- Lernziele
- Beispiel 1. Berechnung der Wellenlängen: Wie groß sind die Wellenlängen der hörbaren Töne?
- Strategie
- Lösung
- Diskussion
- Making Connections: Take-Home Investigation-Voice as a Sound Wave
- Prüfe dein Verständnis
- Teil 1
- Lösung
- Teil 2
- Lösung
- Zusammenfassung des Abschnitts
- Konzeptuelle Fragen
- Probleme &Übungen
- Glossar
- Ausgewählte Lösungen zu Problemen & Übungen
Lernziele
Am Ende dieses Abschnitts werden Sie in der Lage sein:
- Die Tonhöhe zu definieren.
- Beschreiben Sie die Beziehung zwischen Schallgeschwindigkeit, Frequenz und Wellenlänge.
- Beschreibe die Auswirkungen auf die Schallgeschwindigkeit bei der Ausbreitung durch verschiedene Medien.
- Beschreibe die Auswirkungen der Temperatur auf die Schallgeschwindigkeit.
Abbildung 1. Wenn ein Feuerwerkskörper explodiert, wird die Lichtenergie vor der Schallenergie wahrgenommen. Schall breitet sich langsamer aus als Licht. (credit: Dominic Alves, Flickr)
Schall breitet sich, wie alle Wellen, mit einer bestimmten Geschwindigkeit aus und hat die Eigenschaften Frequenz und Wellenlänge. Ein direkter Beweis für die Geschwindigkeit des Schalls lässt sich beim Betrachten eines Feuerwerks beobachten. Der Blitz einer Explosion ist lange vor dem Geräusch zu sehen, was darauf hindeutet, dass sich der Schall mit einer endlichen Geschwindigkeit ausbreitet und viel langsamer als das Licht ist. Man kann auch die Frequenz eines Tons direkt wahrnehmen. Die Wahrnehmung der Frequenz wird als Tonhöhe bezeichnet. Die Wellenlänge des Schalls wird nicht direkt wahrgenommen, aber ein indirekter Beweis findet sich in der Korrelation zwischen der Größe von Musikinstrumenten und ihrer Tonhöhe. Kleine Instrumente, wie z. B. eine Pikkoloflöte, erzeugen in der Regel hohe Töne, während große Instrumente, wie z. B. eine Tuba, in der Regel niedrige Töne erzeugen. Eine hohe Tonhöhe bedeutet eine kleine Wellenlänge, und die Größe eines Musikinstruments steht in direktem Zusammenhang mit den Wellenlängen des von ihm erzeugten Klangs. Ein kleines Instrument erzeugt also Klänge mit kurzer Wellenlänge. Ähnlich verhält es sich mit einem großen Instrument, das langwellige Töne erzeugt.
Die Beziehung zwischen der Schallgeschwindigkeit, der Frequenz und der Wellenlänge ist die gleiche wie bei allen Wellen: vw = fλ, wobei vw die Schallgeschwindigkeit, f die Frequenz und λ die Wellenlänge ist. Die Wellenlänge eines Schalls ist der Abstand zwischen benachbarten identischen Teilen einer Welle – zum Beispiel zwischen benachbarten Kompressionen, wie in Abbildung 2 dargestellt. Die Frequenz ist die gleiche wie die der Quelle und ist die Anzahl der Wellen, die einen Punkt pro Zeiteinheit passieren.
Abbildung 2. Eine Schallwelle geht von einer Quelle aus, die mit einer Frequenz f schwingt, breitet sich mit Vw aus und hat eine Wellenlänge λ.
