Logiikka

Logiikka (kreikankielestä ”logos”, jolla on useita merkityksiä, kuten sana, ajatus, idea, argumentti, tili, syy tai periaate) on päättelyn tutkimus eli pätevän päättelyn ja todistamisen periaatteiden ja kriteerien tutkimus. Se pyrkii erottamaan hyvän päättelyn huonosta.

Aristoteles määritteli logiikan ”uudeksi ja välttämättömäksi päättelyksi”, ”uudeksi” siksi, että sen avulla voimme oppia sitä, mitä emme tiedä, ja ”välttämättömäksi” siksi, että sen johtopäätökset ovat väistämättömiä. Se esittää kysymyksiä, kuten ”Mikä on oikeaa päättelyä?”, ”Mikä erottaa hyvän argumentin huonosta?”, ”Miten voimme havaita virheellisen päättelyn?”

Logiikka tutkii ja luokittelee väitteiden ja argumenttien rakennetta sekä tutkimalla muodollisia päättelyjärjestelmiä että tutkimalla luonnollisen kielen argumentteja. Se käsittelee vain propositioita (deklaratiivisia lauseita, joita käytetään väitteen esittämiseen, toisin kuin kysymyksiä, käskyjä tai toiveita ilmaisevia lauseita), jotka voivat olla tosia ja vääriä. Se ei käsittele ajatteluun liittyviä psykologisia prosesseja eikä tunteita, mielikuvia tai muuta vastaavaa. Se kattaa keskeiset aiheet, kuten harhaluulojen ja paradoksien tutkimisen, sekä erikoistuneen analyysin päättelystä, jossa käytetään todennäköisyyksiä ja argumentteja, joihin liittyy kausaalisuutta ja argumentaatioteoriaa.

Logisilla systeemeillä tulisi olla kolme asiaa: johdonmukaisuus (mikä tarkoittaa, että yksikään systeemin lauseista ei ole ristiriidassa toistensa kanssa), virheettömyys (mikä tarkoittaa, että systeemin todistussäännöt eivät koskaan salli väärää johtopäätöstä oikeasta premissistä) ja täydellisyys (mikä tarkoittaa, että systeemissä ei ole yhtään sellaista totuudenmukaista lausetta, jota ei voida ainakaan periaatteessa todistaa systeemissä).

Vanhassa Intiassa Rig-vedan ”Nasadiya Sukta” sisältää erilaisia loogisia jaotteluja, jotka myöhemmin muotoiltiin muodollisesti uudelleen katuskodin neljäksi piiriksi: ”A”, ”ei A”, ”A ja ei A” ja ”ei A eikä ei A”. Intian filosofisen spekulaation Nyaya-koulukunta perustuu Aksapada Gautaman noin 2. vuosisadalta eaa. peräisin oleviin teksteihin, jotka tunnetaan nimellä ”Nyaya Sutras”, ja sen päättelymetodologia perustuu logiikkajärjestelmään (johon kuuluu induktio- ja deduktiomenetelmien yhdistelmä siirtymällä tietystä tietystä tietylle yleisyyden kautta), jonka suurin osa muista intialaisista koulukunnista on sittemmin ottanut omakseen.

Nykyaikainen logiikka juontaa juurensa kuitenkin pääasiassa muinaiskreikkalaisesta traditiosta. Sekä Platon että Aristoteles käsittivät logiikan argumentaation tutkimisena ja argumentaation oikeellisuudesta huolehtimisena. Aristoteles tuotti kuusi logiikkaa käsittelevää teosta, jotka tunnetaan yhteisnimellä ”Organon”, joista ensimmäinen, ”Prior Analytics”, on ensimmäinen eksplisiittinen teos muodollisesta logiikasta.

Aristoteles kannatti kahta logiikassa erittäin tärkeää periaatetta, poissuljetun keskitason lakia (että jokainen väite on joko tosi tai väärä) ja ristiriidattomuuden lakia (hämäävästi tunnetaan myös nimellä ”ristiriitaisuuden laki”, jonka mukaan yksikään väite ei voi olla yhtä aikaa sekä tosi että väärä). Hän on ehkä tunnetuin syllogismin (tai termilogiikan) esittelystä (ks. jäljempänä kohta Deduktiivinen logiikka). Hänen seuraajansa, jotka tunnetaan nimellä peripateetikot, jalostivat hänen logiikkaa koskevaa työtään edelleen.

