Logika

Logika (od greckiego „logos”, które ma wiele znaczeń, w tym słowo, myśl, idea, argument, rachunek, powód lub zasada) jest nauką o rozumowaniu lub nauką o zasadach i kryteriach ważnego wnioskowania i dowodzenia. Próbuje odróżnić dobre rozumowanie od złego rozumowania.

Arystoteles zdefiniował logikę jako „nowe i konieczne rozumowanie”, „nowe”, ponieważ pozwala nam dowiedzieć się, czego nie wiemy, a „konieczne”, ponieważ jego wnioski są nieuchronne. Zadaje pytania takie jak „Co to jest poprawne rozumowanie?”, „Co odróżnia dobry argument od złego?”, „Jak możemy wykryć błąd w rozumowaniu?”

Logika bada i klasyfikuje strukturę wypowiedzi i argumentów, zarówno poprzez badanie formalnych systemów wnioskowania, jak i poprzez badanie argumentów w języku naturalnym. Zajmuje się tylko propozycjami (zdaniami oznajmującymi, używanymi do twierdzenia, w przeciwieństwie do pytań, poleceń lub zdań wyrażających życzenia), które mogą być prawdziwe i fałszywe. Nie zajmuje się procesami psychologicznymi związanymi z myśleniem, emocjami, obrazami i tym podobnymi. Obejmuje ona podstawowe tematy, takie jak badanie błędów i paradoksów, jak również specjalistyczną analizę rozumowania z wykorzystaniem prawdopodobieństwa i argumentów dotyczących przyczynowości i teorii argumentacji.

Systemy logiczne powinny mieć trzy rzeczy: spójność (co oznacza, że żadne z twierdzeń systemu nie przeczy sobie nawzajem); solidność (co oznacza, że reguły dowodu systemu nigdy nie pozwolą na fałszywe wnioskowanie z prawdziwej przesłanki); i kompletność (co oznacza, że nie ma prawdziwych zdań w systemie, które nie mogą, przynajmniej w zasadzie, być udowodnione w systemie).

W starożytnych Indiach, „Nasadiya Sukta” z Rig Veda zawiera różne podziały logiczne, które później zostały przekształcone formalnie jako cztery kręgi katuskoti: „A”, „nie A”, „A i nie A” oraz „nie A i nie A”. Nyaya szkoła indyjskiej spekulacji filozoficznej opiera się na tekstach znanych jako „Nyaya Sutras” Aksapada Gautama z około 2 wieku pne, a jego metodologia wnioskowania opiera się na systemie logiki (obejmujący połączenie indukcji i dedukcji poprzez przejście od konkretnego do konkretnego przez ogólności), który następnie został przyjęty przez większość innych indyjskich schools.

Ale nowoczesna logika wywodzi się głównie z tradycji starożytnej Grecji. Zarówno Platon, jak i Arystoteles pojmowali logikę jako naukę o argumentacji i z troski o poprawność argumentacji. Arystoteles napisał sześć prac na temat logiki, znanych jako „Organon”, z których pierwsza, „Analityka uprzednia”, jest pierwszą wyraźną pracą w logice formalnej.

Arystoteles popierał dwie zasady o wielkim znaczeniu w logice, prawo wyłączonego środka (że każde stwierdzenie jest albo prawdziwe, albo fałszywe) i prawo niesprzeczności (myląco znane również jako prawo sprzeczności, że żadne stwierdzenie nie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe). Jest prawdopodobnie najbardziej znany z wprowadzenia sylogizmu (lub terminu logika) (patrz sekcja o logice dedukcyjnej poniżej). Jego zwolennicy, znani jako Perypatetycy, udoskonalili jego pracę nad logiką.

W średniowieczu, logika Arystotelesa (lub dialektyka) była studiowana, wraz z gramatyką i retoryką, jako jeden z trzech głównych nurtów trivium, fundamentu średniowiecznej edukacji w zakresie sztuk wyzwolonych.

Logika w filozofii islamskiej przyczyniła się również do rozwoju nowoczesnej logiki, zwłaszcza do rozwoju logiki awicenniańskiej (która była odpowiedzialna za wprowadzenie sylogizmu hipotetycznego, logiki temporalnej, logiki modalnej i logiki indukcyjnej) jako alternatywy dla logiki arystotelesowskiej.

W XVIII wieku Immanuel Kant argumentował, że logika powinna być pojmowana jako nauka o sądach, tak że poprawne wnioskowania logiki wynikają ze strukturalnych cech sądów, chociaż nadal utrzymywał, że Arystoteles powiedział w zasadzie wszystko, co można było powiedzieć o logice jako dyscyplinie.

W XX wieku, jednakże, praca Gottloba Fregego, Alfreda Northa Whiteheada i Bertranda Russella nad Logiką Symboliczną, postawiła twierdzenie Kanta na głowie. Ta nowa logika, wyłożona w ich wspólnym dziele „Principia Mathematica”, ma znacznie szerszy zakres niż logika arystotelesowska, a nawet zawiera w sobie logikę klasyczną, choć w niewielkim stopniu. Przypomina ona rachunek matematyczny i zajmuje się relacjami symboli względem siebie.