Tabelle 1 macht deutlich, dass die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien sehr unterschiedlich ist. Die Schallgeschwindigkeit in einem Medium wird durch eine Kombination aus der Steifigkeit des Mediums (oder der Kompressibilität bei Gasen) und seiner Dichte bestimmt. Je steifer (oder weniger komprimierbar) das Medium ist, desto höher ist die Schallgeschwindigkeit. Diese Beobachtung ist vergleichbar mit der Tatsache, dass die Frequenz einer einfachen harmonischen Bewegung direkt proportional zur Steifigkeit des schwingenden Objekts ist. Je größer die Dichte eines Mediums ist, desto langsamer ist die Schallgeschwindigkeit. Diese Beobachtung entspricht der Tatsache, dass die Frequenz einer einfachen harmonischen Bewegung umgekehrt proportional zur Masse des schwingenden Objekts ist. Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist niedrig, weil Luft komprimierbar ist. Da Flüssigkeiten und Feststoffe relativ starr sind und sich nur schwer komprimieren lassen, ist die Schallgeschwindigkeit in solchen Medien im Allgemeinen größer als in Gasen.
| Tabelle 1. Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien | |
|---|---|
| Medium | vw(m/s) |
| Gase bei 0ºC | |
| Luft | 331 |
| Kohlendioxid | 259 |
| Sauerstoff | 316 |
| Helium | 965 |
| Wasserstoff | 1290 |
| Flüssigkeiten bei 20ºC | |
| Ethanol | 1160 |
| Quecksilber | 1450 |
| Wasser, Süßwasser | 1480 |
| Meerwasser | 1540 |
| Menschliches Gewebe | 1540 |
| Feststoffe (längs oder lose) | |
| Vulkanisierter Gummi | 54 |
| Polyethylen | 920 |
| Marmor | 3810 |
| Glas, Pyrex | 5640 |
| Blei | 1960 |
| Aluminium | 5120 |
| Stahl | 5960 |
Erdbeben, im Wesentlichen Schallwellen in der Erdkruste, sind ein interessantes Beispiel dafür, wie die Schallgeschwindigkeit von der Steifigkeit des Mediums abhängt. Erdbeben haben sowohl longitudinale als auch transversale Komponenten, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Der Volumenmodul von Granit ist größer als sein Schermodul. Aus diesem Grund ist die Geschwindigkeit von Longitudinal- oder Druckwellen (P-Wellen) bei Erdbeben in Granit wesentlich höher als die Geschwindigkeit von Transversal- oder Scherwellen (S-Wellen). Beide Komponenten von Erdbeben bewegen sich in weniger festem Material, z. B. in Sedimenten, langsamer. Die P-Wellen haben eine Geschwindigkeit von 4 bis 7 km/s, die S-Wellen entsprechend eine Geschwindigkeit von 2 bis 5 km/s, wobei beide in steiferem Material schneller sind. Die P-Welle eilt der S-Welle auf ihrem Weg durch die Erdkruste immer weiter voraus. Die Zeit zwischen den P- und S-Wellen wird routinemäßig verwendet, um die Entfernung zu ihrer Quelle, dem Epizentrum des Erdbebens, zu bestimmen.
Die Schallgeschwindigkeit wird durch die Temperatur in einem bestimmten Medium beeinflusst. Für Luft auf Meereshöhe ist die Schallgeschwindigkeit gegeben durch
v_{\text{w}}=\left(331\text{ m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{273\text{ K}}},
wobei die Temperatur (mit T bezeichnet) in Kelvin angegeben wird. Die Schallgeschwindigkeit in Gasen hängt mit der Durchschnittsgeschwindigkeit der Teilchen im Gas, vrms, zusammen, und zwar so, dass
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}\,
wobei k die Boltzmann-Konstante (1,38 × 10-23 J/K) und m die Masse der einzelnen (identischen) Teilchen im Gas ist. Es ist also plausibel, dass die Schallgeschwindigkeit in Luft und anderen Gasen von der Quadratwurzel der Temperatur abhängt. Diese Abhängigkeit ist zwar nicht vernachlässigbar, aber auch nicht sehr stark. Bei 0 ºC beträgt die Schallgeschwindigkeit 331 m/s, während sie bei 20,0 ºC 343 m/s beträgt, was einem Anstieg von weniger als 4 % entspricht. Abbildung 3 zeigt die Nutzung der Schallgeschwindigkeit durch eine Fledermaus zur Entfernungsmessung. Echos werden auch in der medizinischen Bildgebung verwendet.
Abbildung 3. Eine Fledermaus nutzt Schallechos, um ihren Weg zu finden und Beute zu fangen. Die Zeit, die das Echo benötigt, um zurückzukehren, ist direkt proportional zur Entfernung.
Eine der wichtigsten Eigenschaften des Schalls ist, dass seine Geschwindigkeit nahezu unabhängig von der Frequenz ist. Diese Unabhängigkeit ist in freier Luft für Töne im hörbaren Bereich von 20 bis 20.000 Hz sicherlich gegeben. Wäre diese Unabhängigkeit nicht gegeben, würde man sie beispielsweise bei der Musik einer Marschkapelle in einem Fußballstadion feststellen. Angenommen, hochfrequente Töne würden sich schneller ausbreiten – je weiter man von der Band entfernt wäre, desto mehr würde der Klang der tiefen Instrumente dem der hohen hinterherhinken. Aber die Musik von allen Instrumenten kommt unabhängig von der Entfernung in der gleichen Kadenz an, und daher müssen sich alle Frequenzen mit fast der gleichen Geschwindigkeit fortbewegen. Es sei daran erinnert, dass
vw = fλ ist.
In einem gegebenen Medium ist vw unter festen Bedingungen konstant, so dass eine Beziehung zwischen f und λ besteht; je höher die Frequenz, desto kleiner die Wellenlänge. Siehe Abbildung 4 und betrachte das folgende Beispiel.
Abbildung 4. Da sie sich in einem bestimmten Medium mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten, müssen niederfrequente Töne eine größere Wellenlänge haben als hochfrequente Töne. Hier werden die Töne mit niedrigeren Frequenzen von dem großen Lautsprecher, dem so genannten Tieftöner, und die Töne mit höheren Frequenzen von dem kleinen Lautsprecher, dem so genannten Hochtöner, abgestrahlt.
Beispiel 1. Berechnung der Wellenlängen: Wie groß sind die Wellenlängen der hörbaren Töne?
Berechnen Sie die Wellenlängen der Töne an den Extremen des hörbaren Bereichs, 20 und 20.000 Hz, in 30,0ºC warmer Luft. (Gehen Sie davon aus, dass die Frequenzwerte auf zwei signifikante Stellen genau sind.)
Strategie
Um die Wellenlänge aus der Frequenz zu bestimmen, kann man vw = fλ verwenden.
Lösung
1. Bestimme die bekannten Werte. Der Wert für vw, ist gegeben durch
v_{\text{w}}=\left(331\text{ m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{273\text{ K}}\.
2. Wandeln Sie die Temperatur in Kelvin um und setzen Sie die Temperatur in die Gleichung ein
v_{\text{w}}=\left(331\text{ m/s}\right)\sqrt{\frac{303\text{ K}}{273\text{ K}}}=348.7\text{ m/s}\.
3. Lösen Sie die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Wellenlänge für λ:
\lambda=\frac{v_{\text{w}}{f}\.
4. Geben Sie die Geschwindigkeit und die Mindestfrequenz ein, um die maximale Wellenlänge zu erhalten:
\lambda_{\text{max}}=\frac{348.7\text{ m/s}}{20\text{ Hz}}=17\text{ m}\.
5. Geben Sie die Geschwindigkeit und die maximale Frequenz ein, um die minimale Wellenlänge zu erhalten:
\lambda_{\text{min}}=\frac{348.7\text{ m/s}}{20,000\text{ Hz}}=0.017\text{ m}=1.7\text{ cm}\.
Diskussion
Da das Produkt aus f mal λ gleich einer Konstanten ist, muss λ umso größer sein, je kleiner f ist, und umgekehrt.
Die Schallgeschwindigkeit kann sich ändern, wenn sich der Schall von einem Medium zu einem anderen ausbreitet. Die Frequenz bleibt aber in der Regel gleich, weil sie wie eine getriebene Schwingung ist und die Frequenz der ursprünglichen Quelle hat. Wenn sich vw ändert und f gleich bleibt, muss sich auch die Wellenlänge λ ändern. Das heißt, weil vw = fλ ist, ist die Wellenlänge bei einer bestimmten Frequenz umso größer, je höher die Geschwindigkeit des Schalls ist.
Making Connections: Take-Home Investigation-Voice as a Sound Wave
Hänge ein Blatt Papier so auf, dass die obere Kante des Papiers fixiert ist und die untere Kante frei beweglich ist. Du könntest die Oberkante des Papiers mit Klebeband an einer Tischkante befestigen. Pusten Sie sanft in die Nähe der Unterkante des Blattes und beobachten Sie, wie sich das Blatt bewegt. Sprechen Sie erst leise und dann lauter, so dass die Töne auf die Unterkante des Papiers treffen, und beobachten Sie, wie sich das Blatt bewegt. Erkläre die Auswirkungen.
Prüfe dein Verständnis
Teil 1
Stell dir vor, du beobachtest, wie zwei Feuerwerkskörper explodieren. Sie hören die Explosion des einen, sobald Sie es sehen. Den anderen Feuerwerkskörper sehen Sie jedoch erst einige Millisekunden, bevor Sie die Explosion hören. Erkläre, warum das so ist.
Lösung
Schall und Licht bewegen sich beide mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des Schalls ist langsamer als die des Lichts. Der erste Feuerwerkskörper ist wahrscheinlich ganz in der Nähe, so dass der Geschwindigkeitsunterschied nicht auffällt. Das zweite Feuerwerk ist weiter entfernt, so dass das Licht deine Augen deutlich früher erreicht als die Schallwelle deine Ohren.
Teil 2
Du beobachtest zwei Musikinstrumente, die du nicht identifizieren kannst. Das eine spielt hohe Töne und das andere tiefe Töne. Wie kannst du feststellen, welches es ist, ohne eines der beiden spielen zu hören?
Lösung
Vergleiche ihre Größe. Instrumente mit hoher Tonhöhe sind im Allgemeinen kleiner als Instrumente mit niedriger Tonhöhe, weil sie eine kleinere Wellenlänge erzeugen.
Zusammenfassung des Abschnitts
- Die Beziehung zwischen der Schallgeschwindigkeit vw, der Frequenz f und der Wellenlänge λ ist durch vwfλ gegeben, was die gleiche Beziehung ist, die für alle Wellen gilt.
- In Luft ist die Schallgeschwindigkeit mit der Lufttemperatur T verbunden durch v_{\text{w}}=\left(\text{331}\text{m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{\text{273}\text{K}}}\\. vw ist für alle Frequenzen und Wellenlängen gleich.
Konzeptuelle Fragen
- Wie unterscheiden sich Schallschwingungen von Atomen von thermischen Bewegungen?
- Ändert sich die Frequenz oder die Wellenlänge des Schalls, wenn er von einem Medium in ein anderes übergeht, in dem seine Ausbreitungsgeschwindigkeit unterschiedlich ist? Erläutern Sie kurz Ihre Antwort.
Probleme &Übungen
- Eine Opernsopranistin stößt einen 1200-Hz-Schrei aus, wenn sie mit einem Speer angestochen wird. Wie groß ist seine Wellenlänge, wenn die Schallgeschwindigkeit 345 m/s beträgt?
- Welcher Frequenzschall hat eine Wellenlänge von 0,10 m, wenn die Schallgeschwindigkeit 340 m/s beträgt?
- Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit an einem Tag, an dem eine 1500-Hz-Frequenz eine Wellenlänge von 0,221 m hat.
- (a) Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit in einem Medium, in dem eine 100-kHz-Frequenz eine Wellenlänge von 5,96 cm erzeugt? (b) Um welchen Stoff aus Tabelle 1 handelt es sich wahrscheinlich?
- Zeigen Sie, dass die Schallgeschwindigkeit in Luft von 20,0 ºC 343 m/s beträgt, wie im Text behauptet wird.