Keskiajalla aristoteelista logiikkaa (tai dialektiikkaa) opiskeltiin kieliopin ja retoriikan ohella yhtenä kolmesta triviumin eli keskiaikaisen vapaan sivistystyön koulutuksen perustan kolmesta tärkeimmästä osa-alueesta.

Islamilaisen filosofian logiikka vaikutti myös osaltaan modernin logiikan kehitykseen, erityisesti avikennialaisen logiikan (joka oli vastuussa hypoteettisen syllogismin, temporaalilogiikan, modaalilogiikan ja induktiivisen logiikan käyttöönotosta) kehittämiseen vaihtoehtona aristoteeliselle logiikalle.

1700-luvulla Immanuel Kant väitti, että logiikka tulisi käsittää arvostelukyvyn tieteenä niin, että logiikan pätevät johtopäätökset seuraavat arvostelmien rakenteellisista piirteistä, vaikka hän edelleen väitti, että Aristoteles oli periaatteessa sanonut kaiken, mitä logiikasta tieteenalana oli sanottavaa.

2000-luvulla Gottlob Fregen, Alfred North Whiteheadin ja Bertrand Russellin symbolista logiikkaa käsittelevät työt kuitenkin käänsivät Kantin väitteen päälaelleen. Tämä uusi logiikka, joka esitettiin heidän yhteisessä teoksessaan ”Principia Mathematica”, on paljon laajempi kuin aristoteelinen logiikka, ja se sisältää jopa klassisen logiikan sisällään, vaikkakin vähäisenä osana. Se muistuttaa matemaattista laskutoimitusta ja käsittelee symbolien suhteita toisiinsa.

Logiikka voidaan yleisesti ottaen jakaa muodolliseen logiikkaan, epämuodolliseen logiikkaan ja symboliseen logiikkaan sekä matemaattiseen logiikkaan:

• Muodollinen logiikka:
  Muodollinen logiikka on sitä, mitä ajattelemme perinteisenä logiikkana tai filosofisena logiikkana, nimittäin puhtaasti muodollisen ja eksplisiittisen sisällön sisältävää päättelytutkimusta (esim.ts. se voidaan ilmaista täysin abstraktin säännön erityisenä sovelluksena), kuten Aristoteleelta meille periytyneet muodollisen logiikan säännöt. (Ks. jäljempänä kohta Deduktiivinen logiikka).
  Formaalia järjestelmää (jota kutsutaan myös loogiseksi kalkyyliksi) käytetään yhden lausekkeen (johtopäätöksen) johtamiseen yhdestä tai useammasta muusta lausekkeesta (premissiosta). Nämä premissiot voivat olla aksioomeja (itsestään selvä, itsestään selvä propositio, jota pidetään itsestään selvänä) tai teoreemoja (jotka johdetaan käyttämällä kiinteää joukkoa päättelysääntöjä ja aksioomeja ilman lisäoletuksia).
  Formalismi on filosofinen teoria, jonka mukaan muodollisilla lausumilla (loogisilla tai matemaattisilla) ei ole mitään sisäistä merkitystä, mutta sen symboleilla (joita pidetään fyysisinä entiteetteinä) on muoto, jolla on hyödyllisiä sovelluksia.
• Epävirallinen logiikka:
  Epävirallinen logiikka on viimeaikainen tieteenala, joka tutkii luonnollisen kielen argumentteja ja pyrkii kehittämään logiikan, jolla voidaan arvioida, analysoida ja parantaa tavallisen kielen (tai ”arkipäivän”) päättelyä. Luonnollisella kielellä tarkoitetaan tässä ihmisten puhumaa, kirjoittamaa tai viittomaa kieltä, jota ihmiset käyttävät yleiskieliseen viestintään, erotuksena muodollisista kielistä (kuten tietokoneohjelmointikielistä) tai konstruoiduista kielistä (kuten esperantosta).
  Tässä keskitytään päättelyyn ja argumentointiin, jota esiintyy henkilökohtaisessa kanssakäymisessä, mainonnassa, poliittisessa keskustelussa, oikeudellisessa argumentoinnissa ja yhteiskunnallisessa kommentoinnissa, joka on ominaista sanomalehdille, televisiolle, Internetille ja muille joukkoviestintävälineille.
• Symbolinen logiikka:
  Symbolinen logiikka tutkii symbolisia abstraktioita, jotka tavoittelevat loogisen päättelyn formaalisia piirteitä. Se käsittelee symbolien suhteita toisiinsa, usein käyttäen monimutkaisia matemaattisia laskutoimituksia, pyrkien ratkaisemaan vaikeasti ratkaistavia ongelmia, joihin perinteinen formaalilogiikka ei pysty vastaamaan.
  Se jaetaan usein kahteen alahaaraan:
  • Predikaattilogiikka: Järjestelmä, jossa kaavat sisältävät kvantifioitavissa olevia muuttujia. (Ks. kohta Predikaattilogiikka jäljempänä).
  • Propositiologiikka (tai lauselogiikka): Järjestelmä, jossa lauseita edustavat kaavat voidaan muodostaa yhdistelemällä atomaarisia lauseita loogisten konnektiivien avulla, ja formaalien todistussääntöjen järjestelmän avulla tietyt kaavat voidaan todeta teoreemoina. (Ks. kohta Propositiologiikka jäljempänä).
• Matemaattinen logiikka:
  Sekä muodollisen logiikan tekniikoiden soveltaminen matematiikkaan ja matemaattiseen päättelyyn että päinvastoin matemaattisten tekniikoiden soveltaminen muodollisen logiikan esittämiseen ja analysointiin.
  Matematiikan ja geometrian varhaisin käyttö suhteessa logiikkaan ja filosofiaan juontaa juurensa antiikin kreikkalaisiin, kuten Eukleideen, Platoniin ja Aristoteleeseen.
  Tietokonetiede syntyi tieteenalana 1940-luvulla Alan Turingin (1912-1954) Entscheidungsproblemia koskevan työn myötä, joka seurasi Kurt Gödelin (1906-1978) teorioista, erityisesti hänen epätäydellisyysteoreemastaan. 1950- ja 1960-luvuilla tutkijat ennustivat, että kun inhimillinen tieto voitaisiin ilmaista logiikan avulla matemaattisella notaatiolla, olisi mahdollista luoda päättelevä kone (tai tekoäly), vaikka tämä osoittautui odotettua vaikeammaksi ihmisen päättelyn monimutkaisuuden vuoksi.Matematiikkaan liittyviä oppeja ovat muun muassa:
  • Logiikkaoppi: ehkä rohkein yritys soveltaa logiikkaa matematiikkaan, jonka edelläkävijöinä ovat olleet filosofilogikot kuten Gottlob Frege ja Bertrand Russell, erityisesti matematiikan soveltaminen logiikkaan todistusteorian, malliteorian, joukko- ja rekursioteorian muodossa.
  • Intuitionismi: oppi, jonka mukaan logiikka ja matematiikka eivät koostu analyyttisestä toiminnasta, jossa paljastetaan ja sovelletaan olemassaolon syviä ominaisuuksia, vaan ainoastaan sisäisesti johdonmukaisten menetelmien soveltamisesta monimutkaisempien mentaalisten konstruktioiden toteuttamiseksi.

Deduktiivinen päättely koskee sitä, mikä seuraa välttämättä annetuista lähtökohdista (ts. yleisestä lähtökohdasta tiettyyn). Johtopäätös on deduktiivisesti pätevä, jos (ja vain jos) ei ole mahdollista tilannetta, jossa kaikki premissiot ovat tosia ja johtopäätös väärä. On kuitenkin muistettava, että väärä premissi voi mahdollisesti johtaa väärään johtopäätökseen.

Deduktiivista päättelyä kehittivät Aristoteles, Thales, Pythagoras ja muut klassisen ajan kreikkalaiset filosofit. Deduktiivisen päättelyn ytimessä on syllogismi (tunnetaan myös nimellä termilogiikka),joka yleensä liitetään Aristoteleelle), jossa yksi propositio (johtopäätös) johdetaan kahdesta muusta (premissiosta), joista kummallakin on yksi yhteinen termi johtopäätöksen kanssa. Esimerkiksi:

Pääpremissi: Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia.
Pienempi premissi: Sokrates on ihminen.
Tulos: Sokrates on kuolevainen.

Esimerkki deduktiosta on:

Kaikki omenat ovat hedelmiä.
Kaikki hedelmät kasvavat puissa.
Sentähden kaikki omenat kasvavat puissa.

Voidaan kiistää alkupremissiot ja siten kiistää johtopäätös. Mutta jokaisen, joka hyväksyy lähtökohdat, on hyväksyttävä johtopäätös. Nykyään jotkut akateemikot väittävät, että Aristoteleen järjestelmällä on vain vähän historiallista arvoa, sillä se on vanhentunut predikaattilogiikan ja propositionaalilogiikan tulon myötä (ks. jäljempänä olevat kappaleet).

Induktiivinen päättely on prosessi, jossa havainnoista johdetaan luotettava yleistys (eli erityisestä yleiseen) siten, että argumentin premissien uskotaan tukevan johtopäätöstä, mutta ne eivät välttämättä takaa sitä. Induktiivisessa logiikassa ei ole kyse pätevyydestä tai todistusvoimaisuudesta, vaan niiden johtopäätösten paikkansapitävyydestä, joiden osalta todisteet eivät ole todistusvoimaisia.

Monet filosofit, kuten David Hume, Karl Popper ja David Miller, ovat kiistäneet tai kieltäneet induktiivisen päättelyn loogisen hyväksyttävyyden. Erityisesti Hume väitti, että induktiivisen päättelyn periaatteen premissien saaminen edellyttää induktiivista päättelyä, ja siksi induktiivisen päättelyn oikeutus on ympäripyöreä argumentti.

Esimerkki vahvasta induktiosta (argumentti, jossa premissin totuus tekisi johtopäätöksen totuuden todennäköiseksi, mutta ei lopulliseksi) on:

Kaikki havaitut varikset ovat mustia.

Siitä syystä:

kaikki varikset ovat mustia.

Esimerkki heikosta induktiosta (argumentti, jossa yhteys premissin ja johtopäätöksen välillä on heikko, eikä johtopäätös ole edes välttämättä todennäköinen) on:

Ripustan kuvat aina nauloihin.

Siten:

Kaikki kuvat roikkuvat nauloissa.

Modaalilogiikka on mikä tahansa muodollisen logiikan järjestelmä, joka pyrkii käsittelemään modaliteetteja (ilmauksia, jotka liittyvät mahdollisuuden, todennäköisyyden ja välttämättömyyden käsitteisiin). Modaalilogiikka käsittelee siis sellaisia termejä kuin ”lopulta”, ”aiemmin”, ”mahdollisesti”, ”voi”, ”voisi”, ”voisi”, ”voi”, ”voi”, ”täytyy” jne.

Modaliteetit ovat tapoja, joilla propositiot voivat olla tosia tai epätosia. Modaliteettityyppejä ovat:

• Aleettiset modaliteetit: Sisältää mahdollisuuden ja välttämättömyyden sekä mahdottomuuden ja sattumanvaraisuuden. Jotkut propositiot ovat mahdottomia (välttämättä vääriä), kun taas toiset ovat kontingentteja (sekä mahdollisesti tosia että mahdollisesti vääriä).
• Temporaaliset modaliteetit: Historiallinen ja tulevaisuuden totuus tai vääryys. Jotkut propositiot olivat totta/väärää menneisyydessä ja toiset tulevat olemaan totta/väärää tulevaisuudessa.
• Deonttiset modaliteetit: Velvollisuus ja sallittavuus. Joidenkin propositioiden pitäisi olla totta/väärää, kun taas toiset ovat sallittuja.
• Episteemiset modaliteetit: Tieto ja uskomus. Joidenkin propositioiden tiedetään olevan tosia/vääriä ja toisten uskotaan olevan tosia/vääriä.

Vaikka Aristoteleen logiikka käsitteleekin lähes kokonaan kategorisia syllogismeja, hän kuitenkin ennakoi jossain määrin modaalista logiikkaa ja sen yhteyttä potentiaalisuuteen ja aikaan. Nykyaikaisen modaalilogiikan perusti Gottlob Frege, vaikka hän aluksi epäili sen toteuttamiskelpoisuutta, ja sitä kehittivät vasta myöhemmin Rudolph Carnap (1891 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1978), C.I. Lewis (1883 – 1964) ja sitten Saul Kripke (1940 – ), joka loi Systeemi K:n, modaalilogiikan muodon, jota suurin osa tutkijoista käyttää nykyään).

Propositiologiikka (tai lauseopillinen logiikka) käsittelee vain lauseopillisia konnektiiveja ja loogisia operaattoreita (kuten ”ja”, ”tai”, ”ei”, ”jos … sitten …”, ”koska” ja ”välttämättä”), toisin kuin predikaattilogiikka (ks. jäljempänä), joka käsittelee myös atomaaristen lauseiden sisäistä rakennetta.

Propositiologiikka tutkii siis tapoja, joilla kokonaisia lauseita, lausumia tai lauseita voidaan liittää yhteen ja/tai muuttaa monimutkaisemmiksi lauseiksi, lausumiksi tai lausumiksi, sekä loogisia suhteita ja ominaisuuksia, jotka johdetaan näistä lausumien yhdistämis- tai muuttamistavoista. Propositionaalisessa logiikassa yksinkertaisimpia lausumia pidetään jakamattomina yksikköinä.

Stoalaiset filosofit pyrkivät 3. vuosisadan loppupuolella eaa. tutkimaan sellaisia lausumaoperaattoreita kuin ”ja”, ”tai” ja ”jos …, niin …”, ja Chrysippos (n. 280-205 eaa.) kehitti eräänlaista propositionaalista logiikkaa merkitsemällä esiin useita erilaisia tapoja muodostaa monimutkaisia premissejä argumentteja varten. Myös keskiaikaiset loogikot tutkivat tätä järjestelmää, vaikka propositionaalinen logiikka toteutui vasta 1800-luvun puolivälissä, kun symbolinen logiikka kehittyi Augustus DeMorganin (1806-1871), George Boole (1815-1864) ja Gottlob Fregen kaltaisten loogikkojen työn myötä.

Predikaattilogiikan avulla lauseet voidaan analysoida subjektiksi ja argumentiksi useilla eri tavoilla, toisin kuin aristoteelisessa syllogistisessa logiikassa, jossa oli määriteltävä ja rajattava ne muodot, jotka asianomainen osa mukana olevista tuomioista otti (ks. edellä deduktiivista logiikkaa käsittelevä luku). Predikaattilogiikka pystyy myös antamaan riittävän yleisen selityksen kvanttoreista ilmaistakseen kaikki luonnollisessa kielessä esiintyvät argumentit, mikä mahdollistaa keskiaikaisia loogikkoja hämmentäneen moninkertaisen yleisyyden ongelman ratkaisemisen.

On esimerkiksi intuitiivisesti selvää, että jos:

jotain kissaa pelkää jokainen hiiri

tällöin loogisesti seuraa, että:

Kaikki hiiret pelkäävät vähintään yhtä kissaa

Mutta koska yllä olevat lauseet sisältävät kumpikin kaksi kvanttoria (”joitakin” ja ”jokaista” ensimmäisessä lauseessa ja ”kaikkia” ja ”vähintään yhtä” toisessa lauseessa), niitä ei voida riittävästi esittää perinteisellä logiikalla.

Predikaattilogiikka on suunniteltu matematiikan muodoksi, ja sellaisena se kykenee kaikenlaiseen matemaattiseen päättelyyn, joka ylittää termien tai syllogistisen logiikan voimat. Ensimmäisen kertaluvun logiikassa (tunnetaan myös nimellä ensimmäisen kertaluvun predikaattilaskenta) predikaatti voi viitata vain yhteen subjektiin, mutta predikaattilogiikassa voidaan käsitellä myös toisen kertaluvun logiikkaa, korkeamman kertaluvun logiikkaa, monijärjestyslogiikkaa tai äärettömyyslogiikkaa. Se kykenee myös moniin maalaisjärjellä tehtäviin johtopäätöksiin, jotka jäävät termilogiikan ulottumattomiin, ja (yhdessä propositionaalilogiikan kanssa – ks. jäljempänä) se on lähes syrjäyttänyt perinteisen termilogiikan useimmissa filosofisissa piireissä.

Predikaattilogiikkaa kehittivät alun perin Gottlob Frege ja Charles Peirce 1800-luvun loppupuoliskolla, mutta se saavutti täysipainoisen kukoistuksensa Whiteheadin ja Russellin loogisessa atomismissa 1900-luvun lopulla (se kehitettiin Ludvig Wittgensteinin aiemmasta työstä käsin).

Looginen erehdys on mikä tahansa virhe päättelyssä tai päättelyssä tai periaatteessa mikä tahansa, joka saa argumentin menemään pieleen. Virheitä on kahta pääluokkaa, epäselvyysvirheitä ja kontekstuaalisia virheitä:

• Epäselvyysvirheet: Termi on epäselvä, jos sillä on useampi kuin yksi merkitys. Niitä on kahta päätyyppiä:
  • equivocation: jolloin yhtä sanaa voidaan käyttää kahdessa eri merkityksessä.
  • amphiboly: jolloin epäselvyys johtuu pikemminkin lauserakenteesta (usein roikkuvista partisiippeista tai negaatioiden epätäsmällisestä käytöstä) kuin yksittäisten sanojen merkityksestä.
• Contextual Fallacies: jotka ovat riippuvaisia siitä asiayhteydestä tai olosuhteista, joissa lauseita käytetään. Niitä on monia eri tyyppejä, joista yleisimpiä ovat:
  • Merkityspoikkeamat: kun on epäselvää, onko väite merkittävä vai ei.
  • Painotuspoikkeamat: sanojen virheellinen korostaminen lauseessa.
  • Fallacies of Quoting Out of Context: sitaatin asiayhteyden manipulointi.
  • Fallacies of Argumentum ad Hominem: väitteen ei voida osoittaa olevan väärä vain siksi, että sen esittäjä voidaan osoittaa luonteeltaan puutteelliseksi.
  • Fallacies of Arguing from Authority: totuutta tai vääryyttä ei voida todistaa pelkästään siksi, että sen sanojaa pidetään aiheen ”auktoriteettina”.
  • Fallacies of Arguments which Appeal to Sentiments: raportointi siitä, miten ihmiset suhtautuvat johonkin asiaan, jotta voitaisiin pikemminkin vakuuttaa kuin todistaa.
  • Fallacies of Argument from Ignorance: väittämää ei voida todistaa todeksi vain siksi, että sen kumoamiseksi ei ole todisteita.
  • Fallacies of Begging the Question: ympäripyöreä argumentti, jossa käytännössä samaa väitettä käytetään sekä premissinä että johtopäätöksenä.
  • Kokoonpanovirheet: oletus siitä, että se, mikä on totta osasta, on totta myös kokonaisuudesta.
  • Jakovirheet: käänteinen oletus siitä, että se, mikä on totta kokonaisuudesta, on totta myös kaikista sen osista.
  • Irrelevantin johtopäätöksen virheet: Kun johtopäätös koskee jotakin muuta kuin sitä, mitä argumentti alun perin yritti todistaa.
  • Non-Sequiturin virheet: Argumentatiivinen harppaus, jossa johtopäätös ei välttämättä seuraa premisseistä.
  • Fallacies of Statistics: tilastoja voidaan manipuloida ja vääristellä monien erilaisten hypoteesien ”todistamiseksi”.

Nämä ovat vain joitakin yleisimmin esiintyviä tyyppejä, Internet Encyclopedia of Philosophy:n sivulla Fallacies on Fallacies luetellaan 176!

Paradoksi on väite tai tunne, joka on näennäisesti ristiriitainen tai vastoin tervettä järkeä ja joka kuitenkin on kenties itse asiassa totta. Kääntäen paradoksi voi olla lausuma, joka on itse asiassa itseisarvoltaan ristiriitainen (ja siksi väärä), vaikka se näyttäisi olevan totta. Tyypillisesti joko kyseiset lausumat eivät todellisuudessa implikoi ristiriitaa, hämmentävä tulos ei ole todellisuudessa ristiriita, tai itse premissiot eivät kaikki ole todellisuudessa totta tai kaikki eivät voi olla totta yhdessä.

Tunnettujen paradoksien taustalla olevien epäselvyyksien, moniselitteisyyksien ja julkilausumattomien oletusten tunnistaminen on johtanut merkittäviin edistysaskeliin luonnontieteissä, filosofiassa ja matematiikassa. Moniin paradokseihin (esim. Curryn paradoksi) ei kuitenkaan ole vielä yleisesti hyväksyttyjä ratkaisuja.

Voidaan väittää, että paradokseja on neljää luokkaa:

• Veridiset paradoksit: jotka tuottavat tuloksen, joka vaikuttaa absurdilta, mutta jonka voidaan osoittaa olevan kuitenkin totta.
• Falsidiset paradoksit: jotka tuottavat tuloksen, joka ei ainoastaan näytä väärältä vaan on tosiasiassa väärä.
• Antinomiat: jotka eivät ole veridisiä eivätkä falsidisia, vaan tuottavat itselleen ristiriitaisen tuloksen soveltamalla oikein hyväksyttyjä päättelytapoja.
• Dialeteiat: jotka tuottavat tuloksen, joka on samanaikaisesti ja samassa merkityksessä sekä tosi että väärä.

Paradoksit johtuvat usein itseviittauksesta (jolloin lause tai kaava viittaa suoraan itseensä), äärettömyydestä (argumentti, joka synnyttää äärettömän regressin tai äärettömän sarjan tukiviittauksia), ympäripyöreistä määritelmistä (joissa todistettava propositio oletetaan implisiittisesti tai eksplisiittisesti jossakin premisseistä), epämääräisyys (kun ei ole selvää, päteekö jokin käsite vai ei), väärät tai harhaanjohtavat väitteet (väitteet, jotka ovat joko tahallisesti tai tietämättään totuudenvastaisia tai harhaanjohtavia) ja puolitotuudet (harhaanjohtavat väitteet, jotka sisältävät jonkinlaisen totuuden elementin).

Joitakin kuuluisia paradokseja ovat:

