A Pitagorasz-tétel: Az igazság útja

Püthagorasz (Kr. e. 569-475) a világ első matematikusaként ismert. Szamosz szigetén született, és feltehetően együtt tanult Thalésszel és Anaximandrussal (akiket az első nyugati filozófusokként ismertek el). Püthagorasz úgy vélte, hogy a számok nemcsak az igazsághoz vezető út, hanem maga az igazság. A matematika segítségével az ember elérheti a harmóniát és könnyebb életet élhet. Állítólag számos matematikai tételt javasolt e célból, de ezek közül csak a híres Pitagorasz-tétel maradt fenn (Allen, 1966).

A történész Robinson írja: “Azt az állítást, hogy `Püthagorasz nagyon sokat foglalkozott a geometria aritmetikai oldalával’, az a hagyomány is alátámasztja, hogy azt a számtani problémát vizsgálta, hogy olyan háromszögeket találjon, amelyeknek az egyik oldalán lévő négyzet egyenlő a másik két oldalon lévő négyzetek összegével”, és ezt már korán, sorban elhelyezett kövek segítségével tette, hogy megértse az általa közvetíteni kívánt igazságokat (1968). A Pitagorasz-tétel kimondja, hogy a² + b² = c². Ezt akkor használjuk, ha olyan háromszöget kapunk, amelynek három oldalából csak két oldal hosszát ismerjük. C a hipotenúzának nevezett szög leghosszabb oldala. Ha a a szomszédos szög, akkor b az ellentétes oldal. Ha b a szomszédos szög, akkor a az ellentétes oldal. Ha a = 3, és b = 4, akkor meg tudjuk oldani a c értékét. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Ez a Pitagorasz-tétel egyik elsődleges felhasználási módja.

A Pitagorasz-tételnek számos bizonyítása létezik, a legismertebb Eukleidész bizonyítása az Elemek I. könyvéből.

Tétel: derékszögű háromszögekben a hipotenzuson lévő négyzet egyenlő a lábakon lévő négyzetek összegével.
Eukleidész egy püthagoraszi alakzatból indult ki, majd egy ábrán keresztül húzott egy vonalat, amely a területek egyenlőségét szemlélteti. Arra a következtetésre jutott, hogy AB/AC = AC/HA, tehát (AC)² = (HA)(AB). Mivel AB=AJ, a HAJG téglalap területe megfelel az AC oldalra eső négyzet területének. Hasonlóképpen, AB/BC = BC/BH szintén felírva: (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD), és mivel AB=BD. Így láthatjuk, hogy a téglalapok területeinek összege a hipotenúzán lévő négyzet területe. Stephanie Morris szavaival élve: “Ezzel teljes a bizonyítás” (Morris, 2011).

Egy másik, az emberek számára könnyebben érthető bizonyítás egy három derékszögű háromszögre osztott téglalapból indul ki.
A BEA és a BCE háromszög átfedik az ACD háromszöget. Ha összehasonlítjuk a BCE és az ACD háromszöget, és megnézzük a megfelelő oldalaikat, akkor azt látjuk, hogy AC/BC = AD/EC. Mivel AD = BC, AC/AD = AD/EC. A szorzás révén ez az egyenlet (AD)² = (AC)(AE). Az ABC és ABE háromszögekből, megjegyezve, hogy AB = CD, a két alakzat derékszögeit összehasonlítva az AC/AB = CD/AE egyenletet kapjuk. Az eredeti téglalap alakzatból AB = CD szintén az AC/CD = CD/AE alakot kaptuk, amit szorzási feladatként (CD)² = (AC)(AE) alakban írunk fel, és az eddigi egyenleteket összeadva két új képletet kapunk, amelyek a következők: (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC)(EC) és (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Mivel AC = AE + EC, így (CD)² + (AD)² = (AC)². A korábbi bizonyításhoz hasonlóan ez is a Pitagorasz-tétel érvényességét mutatja (Morris, 2011).

A Pitagorasz-tételben minden oldal/szög egy kritikus információ, amely segít a többi szög/oldal meghatározásában. Pitagorasz hitt egy objektív igazságban, ami a szám volt. A Pitagorasz-tétel lehetővé teszi az igazságok megismerését a fenti matematikai egyenleteken keresztül, ami azt jelenti, hogy létezik egy objektív igazság, amely kívül esik minden személyes véleményen, és amely valóban bizonyítható; és végül is ez az, amit Pitagorasz a munkájával bizonyítani akart.

Kérje fel heti e-mail hírlevelünket!