Logika

Logika (a görög “logosz” szóból, amelynek számos jelentése van, többek között szó, gondolat, eszme, érv, érvelés, beszámoló, ok vagy elv) az érvelés tanulmányozása, vagyis az érvényes következtetés és bizonyítás elveinek és kritériumainak tanulmányozása. Megpróbálja megkülönböztetni a jó érvelést a rossz érveléstől.

Aristotelész a logikát “új és szükséges érvelésként” határozta meg, “új”, mert lehetővé teszi számunkra, hogy megtudjuk, amit nem tudunk, és “szükséges”, mert következtetései megkerülhetetlenek. Olyan kérdéseket tesz fel, mint “Mi a helyes érvelés?”, “Mi különbözteti meg a jó érvelést a rossztól?”, “Hogyan ismerhetjük fel a tévedést az érvelésben?”

A logika az állítások és érvek szerkezetét vizsgálja és osztályozza, mind a formális következtetési rendszerek tanulmányozása, mind a természetes nyelvi érvek tanulmányozása révén. Kizárólag olyan állításokkal (kijelentő mondatokkal, amelyeket állítás megfogalmazására használnak, szemben a kérdésekkel, parancsokkal vagy kívánságokat kifejező mondatokkal) foglalkozik, amelyek képesek igazak és hamisak lenni. Nem foglalkozik a gondolkodással kapcsolatos pszichológiai folyamatokkal, illetve az érzelmekkel, képekkel és hasonlókkal. Olyan alapvető témákat ölel fel, mint a tévedések és paradoxonok tanulmányozása, valamint a valószínűséggel való érvelés és a kauzalitással és érveléselmélettel kapcsolatos érvelés speciális elemzése.

A logikai rendszereknek három dologgal kell rendelkezniük: konzisztenciával (ami azt jelenti, hogy a rendszer egyetlen tétele sem mond ellent egymásnak); helyességgel (ami azt jelenti, hogy a rendszer bizonyítási szabályai soha nem engednek meg hamis következtetést egy igaz premisszából); és teljességgel (ami azt jelenti, hogy a rendszerben nincsenek olyan igaz mondatok, amelyek legalább elvileg nem bizonyíthatóak a rendszerben).

Az ókori Indiában a Rig Véda “Nasadiya Sukta” különböző logikai felosztásokat tartalmaz, amelyeket később formálisan a katuskoti négy köreként fogalmaztak újra: “A”, “nem A”, “A és nem A” és “nem A és nem A”. Az indiai filozófiai spekuláció Nyaya-iskolája Aksapada Gautama “Nyaya-szútrák” néven ismert szövegeire épül a Kr. e. 2. század környékén, és következtetési módszertana a logika olyan rendszerén alapul (amely az indukció és a dedukció kombinációját foglalja magában, az általánosságon keresztül az egyeditől az egyedire való áttéréssel), amelyet később a többi indiai iskola többsége is átvett.

A modern logika azonban elsősorban az ókori görög hagyományból származik. Platón és Arisztotelész is úgy fogta fel a logikát, mint az érvelés tanulmányozását, és az érvelés helyességével való foglalkozásból. Arisztotelész hat művet írt a logikáról, amelyeket együttesen “Organon” néven ismerünk, ezek közül az első, a “Prior analitika” az első kifejezett mű a formális logikában.

Aristotelész két, a logikában nagy jelentőségű elvet vallott, a kizárt közép törvényét (hogy minden állítás vagy igaz vagy hamis) és az ellentmondásmentesség törvényét (zavaróan az ellentmondás törvényének is nevezik, hogy nincs olyan állítás, amely egyszerre igaz és hamis). Talán a leghíresebb a szillogizmus (vagy terminus logika) bevezetéséről (lásd alább a deduktív logikáról szóló részt). Követői, a peripatetikusok néven ismertek, továbbfejlesztették logikai munkásságát.

A középkorban az arisztotelészi logikát (vagy dialektikát) a grammatikával és a retorikával együtt a trivium, a középkori szabad művészeti oktatás alapját képező trivium három fő ágának egyikeként tanulták.

A logika az iszlám filozófiában is hozzájárult a modern logika fejlődéséhez, különösen az avicenniai logika (amely a hipotetikus szillogizmus, az időbeli logika, a modális logika és az induktív logika bevezetéséért volt felelős), mint az arisztotelészi logika alternatívája.

A 18. században Immanuel Kant amellett érvelt, hogy a logikát az ítéletalkotás tudományaként kell felfogni, így a logika érvényes következtetései az ítéletek strukturális jellemzőiből következnek, bár továbbra is fenntartotta, hogy Arisztotelész lényegében mindent elmondott, amit a logikáról mint tudományágról mondani lehet.

A 20. században azonban Gottlob Frege, Alfred North Whitehead és Bertrand Russell szimbolikus logikával foglalkozó munkája a feje tetejére állította Kant állítását. Ez az új logika, amelyet közös művükben, a “Principia Mathematica”-ban fejtettek ki, sokkal szélesebb körű, mint az arisztotelészi logika, és még a klasszikus logikát is tartalmazza benne, bár csak egy kisebb részeként. Hasonlít egy matematikai kalkulushoz, és a szimbólumok egymáshoz való viszonyával foglalkozik.

A logika általában formális logikára, informális logikára és szimbolikus logikára, valamint matematikai logikára osztható:

• Formális logika:
  A formális logika az, amit hagyományos logikának vagy filozófiai logikának gondolunk, vagyis a tisztán formális és explicit tartalmú következtetések tanulmányozása (i. sz.azaz egy teljesen absztrakt szabály konkrét alkalmazásaként fejezhető ki), mint például a formális logika Arisztotelésztől ránk maradt szabályai. (Lásd a deduktív logikáról szóló részt alább.)
  A formális rendszer (más néven logikai kalkulus) arra szolgál, hogy egy vagy több másik kifejezésből (premisszából) egy kifejezést (következtetést) származtassunk. Ezek a premisszák lehetnek axiómák (magától értetődő, magától értetődőnek tekintett tétel) vagy tételek (következtetési szabályok és axiómák rögzített készletének felhasználásával, további feltételezések nélkül levezethetők).
  A formalizmus az a filozófiai elmélet, amely szerint a formális (logikai vagy matematikai) kijelentéseknek nincs belső jelentése, de szimbólumai (amelyeket fizikai entitásoknak tekintünk) olyan formát mutatnak, amely hasznos alkalmazásokkal rendelkezik.
• Informális logika:
  Az informális logika egy új keletű tudományág, amely a természetes nyelvi érvelést tanulmányozza, és olyan logikát próbál kifejleszteni, amellyel értékelni, elemezni és javítani lehet a hétköznapi (vagy “mindennapi”) nyelvi érvelést. A természetes nyelv itt olyan nyelvet jelent, amelyet emberek beszélnek, írnak vagy jeleznek általános célú kommunikáció céljából, megkülönböztetve a formális nyelvektől (például a számítógépes programozási nyelvektől) vagy a konstruált nyelvektől (például az eszperantótól).
  A személyes eszmecserében, a reklámokban, a politikai vitákban, a jogi érvelésben, valamint az újságokat, a televíziót, az internetet és a tömegmédia más formáit jellemző társadalmi kommentárokban megtalálható érvelésre és érvelésre összpontosít.
• Szimbolikus logika:
  A szimbolikus logika a logikai következtetés formális jellemzőit megragadó szimbolikus absztrakciók tanulmányozása. A szimbólumok egymáshoz való viszonyával foglalkozik, gyakran bonyolult matematikai kalkulusokat használva, és ezzel próbál megoldani nehezen megoldható problémákat, amelyeket a hagyományos formális logika nem képes kezelni.
  Gyakran két alágra osztják:
  • Prédikátumlogika: olyan rendszer, amelyben a formulák számszerűsíthető változókat tartalmaznak. (Lásd a predikátumlogikáról szóló részt alább).
  • Állításlogika (vagy mondattani logika): olyan rendszer, amelyben a tételeket reprezentáló formulák atomi tételek logikai kötőszavakkal történő kombinálásával képezhetők, és a formális bizonyítási szabályok rendszere lehetővé teszi, hogy bizonyos formulákat tételként állítsunk fel. (Lásd alább a tételes logikáról szóló részt.)
• Matematikai logika:
  Mind a formális logika technikáinak alkalmazása a matematikára és a matematikai érvelésre, mind pedig fordítva, a matematikai technikák alkalmazása a formális logika ábrázolására és elemzésére.
  A matematika és a geometria legkorábbi alkalmazása a logikával és a filozófiával kapcsolatban az ókori görögökhöz, például Euklidészhez, Platónhoz és Arisztotelészhez nyúlik vissza.
  A számítástechnika mint tudományág az 1940-es években jelent meg Alan Turing (1912 – 1954) munkájával a Entscheidungsproblemmel kapcsolatban, amely Kurt Gödel (1906 – 1978) elméleteiből, különösen a befejezetlenségi tételeiből következett. Az 1950-es és 1960-as években a kutatók azt jósolták, hogy ha az emberi tudást matematikai jelölésekkel ellátott logika segítségével ki lehet fejezni, akkor lehetséges lesz egy érvelő gép (vagy mesterséges intelligencia) létrehozása, bár ez a vártnál nehezebbnek bizonyult az emberi gondolkodás bonyolultsága miatt.A matematikával kapcsolatos tanok közé tartoznak:
  • Logicizmus: a logika matematikára való alkalmazásának talán legmerészebb kísérlete, amelynek úttörői olyan filozófus-logikusok voltak, mint Gottlob Frege és Bertrand Russell, különösen a matematika logikára való alkalmazása bizonyításelmélet, modellelmélet, halmazelmélet és rekurzióelmélet formájában.
  • Intuitionizmus: az a tan, amely szerint a logika és a matematika nem analitikus tevékenységekből áll, amelyekben a létezés mély tulajdonságait tárják fel és alkalmazzák, hanem csupán belsőleg konzisztens módszerek alkalmazása bonyolultabb mentális konstrukciók megvalósítására.

A deduktív érvelés arra vonatkozik, ami adott premisszákból szükségszerűen következik (azaz egy általános premisszából egy konkrét premissza következik). Egy következtetés akkor (és csak akkor) deduktívan érvényes, ha nincs olyan lehetséges helyzet, amelyben az összes premissza igaz, a konklúzió pedig hamis. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy egy hamis premissza esetleg hamis következtetéshez vezethet.

A deduktív gondolkodást Arisztotelész, Thalész, Püthagorasz és a klasszikus kor más görög filozófusai fejlesztették ki. A deduktív érvelés középpontjában a szillogizmus (más néven terminus logika) áll,amelyet általában Arisztotelésznek tulajdonítanak), ahol egy tételt (a következtetést) két másikból (a premisszákból) vezetik le, amelyek mindegyikének van egy közös feltétele a következtetéssel. Például:

Fő premissza: Minden ember halandó.
Kis premissza: Szókratész ember.
Konklúzió: Szókratész halandó.

Egy példa a dedukcióra:

Minden alma gyümölcs.
Minden gyümölcs a fán terem.
Ezért minden alma a fán terem.

Megtagadhatjuk az eredeti premisszákat, és ezért tagadhatjuk a következtetést. De aki elfogadja a premisszákat, annak el kell fogadnia a következtetést is. Ma egyes tudósok azt állítják, hogy Arisztotelész rendszerének alig van több történelmi értékénél, mivel a predikátumlogika és a propozíciós logika megjelenésével elavulttá vált (lásd az alábbi fejezeteket).

Az induktív érvelés az a folyamat, amelynek során a megfigyelésekből (azaz a különösből az általánosba) megbízható általánosítást vezetünk le úgy, hogy egy érvelés premisszáiról úgy gondoljuk, hogy alátámasztják a következtetést, de nem feltétlenül biztosítják azt. Az induktív logika nem az érvényességgel vagy a bizonyító erejűséggel foglalkozik, hanem azoknak a következtetéseknek a megalapozottságával, amelyekre a bizonyítékok nem meggyőzőek.

Sok filozófus, köztük David Hume, Karl Popper és David Miller vitatta vagy tagadta az induktív érvelés logikai elfogadhatóságát. Hume különösen azzal érvelt, hogy induktív érvelésre van szükség ahhoz, hogy az induktív érvelés elvének premisszáihoz eljussunk, és ezért az induktív érvelés igazolása körkörös érvelés.

Egy példa az erős indukcióra (olyan érv, amelyben a premissza igazsága valószínűvé, de nem véglegessé teszi a következtetés igazságát):

Minden megfigyelt varjú fekete.

Ezért:

Minden varjú fekete.

Egy példa a gyenge indukcióra (olyan érv, amelyben a premissza és a következtetés közötti kapcsolat gyenge, és a következtetés még csak nem is feltétlenül valószínű):

A képeket mindig szögekre akasztom.

Ezért:

Minden kép szögről lóg.

A modális logika a formális logika bármely olyan rendszere, amely a modalitásokkal (a lehetőség, a valószínűség és a szükségszerűség fogalmaival kapcsolatos kifejezésekkel) próbál foglalkozni. A modális logika tehát olyan kifejezésekkel foglalkozik, mint a “végül”, “korábban”, “esetleg”, “lehet”, “lehetne”, “lehetne”, “lehet”, “kell” stb.

A modalitások olyan módok, amelyekkel az állítások igazak vagy hamisak lehetnek. A modalitások típusai a következők:

• Aletikus modalitások: Magában foglalja a lehetőséget és a szükségszerűséget, valamint a lehetetlenséget és az esetlegességet. Egyes állítások lehetetlenek (szükségszerűen hamisak), míg mások kontingensek (lehetséges igazak és lehetséges hamisak is).
• Időbeli modalitások: Történelmi és jövőbeli igazság vagy hamisság. Egyes tételek a múltban igazak/hamisak voltak, mások pedig a jövőben lesznek igazak/hamisak.
• Deontikus modalitások: Kötelezettség és megengedhetőség. Egyes tételeknek igaznak/hamisnak kellene lenniük, míg mások megengedettek.
• Episztemikus modalitások: Tudás és hit. Egyes tételekről tudjuk, hogy igazak/hamisak, másokról pedig azt hisszük, hogy igazak/hamisak.

Bár Arisztotelész logikája szinte teljes egészében a kategorikus szillogizmusokkal foglalkozik, bizonyos mértékig megelőlegezte a modális logikát, valamint annak kapcsolatát a potencialitással és az idővel. A modern modális logikát Gottlob Frege alapozta meg, bár kezdetben kételkedett az életképességében, és csak később fejlesztette tovább Rudolph Carnap (1891 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1978), C. I. Lewis (1883 – 1964), majd Saul Kripke (1940 – ), aki megalkotta a K rendszert, a modális logika ma a legtöbb tudós által használt formáját).

A propozicionális logika (vagy mondattani logika) csak a mondattani kötőszavakkal és logikai operátorokkal (például “és”, “vagy”, “nem”, “ha …. akkor …”, “mert” és “feltétlenül”), szemben a predikátumlogikával (lásd alább), amely az atomi mondatok belső szerkezetével is foglalkozik.

A tételes logika tehát egész mondatok, állítások vagy mondatok összekapcsolásának és/vagy módosításának módjait tanulmányozza, hogy összetettebb mondatok, állítások vagy mondatok alakuljanak ki, valamint a logikai kapcsolatokat és tulajdonságokat, amelyek az állítások kombinálásának vagy módosításának ezen módszereiből származnak. Az állítmányi logikában a legegyszerűbb állításokat is oszthatatlan egységeknek tekintik.

A sztoikus filozófusok az i. e. 3. század végén olyan állításoperátorokat próbáltak tanulmányozni, mint az “és”, a “vagy” és a “ha … akkor …”, Chrysippus (i. e. 280-205 körül) pedig egyfajta állítmányi logikát fejlesztett ki, azáltal, hogy számos különböző módot jelölt ki az érvek összetett premisszáinak kialakítására. Ezt a rendszert a középkori logikusok is tanulmányozták, bár az állítólagos logika csak a 19. század közepén, a szimbolikus logika megjelenésével, olyan logikusok munkásságában teljesedett ki, mint Augustus DeMorgan (1806-1871), George Boole (1815-1864) és Gottlob Frege.

A predikatív logika lehetővé teszi, hogy a mondatokat többféleképpen elemezzük alanyra és érvre, ellentétben az arisztotelészi szillogisztikus logikával, ahol az érintett ítéletek vonatkozó részének formáit meg kell határozni és korlátozni kell (lásd a deduktív logikáról szóló fenti részt). A predikátumlogika emellett képes a kvantorok elég általános leírását adni ahhoz, hogy a természetes nyelvben előforduló összes érvet kifejezze, így lehetővé teszi a többszörös általánosság problémájának megoldását, amely a középkori logikusokat zavarba ejtette.

Például intuitíve világos, hogy ha:

Minden egér fél egy macskától

akkor logikailag az következik, hogy:

Minden egér fél legalább egy macskától

de mivel a fenti mondatok mindegyike két kvantort tartalmaz (“néhány” és “minden” az első mondatban, illetve “minden” és “legalább egy” a második mondatban), a hagyományos logikában nem lehet őket megfelelően ábrázolni.

A predikátumlogikát a matematika egy formájaként tervezték, és mint ilyen, mindenféle matematikai következtetésre képes, ami túlmutat a terminus vagy a szillogisztikus logika képességein. Az elsőrendű logikában (más néven elsőrendű predikátumkalkulus) egy predikátum csak egyetlen alanyra vonatkozhat, de a predikátumlogika foglalkozhat másodrendű logikával, magasabb rendű logikával, sokrendű logikával vagy végtelen logikával is. Emellett számos olyan köznapi következtetésre is képes, amelyek a terminuslogikától elkerülik, és (a propozíciós logikával együtt – lásd alább) a legtöbb filozófiai körökben szinte teljesen kiszorította a hagyományos terminuslogikát.

A predikátumlogikát eredetileg Gottlob Frege és Charles Peirce fejlesztette ki a 19. század végén, de teljes kiteljesedését Whitehead és Russell logikai atomizmusában érte el a 20. században (Ludwig Wittgenstein korábbi munkáiból fejlesztve).

A logikai tévedés bármiféle hiba az érvelésben vagy a következtetésben, vagy lényegében bármi, ami egy érvelés elrontását okozza. A tévedéseknek két fő kategóriája van, a kétértelműség tévedései és a kontextuális tévedések:

• Kétértelműség tévedései: Egy kifejezés kétértelmű, ha egynél több jelentése van. Két fő típusa van:
  • kétértelműség: amikor egyetlen szó két különböző értelemben is használható.
  • kétértelműség: amikor a kétértelműség inkább a mondatszerkezetből adódik (gyakran a lógó participiumok vagy a tagadószók pontatlan használata miatt), mint az egyes szavak jelentéséből.
• kontextuális tévedések: amelyek a mondatok használatának kontextusától vagy körülményeitől függnek. Sokféle típusa létezik, a leggyakoribbak közé tartoznak:
  • Jelentőségi tévedések: amikor nem világos, hogy egy állítás jelentős-e vagy sem.
  • Hangsúlyozási tévedések: a szavak helytelen hangsúlyozása egy mondatban.
  • Fallacies of Quoting Out of Context: egy idézet szövegkörnyezetének manipulálása.
  • Fallacies of Argumentum ad Hominem: egy állítás nem bizonyítható hamisnak pusztán azért, mert az azt megfogalmazó személyről bebizonyítható, hogy hibás jellemű.
  • A tekintélyből való érvelés tévedései: az igazság vagy a hamisság nem bizonyítható pusztán azért, mert az azt kimondó személyt a téma “tekintélyének” tekintik.
  • Az érzelmekre apelláló érvelés tévedései: arról számol be, hogy az emberek hogyan éreznek valamiről, hogy meggyőzzék, ne pedig bizonyítsák.
  • A tudatlanságból kiinduló érvelés tévedései: egy állítás már csak azért sem bizonyítható igaznak, mert nincs bizonyíték a cáfolatára.
  • A kérdés felvetésének tévedései: körkörös érvelés, ahol gyakorlatilag ugyanazt az állítást használják premisszaként és következtetésként is.
  • Az összetétel tévedései: az a feltételezés, hogy ami igaz egy részre, az igaz az egészre is.
  • Az osztás tévedései: az a fordított feltételezés, hogy ami igaz egy egészre, annak igaznak kell lennie az összes részre is.
  • Irreleváns következtetés tévedései: amikor a következtetés valami másra vonatkozik, mint amit az érvelés eredetileg bizonyítani akart.
  • Nem-következtetés tévedései: olyan érvelési ugrás, amikor a következtetés nem szükségszerűen következik a premisszákból.
  • Fallacies of Statistics: a statisztikák manipulálhatók és torzíthatók, hogy sokféle hipotézist “bizonyítsanak”.

Ez csak néhány a leggyakrabban előforduló típusok közül, az Internet Encyclopedia of Philosophy oldala a Fallaciesről 176-ot sorol fel!

A paradoxon olyan állítás vagy érzés, amely látszólag ellentmondásos vagy ellentétes a józan ésszel, de valójában talán mégis igaz. Megfordítva, a paradoxon lehet olyan állítás, amely valójában önellentmondásos (és ezért hamis), bár igaznak tűnik. Jellemzően vagy a szóban forgó kijelentések valójában nem tartalmazzák az ellentmondást, a rejtélyes eredmény valójában nem ellentmondás, vagy maguk a premisszák nem mind igazak valójában, vagy nem lehetnek mind igazak együttesen.

Az ismert paradoxonok mögött meghúzódó kétértelműségek, kétértelműségek és ki nem mondott feltételezések felismerése jelentős előrelépésekhez vezetett a tudományban, a filozófiában és a matematikában. Sok paradoxon (pl. a Curry-paradoxon) azonban még nem rendelkezik általánosan elfogadott feloldással.

A paradoxonok négy osztályát különböztethetjük meg:

• Veridikus paradoxonok: olyan eredményt adnak, amely abszurdnak tűnik, de bizonyítható, hogy mégis igaz.
• Falsidikus paradoxonok: amelyek olyan eredményt produkálnak, amely nemcsak hamisnak tűnik, hanem valóban hamis is.
• Antinómiák: amelyek sem nem veridikusak, sem nem falsidikusak, hanem az elfogadott érvelési módok helyes alkalmazásával önellentmondásos eredményt produkálnak.
• Dialétheiák: amelyek olyan eredményt produkálnak, amely egyszerre és azonos értelemben igaz és hamis.

Paradoxonok gyakran önreferenciából (amikor egy mondat vagy formula közvetlenül önmagára utal), végtelenségből (olyan érvelés, amely végtelen regresszust vagy alátámasztó hivatkozások végtelen sorozatát hozza létre), körkörös definíciókból (amikor a bizonyítani kívánt tételt implicit vagy explicit módon feltételezzük az egyik premisszában) erednek, homályosság (amikor nincs egyértelmű tény, hogy egy fogalom érvényes-e vagy sem), hamis vagy félrevezető állítások (olyan állítások, amelyek szándékosan vagy tudtukon kívül valótlanok vagy félrevezetőek), és féligazságok (megtévesztő állítások, amelyek tartalmaznak bizonyos igazságelemeket).

Néhány híres paradoxon közé tartozik:

• Epimenidész hazug paradoxona: Epimenidész egy krétai volt, aki azt mondta: “Minden krétai hazug”. Hinnünk kell neki?
• Hazug paradoxon (2):
• Hazug paradoxon (3): “Ez a mondat hamis.”
• Hazug paradoxon (3): “A következő mondat hamis. Az előző mondat igaz.”
• Curry-paradoxon: “Ha ez a mondat igaz, akkor a Mikulás létezik.”
• Quine-paradoxon: “hamisat ad, ha megelőzi az idézete” hamisat ad, ha megelőzi az idézete.
• Russell borbélyparadoxon: Ha egy borbély megborotválja a faluban az összes és csak azokat a férfiakat, akik nem borotválkoznak, akkor megborotválja-e magát?
• Nagyapa-paradoxon: Tegyük fel, hogy egy időutazó visszamegy az időben, és megöli a nagyapját, amikor az még gyerek volt. Ha a nagyapja gyermekkorában meghal, akkor az időutazó nem születhet meg. De ha az időutazó soha nem születik meg, akkor hogyan utazhatott egyáltalán vissza az időben?
• Zénón dichotómia-paradoxon: Ahhoz, hogy egy mozgó tárgy egy bizonyos távolságot megtegyen (pl. egy ember, aki átmegy egy szobán), félúton kell lennie. Mielőtt félútra érne, negyedútra kell érnie. Mielőtt egy negyedet megtenne, egy nyolcadot kell megtennie; egy nyolcad előtt egy tizenhatodot; és így tovább. Mivel ez a sorozat a végtelenségig tart, végtelen számú pontot kell átszelni, ami véges idő alatt logikailag lehetetlen, így a távolságot soha nem fogja megtenni (a szobát átszelni stb.).
• Zénón Akhilleusz és a teknősbéka paradoxona: Ha Akhilleusz egy versenyben előnyt ad a teknősbéka számára, akkor mire Akhilleusz a teknősbéka kiindulási pontjához ér, a teknősbéka már egy rövidebb távot futott. Mire Akhilleusz eléri azt a második pontot, a teknős már ismét továbbhaladt, stb. stb. Tehát Akhilleusz soha nem tudja utolérni a teknőst.
• Zénón nyílparadoxona: Ha egy nyilat kilőnek egy íjból, akkor az idő bármelyik pillanatában a nyíl vagy ott van, ahol van, vagy ott van, ahol nincs. Ha ott mozog, ahol van, akkor mozdulatlanul kell állnia, ha pedig ott mozog, ahol nincs, akkor nem lehet ott. Tehát egyáltalán nem mozoghat.
• Thészeusz hajójának paradoxona: Miután Thészeusz meghalt, a hajóját közszemlére tették. Idővel az összes deszka elkorhadt valamikor, és új, egyforma deszkákkal cserélték ki. Ha semmi sem maradt a tényleges “eredeti” hajóból, akkor ez még mindig Thészeusz hajója volt?
• Sorites (Homokhalom) Paradoxon: Ha egy homokhalomból kiveszel egy homokszemet, az még mindig egy halom marad. Ha a homokszemeket egyenként eltávolítjuk, akkor is halom marad, ha csak egy szem marad? Ha nem, akkor mikor változott halomból nem halommá?
• Hempel holló-paradoxon: Ha minden holló fekete, akkor a logikai ekvivalencia szigorú értelmében minden, ami nem fekete, nem holló. Tehát minden kék pulóver vagy piros csésze észlelése megerősíti azt a hipotézist, hogy minden holló fekete.”
• Petronius paradoxona” “Mértékletesség mindenben, beleértve a mértékletességet is.”
• Paradoxon-közlemény: “Please ignore this notice.”
• Unalmas számok paradoxona: Ha létezik olyan, hogy unalmas szám, akkor minden számot két halmazra oszthatunk: érdekes és unalmas számokra. Az unalmas számok halmazában csak egy olyan szám lesz, amelyik a legkisebb. Mivel ez a legkisebb unalmas szám, ipso facto érdekes szám lesz. Ezért ki kell vennünk az unalmas halmazból, és a másikba kell helyeznünk. De most már lesz egy másik legkisebb érdektelen szám is. Ezt a folyamatot megismételve bármely unalmas számot érdekessé tehetünk.”
• Protagorasz tanítványának paradoxona: Egy ügyvéd olyan megállapodást kötött az egyik tanítványával, hogy a tanítvány az első megnyert ügye után fizet a tanításért. Egy idő után az ügyvéd türelmetlenné vált a tanítvány ügyfélhiánya miatt, és úgy döntött, hogy beperli őt a tartozásért. Az ügyvéd logikája az volt, hogy ha ő, az ügyvéd nyer, akkor a tanítvány a bíróság ítélete szerint fizet neki; ha a tanítvány nyer, akkor neki kell betartania a megállapodást, és mindenképpen fizetnie kell. A tanuló azonban azzal érvelt, hogy ha ő, a tanuló nyer, akkor a bíróság ítélete szerint nem kell fizetnie az ügyvédnek; ha pedig az ügyvéd nyer, akkor a megállapodás nem lép hatályba, és a tanulónak nem kell fizetnie az ügyvédnek.
• Moore-paradoxon: “Esni fog, de nem hiszem, hogy fog.”
• Schrödinger macskája: Van egy macska egy lezárt dobozban, és a macska élete vagy halála egy bizonyos szubatomi részecske állapotától függ. A kvantummechanika szerint a részecskének csak a kvantummérés pontos pillanatában van határozott állapota, így a macska a doboz kinyitásának pillanatáig egyszerre marad életben és halott.”
• “Teknőcök mindvégig”: A végtelen regresszióról szóló, gyakran Bertrand Russellnek tulajdonított, de valószínűleg évszázadokkal korábbi történet, amely egy régi (valószínűleg indiai) kozmológiai mítoszon alapul, amely szerint a Föld egy lapos korong, amelyet egy óriási elefánt tart, amelyet viszont egy óriási teknős tart. A történetben, amikor megkérdezték, hogy akkor mi támasztja alá a teknőst, a válasz az volt, hogy “mindvégig teknősök”.

Három tan, amelyet a logika címszó alatt lehet vizsgálni, a következő:

.