserne), uklarhed (hvor det ikke er klart, om et begreb gælder eller ej), falske eller vildledende udsagn (påstande, der enten bevidst eller ubevidst er usande eller vildledende) og halve sandheder (vildledende udsagn, der indeholder et vist element af sandhed).

Nogle berømte paradokser omfatter:

• Epimenides’ løgnerparadoks: Epimenides var en kretenser, der sagde: “Alle kretensere er løgnere”. Skal vi tro på ham?
• Løgnerparadoks (2): “
• Løgnerparadoks (3): “Denne sætning er falsk: “Den næste sætning er falsk. Den foregående sætning er sand.”
• Currys paradoks: “Hvis denne sætning er sand, så eksisterer julemanden.”
• Quines paradoks: “giver falskhed, når den indledes med sit citat” giver falskhed, når den indledes med sit citat.
• Russell’s Barber Paradox: Hvis en barber barberer alle og kun de mænd i landsbyen, der ikke barberer sig selv, barberer han så sig selv?
• Grandfather Paradox: Antag, at en tidsrejsende går tilbage i tiden og dræber sin bedstefar, da denne kun var barn. Hvis hans bedstefar dør i barndommen, kan tidsrejseren ikke blive født. Men hvis tidsrejseren aldrig bliver født, hvordan kan han så overhovedet være rejst tilbage i tiden?
• Zenos dikotomiparadoks: Før et objekt i bevægelse kan tilbagelægge en bestemt afstand (f.eks. en person, der krydser et rum), skal det nå halvvejs. Før det kan nå halvvejs, skal det nå en fjerdedel af vejen. Før den kan bevæge sig en fjerdedel, skal den bevæge sig en ottendedel; før en ottendedel skal den bevæge sig en sekstendedel; og så videre. Da denne rækkefølge fortsætter i en uendelighed, skal et uendeligt antal punkter krydses, hvilket logisk set er umuligt på en endelig tidsperiode, så afstanden vil aldrig blive tilbagelagt (rummet krydset osv.).
• Zenos paradoks om Akilles og skildpadden: Hvis Akilles giver skildpadden et forspring i et løb, så har skildpadden, når Akilles er nået frem til skildpaddens startpunkt, allerede løbet på en kortere distance. Når Achilleus når frem til det andet punkt, er skildpadden allerede løbet videre igen osv. osv. Så Achilles kan aldrig indhente skildpadden.
• Zenos pileparadoks: Hvis en pil affyres fra en bue, så er pilen på ethvert tidspunkt enten der, hvor den er, eller også er den der, hvor den ikke er. Hvis den bevæger sig, hvor den er, så må den stå stille, og hvis den bevæger sig, hvor den ikke er, så kan den ikke være der. Den kan altså slet ikke bevæge sig.
• Theseus’ skibsparadoks: Efter Theseus’ død blev hans skib opstillet til offentlig fremvisning. Med tiden var alle plankerne på et eller andet tidspunkt rådnet op og var blevet erstattet med nye matchende planker. Hvis der ikke var noget tilbage af det “oprindelige” skib, var det så stadig Theseus’ skib?
• Sorites-paradoks: Hvis man fjerner et sandkorn fra en bunke, er det stadig en bunke. Hvis man fjerner korn enkeltvis, er det så stadig en dynge, når der kun er ét korn tilbage? Hvis ikke, hvornår er den så gået fra at være en bunke til ikke at være en bunke?
• Hempel’s Ravneparadoks: Hvis alle ravne er sorte, så er alt, der ikke er sort, ikke en ravn i henhold til den logiske ækvivalens. Så enhver observation af en blå trøje eller en rød kop bekræfter hypotesen om, at alle ravne er sorte.
• Petronius’ paradoks” “Mådehold i alle ting, herunder mådehold.”
• Paradoksal bemærkning: “
• Paradoks om kedelige tal: Hvis der findes et kedeligt tal, så kan vi dele alle tal op i to sæt – interessante og kedelige. I mængden af kedelige tal vil der kun være ét tal, som er det mindste. Da det er det mindste kedelige tal, bliver det ipso facto et interessant tal. Vi må derfor fjerne det fra den kedelige mængde og placere det i den anden. Men nu vil der være et andet mindste uinteressant tal. Hvis vi gentager denne proces, vil ethvert kedeligt tal blive interessant.
• Protagoras’ elevparadoks: En advokat indgik en aftale med en af sine elever, hvorefter eleven skulle betale for sin undervisning, når han havde vundet sin første sag. Efter et stykke tid blev advokaten utålmodig over elevens mangel på klienter og besluttede at sagsøge ham for det skyldige beløb. Advokatens logik var, at hvis han, advokaten, vandt, ville eleven betale ham i henhold til rettens dom; hvis eleven vandt, måtte han overholde aftalen og betale alligevel. Eleven hævdede imidlertid, at hvis han, eleven, vandt, behøvede han ifølge rettens dom ikke at betale advokaten, og hvis advokaten vandt, trådte aftalen ikke i kraft, og eleven behøvede ikke at betale advokaten.
• Moores paradoks: “Det vil regne, men jeg tror ikke på, at det vil regne.”
• Schrödingers kat: Der er en kat i en forseglet kasse, og kattens liv eller død er afhængig af tilstanden af en bestemt subatomar partikel. Ifølge kvantemekanikken har partiklen kun en bestemt tilstand på det præcise tidspunkt for kvantemåling, så katten forbliver både levende og død, indtil det øjeblik æsken åbnes.”
• “Skildpadder hele vejen ned”: En historie om en uendelig regression, der ofte tilskrives Bertrand Russell, men som sandsynligvis stammer fra århundreder tidligere, og som er baseret på en gammel (muligvis indisk) kosmologisk myte om, at jorden er en flad skive, der støttes af en kæmpe elefant, som igen støttes af en kæmpeskildpadde. I historien var svaret på spørgsmålet om, hvad skildpadden så støttede skildpadden, “det er skildpadder hele vejen ned”.

Tre doktriner, som kan betragtes under overskriften Logik, er: