En mécanique classique, un champ gravitationnel est une quantité physique. Un champ gravitationnel peut être défini en utilisant la loi de la gravitation universelle de Newton. Déterminé de cette façon, le champ gravitationnel g autour d’une seule particule de masse M est un champ vectoriel constitué en chaque point d’un vecteur pointant directement vers la particule. La magnitude du champ en chaque point est calculée en appliquant la loi universelle, et représente la force par unité de masse sur tout objet en ce point de l’espace. Comme le champ de force est conservateur, il existe une énergie potentielle scalaire par unité de masse, Φ, en chaque point de l’espace associé aux champs de force ; c’est ce qu’on appelle le potentiel gravitationnel. L’équation du champ gravitationnel est la suivante
g = F m = d 2 R d t 2 = – G M R ^ | R | 2 = – ∇ Φ {\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {F} }{\frac {\mathrm {d}}={\frac {\mathrm {d}}. ^{2}\mathbf {R} }{\mathrm {d} t^{2}}=-GM{\frac {\mathbf {\hat {R}} }{\left|\mathbf {R} \right|^{2}}=-\nabla \Phi }
où F est la force gravitationnelle, m est la masse de la particule testée, R est la position de la particule testée (ou pour la deuxième loi du mouvement de Newton qui est une fonction dépendante du temps, un ensemble de positions de particules testées occupant chacune un point particulier dans l’espace pour le début du test), R̂ est un vecteur unitaire dans la direction radiale de R, t est le temps, G est la constante gravitationnelle, et ∇ est l’opérateur del.
Ceci inclut la loi de la gravitation universelle de Newton, et la relation entre le potentiel gravitationnel et l’accélération du champ. Notez que d2R/dt2 et F/m sont tous deux égaux à l’accélération gravitationnelle g (équivalente à l’accélération inertielle, donc même forme mathématique, mais aussi définie comme force gravitationnelle par unité de masse). Les signes négatifs sont insérés car la force agit de manière antiparallèle au déplacement. L’équation de champ équivalente en termes de densité de masse ρ de la masse d’attraction est:
∇ ⋅ g = – ∇ 2 Φ = – 4 π G ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-\nabla ^{2}\Phi =-4\pi G\rho }
qui contient la loi de Gauss pour la gravité, et l’équation de Poisson pour la gravité. La loi de Newton et la loi de Gauss sont mathématiquement équivalentes, et sont liées par le théorème de divergence.
Ces équations classiques sont des équations différentielles du mouvement pour une particule d’essai en présence d’un champ gravitationnel, c’est-à-dire que l’établissement et la résolution de ces équations permettent de déterminer et de décrire le mouvement d’une masse d’essai.
Le champ autour de plusieurs particules est simplement la somme vectorielle des champs autour de chaque particule individuelle. Un objet dans un tel champ subira une force égale à la somme vectorielle des forces qu’il subirait dans ces champs individuels. Ceci est mathématiquement
g j (net) = ∑ i ≠ j g i = 1 m j ∑ i ≠ j F i = – G ∑ i ≠ j m i R ^ i j | R i – R j | 2 = – ∑ i ≠ j ∇ Φ i {\displaystyle \mathbf {g} _{j}^{\i1}-text{\i}(net)}={\i}sum _{\i}neq j{\i}{\i}}. _{i}={\frac {1}{m_{j}}\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{i}=-G\sum _{i\neq j}m_{i}{\frac {\mathbf {\hat {R}} _{ij}}{\left|\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} _{j}\right|^{2}}=-\sum _{i\neq j}\nabla \Phi _{i}}
