論理学

• 論理主義：ゴットロブ・フレーゲやバートランド・ラッセルなどの哲学者・論理学者が開拓した、おそらく最も大胆な数学への論理適用の試みで、特に証明論、モデル論、集合論、再帰論などの形で論理への数学適用が行われている。
• 直観主義：論理学や数学は存在の深い特性を明らかにし応用する分析的活動ではなく、より複雑な精神構造を実現するために内部的に一貫した方法を適用するにすぎないとする教義。

演繹は与えられた前提から（すなわち一般前提から特定前提に）必ずしも導かれることに関するものである。 推論は、すべての前提が真で結論が偽である可能性がない場合（およびその場合にのみ）、演繹的に妥当である。 しかし、誤った前提は誤った結論を導く可能性があることを忘れてはならない。

演繹的推論は、アリストテレス、タレス、ピタゴラス、その他古典期のギリシャの哲学者によって発展した。 演繹法の核となるのは、アリストテレスが提唱した「三段論法」で、結論となる命題を、結論と共通する1項を持つ他の2項（前提）から推論するもので、「三段論法」とも呼ばれる。 例えば、

大前提：すべての人間は死ぬ、
小前提：ソクラテスは人間である、
結論：すべての人間は死ぬ、

大前提：すべての人間は死ぬ、
小前提：ソクラテスは人間である、結論：すべての人間は死ぬ。

演繹の例：

すべてのリンゴは果物である
すべての果物は木になる
したがってすべてのリンゴは木になる

人は最初の前提を否定し、したがって結論も否定することがある。 しかし、前提を受け入れる人は、結論を受け入れなければならない。 今日、アリストテレスの体系は述語論理や命題論理の出現によって時代遅れとなり、歴史的価値しかないと主張する学者もいる（以下の項を参照）。

Inductive reasoning is the process of deriving a reliable generalization from observations (i.e. from the particular to the general), thus the premises of an argument is believed to support the conclusion, but does not necessarily ensure it. 帰納論理は妥当性や結論にこだわるものではなく、証拠が決定的でない推論の健全性にこだわるものである

デヴィッド・ヒューム、カール・ポパー、デヴィッド・ミラーなど多くの哲学者が、帰納推論の論理的許容性に異議を唱えたり否定したりしている。 特にヒュームは、帰納的推論の原理の前提に到達するために帰納的推論を必要とし、したがって帰納的推論の正当化は循環論証であると主張した。

強帰納（前提の真実は結論の真実を確率的にするが確定的ではない議論）の例として、以下のものがある：

観察されたすべてのカラスは黒である。

弱い帰納法（前提条件と結論の結びつきが弱く、結論が必ずしも確率的でない議論）の例として、:

私はいつも絵を爪に掛けている.

だから:

すべての絵は爪から掛ける.

Modal Logicはモダリティ（可能性や確率、必要性の概念に関連する表現）を扱おうとする形式論理のシステムである。 したがって Modal Logic は、 「結局」、 「以前」、 「おそらく」、 「できる」、 「できた」、 「かもしれない」、 「しなければならない」 などの用語を扱う。

Modalities とは、命題が真または偽になることができる方法である。 モダリティの種類は以下の通り：

• Alethic Modalities: 可能性と必然性、および不可能性と偶発性が含まれる。 ある命題は不可能（必然的に偽）であるが、ある命題は偶発的（真の可能性も偽の可能性もある）である
• 時間的様相（Temporal Modalities）。 歴史的、未来的な真偽。 過去に真／偽であった命題もあれば、未来に真／偽となる命題もある
• Deontic Modalities: 義務性と許容性。 ある命題は真／偽であるべきであり、他の命題は許される」
• Epistemic Modalities: 知識と信念。

アリストテレスの論理学はほぼ全面的に定言的三段論法に関係しているが、彼はある程度様相論理とその潜在性と時間との関係を予期していた。 近代的な様相論理はゴットロープ・フレーゲによって確立されましたが、彼は当初その実行可能性を疑っており、後にルドルフ・カルナップ（1891 – 1970）、クルト・ゲーデル（1906 – 1978）、C.I.ルイス（1883 – 1964）、さらにソール・クリップケ（1940 – ）によって発展し、今日ほとんどの学者が用いる様相論理の体系Kを確立しました）。

Propositional Logic (or Sentential Logic) is only concerned with sentential connectives and logical operators (“and”, “or”, “not”, “if …” などの文型連結子)と演算子。

命題論理は、より複雑な命題、文、または文を形成するために、全体の命題、文、または文を結合および／または変更する方法と、文を結合または変更するこれらの方法から得られる論理関係および特性について研究するものである。 紀元前3世紀末のストア派の哲学者たちは、「そして」「または」「もし…なら…」といった文の演算子を研究しようとし、クリシッポス（紀元前280-205年頃）は、複雑な議論の前提を形成するさまざまな方法を示して命題論理を進化させた。 命題論理は、19世紀半ばにオーガスタス・デモーガン（1806-1871）、ジョージ・ブール（1815-1864）、ゴットロブ・フレーゲなどの論理学者による記号論理学の登場によって、本格的に結実することになるが、この体系も中世の論理学者が研究していた。

