Mintázatok a természetben

SzimmetriaSzerkesztés

A szimmetria áthatja az élőlényeket. Az állatok főként kétoldalú vagy tükörszimmetriával rendelkeznek, akárcsak a növények levelei és egyes virágok, például az orchideák. A növények gyakran radiális vagy rotációs szimmetriával rendelkeznek, akárcsak sok virág és néhány állatcsoport, például a tengeri anemonok. Ötszörös szimmetriát találunk a tüskésbőrűeknél, a tengeri csillagokat, tengeri sünöket és tengeri liliomokat magában foglaló csoportnál.

A nem élő dolgok közül a hópelyhek feltűnő hatszoros szimmetriával rendelkeznek; minden egyes pehely szerkezete a kristályosodás során uralkodó változó körülményeket rögzíti, és mind a hat karján közel azonos növekedési mintázatot mutat. A kristályok általában sokféle szimmetriájúak és kristályszerkezetűek; lehetnek köbösek vagy oktaéderesek, de a valódi kristályok nem lehetnek ötszörös szimmetriájúak (ellentétben a kvázikristályokkal). A forgási szimmetria különböző léptékekben megtalálható a nem élő dolgok között, beleértve a korona alakú fröccsenésmintázatot, amely akkor keletkezik, amikor egy csepp beleesik egy tóba, és egy olyan bolygó, mint a Szaturnusz gömb alakját és gyűrűit is.

A szimmetriának számos oka van. A sugárirányú szimmetria megfelel az olyan organizmusoknak, mint a tengeri anemonák, amelyek felnőttjei nem mozognak: a táplálék és a fenyegetések bármelyik irányból érkezhetnek. Az egy irányba mozgó állatoknak azonban szükségszerűen van felső és alsó oldala, fej- és farokvégük, tehát egy bal és egy jobb oldaluk. A fej specializálódik szájjal és érzékszervekkel (cephalizáció), a test pedig kétoldali szimmetriájúvá válik (bár a belső szerveknek nem kell annak lenniük). Még rejtélyesebb a tüskésbőrűek ötszörös (pentaradiátus) szimmetriájának oka. A korai tüskésbőrűek kétoldali szimmetriájúak voltak, ahogy a lárváik is azok maradtak. Sumrall és Wray szerint a régi szimmetria elvesztésének fejlődési és ökológiai okai is voltak.

• Az állatok gyakran tükör- vagy kétoldali szimmetriát mutatnak, mint ez a tigris.

• A tüskésbőrűek, mint ez a tengeri csillag, ötszörös szimmetriával rendelkeznek.

• Ötrétegű szimmetriát láthatunk sok virágon és néhány gyümölcsön, mint például ezen a medvehagymán.

• A hópelyhek hatszoros szimmetriájúak.

• A fluorit köbös kristályos habitust mutat.

• A vízpermet megközelíti a radiális szimmetriát.

• Garnet rombikus dodekaéderes kristályos habitust mutat.

• Volvox gömbszimmetriájú.

• A tengeri anemónáknak rotációs szimmetriájuk van.

Fák, fraktálokSzerkesztés

A fák elágazási mintázatát az olasz reneszánszban Leonardo da Vinci írta le. Azt állította, hogy:

Egy fa minden ága a magasságának minden szakaszában, ha összeadjuk, egyenlő vastagságú a törzzsel .

Egy általánosabb változat szerint, amikor egy szülőág két vagy több gyermekágra válik szét, a gyermekágak felülete összeadódik a szülőágéval. Egy ezzel egyenértékű megfogalmazás szerint, ha egy szülőág két gyermekágra válik szét, akkor a szülőág és a két gyermekág keresztmetszeti átmérője derékszögű háromszöget alkot. Ennek egyik magyarázata, hogy a fák így jobban ellenállnak a nagy szélnek. A biomechanikai modellek szimulációi egyetértenek a szabállyal.

A fraktálok végtelenül önhasonló, iterált matematikai konstrukciók, amelyek fraktáldimenzióval rendelkeznek. A természetben végtelen iteráció nem lehetséges, ezért minden “fraktál” minta csak közelítő jellegű. Például a páfrányok és az ernyősvirágúak (Apiaceae) levelei csak 2, 3 vagy 4 szinten önhasonlóak (pinnate). A páfrányszerű növekedési minták előfordulnak növényekben és állatokban, beleértve a bryozoákat, korallokat, hidrozoákat, mint például a Sertularia argentea légpáfrányt, és élettelen dolgokban, nevezetesen elektromos kisülésekben. A Lindenmayer-rendszer fraktáljai a fák különböző növekedési mintázatait modellezik néhány paraméter, köztük az elágazási szög, a csomópontok vagy elágazási pontok közötti távolság (internodiumhossz) és az elágazási pontonkénti elágazások száma változtatásával.

A természetben széles körben előfordulnak fraktálszerű minták, olyan különböző jelenségekben, mint a felhők, folyóhálózatok, geológiai törésvonalak, hegyek, partvonalak, állati színezet, hópelyhek, kristályok, vérerek elágazása, aktin citoszkeleton és óceáni hullámok.

• Egyes fák növekedési mintázatai hasonlítanak ezekre a Lindenmayer-rendszer fraktálokra.

• A baobabfa növekedési mintázata

• A tehénpetrezselyem levele, Anthriscus sylvestris, 2- vagy 3-ágú, nem végtelen

• fraktálspirálok: Romanesco brokkoli önhasonló formát mutat

• Angelica virágfej, gömbökből álló gömb (önhasonló)

• Fák: Lichtenberg-ábra: nagyfeszültségű dielektromos áttörés egy akrilpolimer blokkban

• Fák: dendritikus rézkristályok (mikroszkópban)

SpirálokSzerkesztés

A spirálok gyakoriak a növényekben és egyes állatokban, különösen a puhatestűekben. Például a nautilusnál, egy fejlábú puhatestűnél a héj minden egyes kamrája egy állandó tényezővel méretezett és logaritmikus spirálba rendezett közelítő másolata a következőnek. A fraktálok modern megértése alapján a növekedési spirál az önhasonlóság egy speciális esetének tekinthető.

Növényi spirálok láthatók a levéltaxisban, a levelek elrendeződésében a száron, és más részek elrendeződésében (parasztichia), mint az összetett virágfejekben és magfejekben, mint a napraforgó, vagy a gyümölcsszerkezetekben, mint az ananász:337 és a kígyógyümölcs, valamint a fenyőtobozok pikkelyeinek mintázatában, ahol több spirál fut az óramutató járásával megegyező és ellentétes irányban. Ezeknek az elrendezéseknek különböző szintű magyarázatai vannak – matematika, fizika, kémia, biológia -, amelyek mindegyike külön-külön helyes, de mind együttesen szükséges. A filotaxis spirálok matematikailag előállíthatók a Fibonacci-arányokból: a Fibonacci-sorozat 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… (minden következő szám az előző két szám összege). Például, amikor a levelek váltakoznak egy száron felfelé, a spirál egy forgása két levelet érint, így a minta vagy arány 1/2. A mogyoró esetében az arány 1/3; a sárgabarack esetében 2/5; a körte esetében 3/8; a mandula esetében 5/13. A napraforgóhoz és a százszorszéphez hasonló korongfűzben a virágok Fermat spirálba rendeződnek Fibonacci-számozással, legalábbis amikor a virágfej érett, így minden elem egyforma méretű. A Fibonacci-arányok megközelítik az aranyszöget, 137,508°-ot, amely a Fermat-spirál görbületét szabályozza.

A fizika szempontjából a spirálok a legalacsonyabb energiájú konfigurációk, amelyek spontán módon jönnek létre a dinamikus rendszerek önszerveződő folyamatai révén. Kémiai szempontból a spirál aktiválást és gátlást egyaránt magában foglaló reakció-diffúziós folyamat révén jöhet létre. A filotaxist olyan fehérjék szabályozzák, amelyek a merisztémák növekedését aktiváló növényi hormon, az auxin koncentrációját manipulálják, más mechanizmusok mellett, amelyek a rügyek szár körüli relatív szögét szabályozzák. Biológiai szempontból a természetes szelekció előnyben részesíti, hogy a levelek egy adott térben a lehető legtávolabb helyezkedjenek el egymástól, mivel ez maximalizálja az erőforrásokhoz, különösen a fotoszintézishez szükséges napfényhez való hozzáférést.

• Fibonacci-spirál

• Bighorn juh, Ovis canadensis

• Spirál: Spirális aloe, Aloe polyphylla

• Nautilus héj logaritmikus növekedési spirálja

• Fermat spirálja: Napraforgó, Helianthus annuus

• Multiple Fibonacci spirál: Vöröskáposzta keresztmetszetben

• Trochoidea liebetruti spirális héja

• Vízcseppek repülnek le egy nedves, forgó labdáról egyenlőszögű spirálokban

Káosz, flow, meandersEdit

A matematikában egy dinamikus rendszer akkor kaotikus, ha (nagyon) érzékeny a kezdeti feltételekre (az úgynevezett “pillangóhatás”), amihez a topológiai keveredés és a sűrű periodikus pályák matematikai tulajdonságai szükségesek.

A fraktálok mellett a káoszelmélet a természetben található mintázatokra gyakorolt alapvetően univerzális hatásnak számít. A káosz és a fraktálok között kapcsolat van – a kaotikus rendszerek furcsa attraktorai fraktáldimenzióval rendelkeznek. Egyes celluláris automaták, egyszerű matematikai szabályhalmazok, amelyek mintákat generálnak, kaotikus viselkedést mutatnak, nevezetesen Stephen Wolfram 30-as szabálya.

A tekervényes utcák az örvények zegzugos mintázatai, amelyeket egy folyadék, leggyakrabban levegő vagy víz áramlásának rendezetlen szétválása hoz létre akadályozó tárgyak felett. A sima (lamináris) áramlás akkor kezd felbomlani, amikor az akadály mérete vagy az áramlás sebessége a folyadék viszkozitásához képest elég nagy lesz.

A meanderek a folyók vagy más csatornák kanyargós kanyarulatai, amelyek úgy alakulnak ki, hogy egy folyadék, leggyakrabban víz, kanyarokban áramlik. Amint az út kissé meggörbül, az egyes hurkok mérete és görbülete megnő, mivel a spirális áramlás olyan anyagokat, mint a homok és a kavics, húz át a folyón a kanyar belseje felé. A hurok külső része tiszta és védtelen marad, így az erózió felgyorsul, tovább növelve a kanyarulatot egy erőteljes pozitív visszacsatolási hurokban.

• Káosz: csigahéjú puhatestűek héja az aranykúp ruhája, Conus textil, hasonlít a 30-as szabály szerinti sejtautomatához

• áramlás: Felhők örvénylő utcája a Juan Fernandez-szigeteknél

• Meanderek: drámai kanyargó hegek és ököríves tavak a Rio Negro széles árterében, az űrből nézve

• Meanderek: Kanyargós út a Rio Cauto, Kuba

• Meanderek: kanyargós kígyó kúszik

• Meanderek: Szimmetrikus agykorall, Diploria strigosa

Hullámok, dűnékSzerkesztés

A hullámok olyan zavarok, amelyek mozgásuk során energiát hordoznak. A mechanikai hullámok egy közegben – levegőben vagy vízben – terjednek, és azt áthaladásuk során rezgésbe hozzák. A szélhullámok olyan tengerfelszíni hullámok, amelyek bármely nagy víztömeg jellegzetes kaotikus mintázatát hozzák létre, bár statisztikai viselkedésük szélhullám-modellekkel megjósolható. Ahogy a víz- vagy szélhullámok áthaladnak a homokon, fodrozódási mintázatokat hoznak létre. Amikor a szél nagy homokfelületek fölött fúj, dűnéket hoz létre, néha kiterjedt dűnemezőkben, mint a Taklamakán-sivatagban. A dűnék különböző mintázatokat alkothatnak, beleértve a félholdakat, nagyon hosszú egyeneseket, csillagokat, kupolákat, parabolákat és hosszanti vagy szeif (“kard”) alakzatokat.

A félholdak vagy félhold alakú dűnék a sivatagi homokra ható szél hatására keletkeznek; a félhold két szarva és a csúszófelület a szél felé mutat. A homok átfúj a szél felőli oldalon, amely a vízszinteshez képest körülbelül 15 fokos szögben áll, és a csúszó oldalra esik, ahol felhalmozódik a homok nyugalmi szögéig, amely körülbelül 35 fokos. Amikor a csúszófelület meghaladja a lecsúszási szöget, a homok lavinázik, ami nemlineáris viselkedés: sok kis mennyiségű homok hozzáadása nem okoz sok mindent, de aztán egy további kis mennyiségű homok hozzáadása hirtelen nagy mennyiségű lavinát okoz. Ettől a nemlinearitástól eltekintve a barchánok inkább úgy viselkednek, mint a magányos hullámok.

• Hullámok: hullámtörés egy hajó nyomában

• Dűnék: homokdűnék a Taklamakan sivatagban, az űrből

• Dűnék: Barchan crescent sand dune

• Szélfodrozódás diszlokációkkal Szisztánban, Afganisztánban

Buborékok, habSzerkesztés

A szappanbuborék gömböt, minimális felületű felületet (minimálfelület) alkot – a lehető legkisebb felületet a bezárt térfogathoz képest. Két buborék együtt bonyolultabb alakot alkot: mindkét buborék külső felülete gömb alakú; ezekhez a felületekhez egy harmadik gömb alakú felület csatlakozik, mivel a kisebb buborék kissé kidudorodik a nagyobbikba.

A hab buborékok tömege; a természetben különböző anyagok habjai fordulnak elő. A szappanfilmekből álló habok a Plateau-törvényeknek engedelmeskednek, amelyek szerint három szappanfilmnek minden élén 120°-ban kell találkoznia, és négy szappanszegélynek minden csúcson kb. 109,5°-os tetraéderes szögben kell találkoznia. A Plateau-törvények továbbá megkövetelik, hogy a filmek simák és folytonosak legyenek, és minden ponton állandó átlagos görbületűek legyenek. Például egy film átlagosan közel sík maradhat úgy, hogy az egyik irányban (mondjuk balról jobbra) felfelé görbül, míg egy másik irányban (mondjuk elölről hátrafelé) lefelé görbül. A minimális felülettel rendelkező struktúrák sátraként használhatók.

Az élő sejtek léptékében gyakoriak a habmintázatok; a radioláriák, a szivacsok tüskéi, a szilikoflagellák exoskeletonjai és a tengeri sün, a Cidaris rugosa kalcitváza mind hasonlítanak a platóni habhatárok ásványi öntvényeihez. Az Ernst Haeckel által rajzolt gyönyörű tengeri forma, az Aulonia hexagona nevű radiolárium csontváza úgy néz ki, mintha egy teljes egészében hatszögekből álló gömb lenne, de ez matematikailag lehetetlen. Az Euler-tulajdonság azt mondja ki, hogy bármely konvex poliéder esetében az oldalak száma plusz a csúcsok (sarkok) száma egyenlő az élek számával plusz kettővel. Ennek a képletnek az eredménye, hogy bármely hatszögekből álló zárt poliédernek pontosan 12 ötszöget kell tartalmaznia, mint például egy focilabdának, Buckminster Fuller geodéziai kupolának vagy fullerénmolekulának. Ez szemléltethető azzal, hogy egy hatszögekből álló háló lapos, mint egy csirkedrót, de minden egyes hozzáadott ötszög a hálót hajlításra kényszeríti (kevesebb sarok van, így a háló behúzódik).

• Szappanbuborékok habja: minden csúcson négy él találkozik, 109-hez közeli szögben.5°-ban, mint a metán két C-H kötése.

• Radiolaria, amelyet Haeckel rajzolt Kunstformen der Natur (1904) című művében.

• Haeckel Spumellariái; e Radiolaria csontvázai habszerűek.

• Buckminsterfullerén C60: Richard Smalley és munkatársai 1985-ben szintetizálták a fullerénmolekulát.

• A brokoszómák (levéltetvek által termelt szekréciós mikropartikulumok) gyakran megközelítik a fullerén geometriáját.

• Egyenletes gömbök (gázbuborékok) egy felületi habban

• Cirkuszsátor közelíti a minimális felületet.

TesszellációkSzerkesztés

A tesszellációk olyan minták, amelyek egy sík felületen végig ismétlődő csempékből jönnek létre. A tesszellációknak 17 tapétacsoportja van. Bár a művészetben és a formatervezésben gyakoriak, pontosan ismétlődő tilingeket kevésbé könnyű találni az élőlényekben. A szociális darazsak papírfészkeinek cellái és a méhek által épített méhsejtek viaszsejtjei jól ismert példák. Az állatok közül a csontos halakat, a hüllőket vagy a pangolint, illetve a gyümölcsöket, mint például a szalakótát, egymást fedő pikkelyek vagy oszteodermák védik, ezek többé-kevésbé pontosan ismétlődő egységeket alkotnak, bár gyakran a pikkelyek mérete valójában folyamatosan változik. A virágok közül a kígyófejű fritillária (Fritillaria meleagris) szirmai sakktáblás mintázatúak. Az ásványok szerkezetei jó példát szolgáltatnak a rendszeresen ismétlődő háromdimenziós elrendezésekre. Az ismert ásványok százezrei ellenére az atomok kristályban való elrendeződésének meglehetősen kevés lehetséges típusa van, amelyet a kristályszerkezet, a kristályrendszer és a pontcsoport határoz meg; például a háromdimenziós térben a 7 rácsrendszerre pontosan 14 Bravais-rács létezik.

• Kristályok: a halit (kősó) kocka alakú kristályai; kocka kristályrendszer, izometrikus hexoktaéderes kristályszimmetria

• Táblák: Méhsejtes természetes tesszelláció

• A lépcsőzetes kristályszokást szemléltető bizmut-hopperkristály.

• Tetszetek: a kígyófejű fritillária, Fritillaria meleagris tesszellált virága

• Tetszetek: Rutilus rutilus, Rutilus rutilus

• Tilings: Kígyóbőr vagy salak, Salacca zalacca

• Tesszellált járda: ritka sziklaképződmény a Tasmán-félszigeten

RepedésekSzerkesztés

A repedések olyan lineáris nyílások, amelyek az anyagokban a feszültség levezetésére alakulnak ki. Amikor egy rugalmas anyag egyenletesen nyúlik vagy zsugorodik, végül eléri a szakítószilárdságát, majd hirtelen minden irányban meghibásodik, és 120 fokos illesztésekkel repedések keletkeznek, így három repedés találkozik egy csomópontban. Ezzel szemben, amikor egy rugalmatlan anyag meghibásodik, egyenes repedések keletkeznek a feszültség levezetésére. Az ugyanabba az irányba irányuló további feszültség ekkor egyszerűen megnyitná a meglévő repedéseket; a derékszögű feszültség új repedéseket hozhat létre, a régiekhez képest 90 fokban. Így a repedések mintázata jelzi, hogy az anyag rugalmas-e vagy sem. Egy olyan kemény szálas anyagban, mint a tölgyfa kérge, a szokásos módon a feszültség enyhítésére repedések keletkeznek, de nem nőnek hosszúra, mivel növekedésüket erős, rugalmas szálak kötegei szakítják meg. Mivel minden fafajnak sajátos a szerkezete a sejtek és a molekulák szintjén, mindegyiknek sajátos mintázata van a kéreg hasadásának.

• Régi kerámiafelület, fehér mázzal, főleg 90°-os repedésekkel

• Sáradó rugalmatlan iszap a Rann of Kutchban, főleg 90°-os repedésekkel

• Vénás gabbro 90°-os repedésekkel, Sgurr na Stri közelében, Skye

• Száradó rugalmas iszap Szicíliában, főként 120°-os repedésekkel

• Hűtött bazalt a Giant’s Causewaynél. Függőleges, főként 120°-os repedések hatszögletű oszlopokat adnak

• Pálmatörzs elágazó függőleges repedésekkel (és vízszintes levélhegekkel)

Foltok, csíkokSzerkesztés

A leopárdok és katicabogarak foltosak; az angyalhalak és a zebrák csíkosak. Ezeknek a mintázatoknak evolúciós magyarázatuk van: olyan funkciójuk van, amely növeli annak az esélyét, hogy a mintás állat utódai túléljék a szaporodást. Az állatok mintázatának egyik funkciója az álcázás; például egy nehezebben észrevehető leopárd több zsákmányt ejt el. Egy másik funkció a jelzés – például egy katicabogarat kisebb valószínűséggel támadnak meg a látás alapján vadászó ragadozó madarak, ha merész figyelmeztető színekkel rendelkezik, és emellett ízléstelenül keserű vagy mérgező, vagy más ízléstelen rovarokat utánoz. Egy fiatal madár meglát egy figyelmeztető mintázatú rovart, például egy katicabogarat, és megpróbálja megenni, de ezt csak egyszer teszi meg; nagyon hamar kiköpi a keserű rovart; a többi katicabogár a környéken zavartalan marad. A fiatal leopárdok és katicabogarak, amelyek a foltosságot valamilyen módon létrehozó géneket örökölték, túlélnek. De míg ezek az evolúciós és funkcionális érvek megmagyarázzák, miért van szükségük ezeknek az állatoknak a mintázatukra, arra nem adnak magyarázatot, hogyan alakulnak ki a minták.

• Dirce-szépséglepke, Colobura dirce

• Grevy-zebra, Equus grevyi

• Királyangyalhal, Pygoplites diacanthus

• Leopárd, Panthera pardus pardus

• Katicabogár, G.G. Jacobson

• A tintahal, Sepia officinalis

szaporodási mintája.