- Die Lufttemperatur in der Sahara kann bis zu 56,0 ºC (etwa 134 ºF) erreichen. Wie hoch ist die Schallgeschwindigkeit in der Luft bei dieser Temperatur?
- Delphine machen Töne in der Luft und im Wasser. Wie groß ist das Verhältnis der Wellenlänge eines Schalls in der Luft zu seiner Wellenlänge im Meerwasser? Angenommen, die Lufttemperatur beträgt 20,0 ºC.
- Ein Sonarecho kehrt 1,20 s nach seiner Aussendung zu einem Unterseeboot zurück. Wie groß ist die Entfernung zu dem Objekt, das das Echo erzeugt? (
- (a) Wenn das Sonar eines Unterseebootes die Echolaufzeit mit einer Genauigkeit von 0,0100 s messen kann, was ist dann der kleinste Entfernungsunterschied, den es feststellen kann? (Gehen Sie davon aus, dass sich das U-Boot im Meer und nicht im Süßwasser befindet.) (b) Diskutieren Sie, welche Grenzen diese zeitliche Auflösung der Fähigkeit des Sonarsystems setzt, die Größe und Form des Objekts, das das Echo erzeugt, zu erkennen.
- Ein Physiker misst bei einem Feuerwerk die Zeitspanne zwischen dem Sehen einer Explosion und dem Hören des Geräuschs und stellt fest, dass sie 0,400 s beträgt. (a) Wie weit ist die Explosion entfernt, wenn die Lufttemperatur 24,0 Grad Celsius beträgt und wenn man die Zeit vernachlässigt, die das Licht braucht, um den Physiker zu erreichen? (b) Berechnen Sie die Entfernung zur Explosion unter Berücksichtigung der Lichtgeschwindigkeit. Beachten Sie, dass diese Entfernung vernachlässigbar größer ist.
- Angenommen, eine Fledermaus nutzt Schallechos, um ihre 3,00 m entfernte Insektenbeute zu orten. (Siehe Abbildung 3.) (a) Berechnen Sie die Echolaufzeiten für Temperaturen von 5,00 ºC und 35,0 ºC. (b) Welche prozentuale Unsicherheit ergibt sich daraus für die Fledermaus beim Auffinden des Insekts? (c) Diskutieren Sie die Bedeutung dieser Unsicherheit und ob sie der Fledermaus Schwierigkeiten bereiten könnte. (In der Praxis nutzt die Fledermaus weiterhin den Schall, wenn sie sich nähert, so dass die meisten Schwierigkeiten, die sich aus diesem und anderen Effekten wie der Bewegung der Beute ergeben, beseitigt werden.)
Glossar
Tonhöhe: die Wahrnehmung der Frequenz eines Geräusches
Ausgewählte Lösungen zu Problemen & Übungen
1. 0,288 m
3. 332 m/s
5. \begin{array}{lll}{v}_{\text{w}}& =& \left(\text{331 m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{\text{273 K}}}=\left(\text{331 m/s}\rechts)\sqrt{\frac{\text{293 K}}{\text{273 K}}\ & =& \text{343 m/s}\end{array}\\
7. 0.223
9. (a) 7,70 m; (b) Das bedeutet, dass Sonar gut geeignet ist, um große Objekte zu erkennen und zu lokalisieren, aber es ist nicht in der Lage, kleinere Objekte aufzulösen oder die detaillierte Form von Objekten zu erkennen. Objekte wie Schiffe oder große Teile von Flugzeugen können mit Sonar gefunden werden, während kleinere Teile mit anderen Mitteln gefunden werden müssen.
11. (a) 18,0 ms, 17,1 ms; (b) 5,00 %; (c) Diese Ungewissheit könnte der Fledermaus durchaus Schwierigkeiten bereiten, wenn sie beim Annähern an ihre Beute nicht weiterhin Geräusche verwenden würde. Eine Unsicherheit von 5 % könnte den Unterschied ausmachen, ob sie die Beute am Hals oder an der Brust packt, was bedeutet, dass sie es verpassen könnte, ihre Beute zu packen.