Predicate Logicでは、アリストテレスのシログロジックとは異なり、関係する判断の部分が取った形を特定し限定しなければならない（上記の演繹論理の項参照）ため、文をいくつかの異なる方法で主体と議論に分析できる。 また、述語論理は、自然言語で発生するすべての議論を表現するのに十分一般的な量詞の説明を与えることができるため、中世の論理学者を困惑させていた多重一般性の問題を解決することができるようになった。

例えば、もし:

Some cat is feared by every mouse

then it follows logically thatが直観的に明らかである。

All mice are afraid of at least one cat

しかし、上の文はそれぞれ2つの量詞（最初の文では「some」と「every」、後の文では「all」と「at least one」）を含んでいるので、従来の論理では十分に表現することができないのです。

述語論理は数学の一形態として設計され、そのため項論理や対句論理の力を超えたあらゆる種類の数学的推論が可能である。 一階論理（一階述語論理ともいう）では、述語は単一の主語しか参照できないが、述語論理は二階論理、高階論理、多項論理、無限論理も扱うことができる。 述語論理は19世紀後半にゴットロープ・フレーゲとチャールズ・ペイスによって開発されたが、20世紀にはホワイトヘッドとラッセルの論理原子論（ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタインの初期の研究から開発された）において完全な結実がなされた。

論理的誤謬とは推論や推察におけるあらゆる種類の誤り、あるいは本質的に議論を誤らせるあらゆるものを指します。 誤謬には、曖昧さの誤謬と文脈の誤謬の2つの主要なカテゴリがあります：

• 曖昧さの誤謬：用語は、それが複数の意味を持つ場合に曖昧である。
  • equivocation：一つの単語が二つの異なる意味で使われる場合。
  • amphiboly：曖昧さが個々の単語の意味ではなく、文章の構造（しばしばダングリング分詞や否定の不正確な使用による）により生じる場合。
• Contextual Fallacies：文章が使われる文脈や状況により異なる場合。
  • Significance Fallacies of Significance：主張が重要かどうか不明な場合。
  • Fallacies of Emphasis：文中の単語が正しく強調されていない場合など。
  • Fallacies of Quoting Out of Context：引用の文脈を操作すること。
  • Fallacies of Argumentum ad Hominem：それを行う個人が欠陥のある人格であることが示されるだけでは、その発言が誤りであることが示されない場合。
  • Arguacies of Arguing from Authority：発言した人がそのテーマについて「権威」とみなされるだけで、真実や虚偽を証明できない。
  • Fallacies of Arguments that Appeal to Sentiments：証明ではなく説得するために人々が何かについてどう感じているかを報告することである。
  • Fallacies of Argument from Ignorance: 反証する証拠がないというだけで、ある声明が真実であると証明することはできない。
  • Fallacies of Begging the Question: 実質的に同じ声明が前提としても結論としても使われる循環論法。
  • 組成の誤謬：部分について正しいことは全体についても正しいという仮定。
  • 分割の誤謬：全体について正しいことはその部分のすべてについても正しくなければならないという逆な仮定。
  • 無関係な結論の誤謬：結論が、論証が最初に証明しようとしたこと以外の何かに関係している場合。
  • 不等号の誤謬：論証の飛躍、結論が必ずしも前提から導かれない場合。
  • 統計の誤謬：統計は、多くの異なる仮説を「証明」するために操作され、偏ることがあります。

  これらは最もよく遭遇するタイプの一部に過ぎず、哲学のインターネット百科事典では誤謬に関するページが176件掲載されています

  Paradoxes

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  パラドックスとは、一見矛盾していたり常識に反しているが実際には正しいかもしれない文や感情のことである。 逆に、パラドックスとは、一見正しく見えても、実際には自己矛盾している (したがって、誤っている) 文章である場合もあります。 典型的には、問題のステートメントが実際には矛盾を含意していないか、不可解な結果が実際には矛盾していないか、または前提自体がすべて実際には真でないか、すべて一緒に真であることができないかのいずれかである。 しかし、多くのパラドックス（例えばカレーのパラドックス）は、まだ普遍的に受け入れられる解決策を持っていない。

  パラドックスには4つのクラスがあると主張できる：

  • Veridical Paradoxes：一見不合理な結果を生み出すが、それでも真実であると証明できるもの。
  • Falsidical Paradoxes：誤って見えるだけでなく、実際に誤った結果を生む。
  • Antinomies：真実でも偽りでもなく、受け入れられた推論の方法を適切に適用すると自己矛盾した結果を生む。
  • Dialetheias：同時に、同じ意味で真実と偽りの両方を生む結果である。

  パラドックスは、しばしば自己言及（文や式がそれ自体を直接参照する場合）、無限性（無限後退、または支持参照の無限系列を生成する議論）、循環定義（証明されるべき命題が前提の1つに暗黙または明示的に仮定されている場合）から生じます。 曖昧さ（ある概念が適用されるか否かが明確でない場合）、虚偽または誤解を招く発言（故意または無自覚に虚偽または誤解を招く主張）、半信半疑（真実の要素を含む欺瞞的発言）。

