Nella meccanica classica, un campo gravitazionale è una quantità fisica. Un campo gravitazionale può essere definito usando la legge di gravitazione universale di Newton. Determinato in questo modo, il campo gravitazionale g intorno a una singola particella di massa M è un campo vettoriale costituito in ogni punto da un vettore che punta direttamente verso la particella. La grandezza del campo in ogni punto è calcolata applicando la legge universale, e rappresenta la forza per unità di massa su qualsiasi oggetto in quel punto dello spazio. Poiché il campo di forza è conservativo, c’è un’energia potenziale scalare per unità di massa, Φ, in ogni punto dello spazio associato ai campi di forza; questo è chiamato potenziale gravitazionale. L’equazione del campo gravitazionale è
g = F m = d 2 R d t 2 = – G M R ^ | R | 2 = – ∇ Φ {\displaystyle \mathbf {g} ={frac {mathbf {F} ={frac {mathrm {d}={frac {mathrm {mathrm {d} ^{2}{mathbf {R}{mathrm {d} t^{2}}=-GM{frac {mathbf {\hat {R} {\mathbf {R} dx|^{2}}}=-\nabla \Phi {\mathbf {\mathbf {\mathbf {\mathbf {\mathbf {\mathbf {\mathbf{2}}
dove F è la forza gravitazionale, m è la massa della particella di prova, R è la posizione della particella di prova (o per la seconda legge del moto di Newton che è una funzione dipendente dal tempo, un insieme di posizioni di particelle di prova che occupano ciascuna un particolare punto nello spazio per l’inizio della prova), R̂ è un vettore unitario nella direzione radiale di R, t è il tempo, G è la costante gravitazionale, e ∇ è l’operatore del.
Questo include la legge di gravitazione universale di Newton e la relazione tra potenziale gravitazionale e accelerazione del campo. Si noti che d2R/dt2 e F/m sono entrambi uguali all’accelerazione gravitazionale g (equivalente all’accelerazione inerziale, quindi stessa forma matematica, ma anche definita come forza gravitazionale per unità di massa). I segni negativi sono inseriti poiché la forza agisce in senso antiparallelo allo spostamento. L’equazione di campo equivalente in termini di densità di massa ρ della massa attrattiva è:
∇ ⋅ g = – ∇ 2 Φ = – 4 π G ρ {displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-\nabla ^{2}\Phi =-4\pi G\rho }
che contiene la legge di Gauss per la gravità e l’equazione di Poisson per la gravità. La legge di Newton e quella di Gauss sono matematicamente equivalenti, e sono correlate dal teorema della divergenza.
Queste equazioni classiche sono equazioni differenziali del moto di una particella di prova in presenza di un campo gravitazionale, cioè impostare e risolvere queste equazioni permette di determinare e descrivere il moto di una massa di prova.
Il campo attorno a più particelle è semplicemente la somma vettoriale dei campi attorno ad ogni singola particella. Un oggetto in un tale campo sperimenterà una forza che è uguale alla somma vettoriale delle forze che sperimenterebbe in questi campi individuali. Questo è matematicamente
g j (netto) = ∑ i ≠ j g i = 1 m j ∑ i ≠ j F i = – G ∑ i ≠ j m i R ^ i j | R i – R j | 2 = – ∑ i ≠ j ∇ Φ i {\displaystyle \mathbf {g} _{j}^{{testo{(netto)}}==somma _{i\neq j} {\mathbf {\mathbf {g} _{i}={frac {1}{m_{j}}{sum _{i\neq j} {mathbf {F} _{i}=-G\sum _{i\neq j}m_{i}{frac {mathbf {\hat {R} _{ij}} {\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} _{j} a destra|^{2}}}=-somma _{i\neq j}nabla \Phi _{i}}