• Epimenidesin valehtelijaparadoksi: Epimenides oli kreetalainen, joka sanoi: ”Kaikki kreetalaiset ovat valehtelijoita”. Pitäisikö meidän uskoa häntä?
• Valehtelijan paradoksi (2): ”Tämä lause on väärä.”
• Valehtelijan paradoksi (3): ”Seuraava lause on väärä. Edellinen lause on tosi.”
• Curryn paradoksi: ”Jos tämä lause on tosi, niin joulupukki on olemassa.”
• Quinen paradoksi: ”tuottaa valheellisuutta, kun sitä edeltää sen lainaus” tuottaa valheellisuutta, kun sitä edeltää sen lainaus.
• Russellin parturiparadoksi: Jos parturi ajelee kaikki ja vain ne kylän miehet, jotka eivät aja itseään, ajeleeko hän itseään?
• Isoisäparadoksi: Oletetaan, että aikamatkustaja menee ajassa taaksepäin ja tappaa isoisänsä, kun tämä oli vasta lapsi. Jos hänen isoisänsä kuolee lapsuudessa, aikamatkustaja ei voi syntyä. Mutta jos aikamatkustaja ei koskaan synny, miten hän on ylipäätään voinut matkustaa ajassa taaksepäin?
• Zenonin dikotomiaparadoksi: Ennen kuin liikkuva esine voi kulkea tietyn matkan (esim. henkilö ylittää huoneen), sen on päästävä puoliväliin. Ennen kuin se pääsee puoliväliin, sen on päästävä neljäsosaan matkasta. Ennen kuin se kulkee neljänneksen, sen on kuljettava yksi kahdeksasosa, ennen kahdeksasosaa yksi kuudestoistaosa ja niin edelleen. Koska tämä sarja jatkuu loputtomiin, on ylitettävä ääretön määrä kohtia, mikä on loogisesti mahdotonta äärellisessä ajassa, joten matkaa ei koskaan tulla kulkemaan (huoneen ylittäminen jne.).
• Zenonin paradoksi Akhilleuksesta ja kilpikonnasta: Jos Akhilleus antaa kilpikonnalle etumatkaa juoksukilpailussa, niin kun Akhilleus on saapunut kilpikonnan lähtöpisteeseen, kilpikonna on jo juossut lyhyemmän matkan. Siihen mennessä, kun Akilles saapuu tuohon toiseen pisteeseen, kilpikonna on taas siirtynyt eteenpäin jne. jne. Akilles ei siis voi koskaan saada kilpikonnaa kiinni.
• Zenonin nuoliparadoksi: Jos jousesta ammutaan nuoli, niin minä tahansa hetkenä ajassa nuoli joko on siellä, missä se on, tai se on siellä, missä se ei ole. Jos se liikkuu siellä missä se on, niin sen täytyy olla paikallaan, ja jos se liikkuu siellä missä se ei ole, niin se ei voi olla siellä. Näin ollen se ei voi liikkua ollenkaan.
• Theseuksen laivan paradoksi: Theseuksen kuoltua hänen laivansa asetettiin julkisesti näytteille. Ajan myötä kaikki lankut olivat jossain vaiheessa lahonneet, ja ne oli korvattu uusilla samanlaisilla lankuilla. Jos varsinaisesta ”alkuperäisestä” laivasta ei ollut jäljellä mitään, oliko se silti Theseuksen laiva?
• Sorites (Hiekkakasa) paradoksi: Jos otat kasasta pois yhden hiekanjyvän, se on edelleen kasa. Jos jyvät otetaan yksitellen pois, onko se edelleen kasa, kun jäljelle jää vain yksi jyvä? Jos ei, milloin se muuttui kasasta ei-kasaksi?
• Hempelin korppiparadoksi: Jos kaikki korpit ovat mustia, niin tiukan loogisen ekvivalenssin mukaan kaikki, mikä ei ole mustaa, ei ole korppi. Jokainen havainto sinisestä villapaidasta tai punaisesta kupista vahvistaa siis hypoteesin, jonka mukaan kaikki korpit ovat mustia.
• Petroniuksen paradoksi” ”Kohtuus kaikessa, myös kohtuus.”
• Paradoksaalinen huomautus: ”Ole hyvä ja jätä tämä ilmoitus huomiotta.”
• Tylsät luvut -paradoksi: Jos on olemassa sellainen asia kuin tylsä luku, niin voimme jakaa kaikki luvut kahteen joukkoon – mielenkiintoisiin ja tylsiin. Tylsien lukujen joukossa on vain yksi luku, joka on pienin. Koska se on pienin tylsä luku, siitä tulee ipso facto mielenkiintoinen luku. Siksi se on poistettava tylsästä joukosta ja sijoitettava toiseen. Mutta nyt on olemassa toinen pienin epäkiinnostava luku. Tämän prosessin toistaminen tekee mistä tahansa tylsästä luvusta mielenkiintoisen.”
• Protagoraan oppilasparadoksi: Eräs lakimies teki erään oppilaansa kanssa sopimuksen, jonka mukaan oppilas maksaisi hänen opetuksensa sen jälkeen, kun hän olisi voittanut ensimmäisen tapauksensa. Jonkin ajan kuluttua asianajaja kävi kärsimättömäksi oppilaan asiakkaiden puutteeseen ja päätti haastaa hänet oikeuteen velkasummasta. Asianajajan logiikka oli, että jos hän, asianajaja, voittaisi, oppilas maksaisi hänelle tuomioistuimen tuomion mukaisesti; jos oppilas voittaisi, hänen olisi noudatettava sopimusta ja maksettava joka tapauksessa. Oppilas kuitenkin väitti, että jos hän voittaisi, hänen ei tarvitsisi tuomioistuimen tuomion mukaan maksaa asianajajalle, ja jos asianajaja voittaisi, sopimus ei tulisi voimaan eikä oppilaan tarvitsisi maksaa asianajajalle.
• Mooren paradoksi: ”Sataa, mutta en usko, että sataa.”
• Schrödingerin kissa: Suljetussa laatikossa on kissa, ja kissan elämä tai kuolema riippuu tietyn subatomisen hiukkasen tilasta. Kvanttimekaniikan mukaan hiukkasella on tietty tila vain tarkalleen kvanttimittaushetkellä, joten kissa on sekä elossa että kuollut, kunnes laatikko avataan.”
• ”Turtles all the way down”: Tarina äärettömästä taantumasta, joka usein liitetään Bertrand Russellille, mutta joka luultavasti on peräisin vuosisatoja aikaisemmin ja perustuu vanhaan (mahdollisesti intialaiseen) kosmologiseen myyttiin, jonka mukaan maapallo on litteä kiekko, jota kannattelee jättiläisnorsu, jota puolestaan kannattelee jättiläiskilpikonna. Kun tarinassa kysyttiin, mikä sitten kannatteli kilpikonnaa, vastaus oli ”se on kilpikonnia koko ajan”.

Kolme oppia, joita voidaan tarkastella otsikon Logiikka alla, ovat:

.