  有名なパラドックスには次のようなものがある：

  • エピメニデスの嘘つきパラドックス： エピメニデスはクレタ人で、”クレタ人は皆嘘つきだ “と言った。 彼を信じるべきか？
  • 嘘つきのパラドックス(2)。 “この文章は嘘です”
  • ライアーパラドックス(3): “次の文は偽である。 前の文は真である」
  • カレーのパラドックス：「この文が真なら、サンタクロースは存在する」
  • クワインのパラドックス：「yields falsehood when preceded by its quotation」 yields falsehood when preceded by its quotation.
  • Russell’s Barber Paradox: 床屋が村の中で自分の髭を剃らない男性全員の髭を剃ると、自分の髭も剃るのか
  • Grandfather Paradox: タイムトラベラーが過去に戻り、彼がまだ子供だったときに祖父を殺してしまうと仮定する。 もし祖父が子供の頃に死んでしまったら、タイムトラベラーは生まれてくることができない。
  • ゼノンの二分法のパラドックス：ある物体がある距離を移動する前に（例えば、人が部屋を横切る）、その物体の半分まで移動しなければならない。 半分進む前に、4分の1の距離を進まなければならない。 4分の1進む前に8分の1、8分の1進む前に16分の1、・・・と進んでいかなければならない。 この順序が永遠に続くと、無限の点を越えなければならないが、これは有限の期間では論理的に不可能なので、距離は決してカバーされない（部屋を越えるなど）。
  • アキレスと亀のゼノンのパラドックス： アキレスが競争において亀の先行を許すと、 アキレスが亀の出発点に到着したときには、亀はすでに短い距離で走っていることになる。 アキレスがその第二地点に到着するころには、亀はまた先に進んでいる、などなど。
  • ゼノンの矢のパラドックス：弓から矢を放つと、どの時点でも矢はあるところにあるか、ないところにあるかのどちらかである。 もし、今いる場所で動くなら、止まっていなければならないし、今いない場所で動くなら、そこには存在し得ない。
  • テセウスの船のパラドックス： テセウスが死んだ後、彼の船は公共の展示場に出された。 時間が経つにつれ、すべての板は一度は腐り、新しい同じ板と交換された。
  • ソリテス（砂の山）のパラドックス： 砂の山から一粒を取り上げても、それはまだ山である。 一粒一粒を取り除いた場合、一粒だけ残っていても山なのか？
  • ヘンペルのカラスのパラドックス： カラスがすべて黒いとすると、論理的等価性の観点から、黒くないものはすべてカラスではないことになる。 つまり、青いセーターや赤いカップを目撃するたびに、すべてのカラスは黒いという仮説が裏付けられる。
  • ペトロニウスのパラドックス「中庸を含むすべてのものにおける中庸」
  • パラドックス的な通知。 “
  • Dull Numbers Paradox：つまらない数というものがあるとすれば、すべての数を面白い数とつまらない数の2つの集合に分けることができる。 つまらない数の集合の中には、最も小さい数が一つだけ存在することになる。 それは最も小さい鈍い数であるから、事実上、面白い数になる。 したがって、それを鈍い数の集合から取り除いて、もう一方の集合に入れなければならない。 しかし、今度は別の最小のおもしろくない数が出てくる。 9526>
  • プロタゴラスの弟子のパラドックス： ある弁護士が弟子の一人と取り決めをし、弟子は最初の裁判に勝ったら指導料を支払うことにした。 しばらくして、弁護士は弟子がなかなかクライアントを作らないことに業を煮やし、その代金を請求することにした。 弁護士の論理では、弁護士が勝てば裁判所の判決に従って弟子が支払うことになり、弟子が勝てば契約を守ってとにかく支払わなければならないことになる。 しかし、生徒側は、生徒が勝てば、裁判所の判断で、弁護士に支払う必要はなく、弁護士が勝てば、契約は効力を生じず、生徒が弁護士に支払う必要はないと主張しました。
  • ムーアのパラドックス：「雨は降るだろうが、降るとは思わない」
  • シュレーディンガーの猫：密閉した箱に猫がいて、その猫の生死はある素粒子の状態によって左右されます。 量子力学によれば、その粒子は量子測定の正確な瞬間にのみ明確な状態を持つので、箱が開けられる瞬間まで猫は生死を共にする。
  • 「亀はずっと下にいる」。 地球は巨大な象に支えられた平らな円盤であり、その象を巨大な亀が支えているという古代の（おそらくインドの）宇宙論的神話に基づいて、しばしばバートランド・ラッセルのものとされるが、おそらくそれより何世紀も前の話であろう、無限後退についての話。 この物語の中で、亀を支えているのは何かと尋ねられたとき、「ずっと亀だ」という答えが返ってきたという。

  Major Doctrines

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  Logicの見出しで考えられる教義は3つである。

  直観主義

  論理主義

  論理実証主義

  の3つです。