Logikę w ogólności można podzielić na Logikę Formalną, Logikę Nieformalną oraz Logikę Symboliczną i Logikę Matematyczną:

• Logika Formalna:
  Logika Formalna jest tym, co uważamy za logikę tradycyjną lub logikę filozoficzną, a mianowicie nauką o wnioskowaniu o treści czysto formalnej i jawnej (tzn.(tzn. może być wyrażone jako konkretne zastosowanie całkowicie abstrakcyjnej reguły), takie jak reguły logiki formalnej, które przyszły do nas od Arystotelesa. (Patrz rozdział o logice dedukcyjnej poniżej).
  System formalny (zwany również rachunkiem logicznym) jest używany do wyprowadzania jednego wyrażenia (wniosku) z jednego lub więcej innych wyrażeń (przesłanek). Przesłanki te mogą być aksjomatami (oczywista teza, przyjęta za pewnik) lub twierdzeniami (wyprowadzonymi przy użyciu ustalonego zestawu reguł wnioskowania i aksjomatów, bez żadnych dodatkowych założeń).
  Formalizm jest teorią filozoficzną, że formalne stwierdzenia (logiczne lub matematyczne) nie mają wewnętrznego znaczenia, ale że jego symbole (które są uważane za jednostki fizyczne) wykazują formę, która ma użyteczne zastosowania.
• Logika nieformalna:
  Logika nieformalna jest najnowszą dyscypliną, która bada argumenty w języku naturalnym i próbuje rozwinąć logikę, aby ocenić, przeanalizować i poprawić zwykły język (lub „codzienne”) rozumowanie. Język naturalny oznacza tutaj język, który jest mówiony, pisany lub podpisywany przez ludzi w celu komunikacji ogólnego przeznaczenia, w odróżnieniu od języków formalnych (takich jak języki programowania komputerowego) lub języków konstruowanych (takich jak esperanto).
• Logika symboliczna:
  Logika symboliczna jest badaniem symbolicznych abstrakcji, które uchwyciły formalne cechy logicznego wnioskowania. Zajmuje się relacjami symboli do siebie, często używając złożonego rachunku matematycznego, próbując rozwiązać trudne problemy, których tradycyjna logika formalna nie jest w stanie rozwiązać.
  Jest często dzielona na dwie podgałęzie:
  • Logika predykatów: system, w którym formuły zawierają zmienne kwantyfikowalne. (Zobacz sekcję na Predicate Logic poniżej).
  • Propositional Logic (lub Sentential Logic): system, w którym formuły reprezentujące propozycje mogą być tworzone przez łączenie propozycji atomowych za pomocą logicznych łączników, a system formalnych reguł dowodu pozwala pewne formuły być ustalone jako twierdzenia. (Patrz rozdział o logice przyimkowej poniżej).
• Logika matematyczna:
  Zarówno zastosowanie technik logiki formalnej do matematyki i rozumowania matematycznego, jak i odwrotnie, zastosowanie technik matematycznych do reprezentacji i analizy logiki formalnej.Komputeroznawstwo pojawiło się jako dyscyplina w latach czterdziestych wraz z pracą Alana Turinga (1912 – 1954) nad problemem Entscheidungsproblem, który wynikał z teorii Kurta Gödla (1906 – 1978), w szczególności jego twierdzeń o niezupełności. W latach 50. i 60. XX wieku naukowcy przewidywali, że gdy ludzką wiedzę będzie można wyrazić za pomocą logiki z zapisem matematycznym, możliwe będzie stworzenie maszyny rozumującej (lub sztucznej inteligencji), choć okazało się to trudniejsze niż się spodziewano ze względu na złożoność ludzkiego rozumowania.Doktryny związane z matematyką obejmują:
  • logicyzm: być może najśmielsza próba zastosowania logiki do matematyki, której pionierami byli filozofowie-logicy, tacy jak Gottlob Frege i Bertrand Russell, zwłaszcza zastosowanie matematyki do logiki w postaci teorii dowodów, teorii modeli, teorii zbiorów i teorii rekurencji.
  • Intuicjonizm: doktryna, która utrzymuje, że logika i matematyka nie składają się z działań analitycznych, w których głębokie własności bytu są ujawniane i stosowane, lecz jedynie z zastosowania wewnętrznie spójnych metod do realizacji bardziej złożonych konstrukcji umysłowych.

Dedukcyjne rozumowanie dotyczy tego, co wynika w sposób konieczny z danych przesłanek (tj. z przesłanki ogólnej do przesłanki szczegółowej). Wnioskowanie jest dedukcyjnie ważne wtedy (i tylko wtedy), gdy nie istnieje żadna możliwa sytuacja, w której wszystkie przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy. Należy jednak pamiętać, że fałszywa przesłanka może ewentualnie prowadzić do fałszywego wniosku.

Dedukcyjne rozumowanie zostało rozwinięte przez Arystotelesa, Talesa, Pitagorasa i innych greckich filozofów okresu klasycznego. W rdzeniu rozumowania dedukcyjnego jest sylogizm (znany również jako termin logiki), zwykle przypisywany Arystotelesowi), gdzie jedna propozycja (wniosek) jest wywnioskowana z dwóch innych (przesłanek), z których każda ma jeden wspólny termin z wnioskiem. Na przykład:

Przesłanka główna: Wszyscy ludzie są śmiertelni.
Przesłanka mniejsza: Sokrates jest człowiekiem.
Wniosek: Sokrates jest śmiertelny.

Przykładem dedukcji jest:

Wszystkie jabłka są owocami.
Wszystkie owoce rosną na drzewach.
Więc wszystkie jabłka rosną na drzewach.

Można zaprzeczyć początkowym przesłankom, a zatem zaprzeczyć wnioskowi. Ale każdy, kto akceptuje przesłanki, musi zaakceptować wniosek. Dzisiaj, niektórzy naukowcy twierdzą, że system Arystotelesa ma niewiele więcej niż wartość historyczną, będąc przestarzałym przez pojawienie się logiki predykatów i logiki przyimkowej (patrz sekcje poniżej).

Dowodowanie indukcyjne jest procesem wyprowadzania wiarygodnego uogólnienia z obserwacji (tj. z tego, co szczególne do tego, co ogólne), tak że przesłanki argumentu są uważane za wspierające wniosek, ale niekoniecznie go zapewniają. Logika indukcyjna nie jest zainteresowana ważnością lub rozstrzygalnością, ale solidnością tych wnioskowań, dla których dowody nie są rozstrzygające.

Wielu filozofów, w tym David Hume, Karl Popper i David Miller, zakwestionowało lub zaprzeczyło logicznej dopuszczalności rozumowania indukcyjnego. W szczególności Hume argumentował, że dojście do przesłanek zasady rozumowania indukcyjnego wymaga rozumowania indukcyjnego, a zatem uzasadnienie rozumowania indukcyjnego jest argumentem okrężnym.

Przykładem silnej indukcji (argumentu, w którym prawda przesłanki czyni prawdę wniosku prawdopodobną, ale nie pewną) jest:

Wszystkie zaobserwowane wrony są czarne.

Therefore:

Wszystkie wrony są czarne.

Przykładem indukcji słabej (argument, w którym związek między przesłankami a wnioskiem jest słaby, a wniosek nie jest nawet koniecznie prawdopodobny) jest:

Zawieszam obrazki na gwoździach.

Więc:

Wszystkie obrazki wiszą na gwoździach.

Logika modalna to każdy system logiki formalnej, który próbuje radzić sobie z modalnościami (wyrażeniami związanymi z pojęciami możliwości, prawdopodobieństwa i konieczności). Logika modalna zajmuje się zatem terminami takimi jak „ostatecznie”, „dawniej”, „możliwie”, „może”, „mógłby”, „może”, „musi”, itd.

Modalności są sposobami, w jakie propozycje mogą być prawdziwe lub fałszywe. Rodzaje modalności obejmują:

• Modalności aletyczne: Obejmuje możliwość i konieczność, jak również niemożliwość i przypadkowość. Niektóre propozycje są niemożliwe (koniecznie fałszywe), podczas gdy inne są warunkowe (zarówno możliwe prawdziwe, jak i możliwe fałszywe).
• Modalności Temporalne: Historyczne i przyszłe prawdy lub fałsze. Niektóre propozycje były prawdziwe/fałszywe w przeszłości, a inne będą prawdziwe/fałszywe w przyszłości.
• Modalności Deontyczne: Obowiązek i dopuszczalność. Niektóre propozycje powinny być prawdziwe/fałszywe, podczas gdy inne są dozwolone.
• Modalności epistemiczne: Wiedza i przekonanie. Niektóre propozycje są znane jako prawdziwe/fałszywe, a inne są uważane za prawdziwe/fałszywe.

Ale logika Arystotelesa jest prawie całkowicie związana z sylogizmami kategorycznymi, to jednak do pewnego stopnia przewidział on logikę modalną i jej związek z potencjalnością i czasem. Nowoczesna logika modalna została założona przez Gottloba Fregego, choć początkowo wątpił on w jej wykonalność, i dopiero później została rozwinięta przez Rudolpha Carnapa (1891 – 1970), Kurta Gödla (1906 – 1978), C.I. Lewisa (1883 – 1964), a następnie Saula Kripkego (1940 – ), który stworzył System K, formę logiki modalnej, której większość uczonych używa dzisiaj).

Logika przyimkowa (lub logika zdaniowa) zajmuje się tylko łącznikami zdaniowymi i operatorami logicznymi (takimi jak „and”, „or”, „not”, „if …. to …”, „ponieważ” i „koniecznie”), w przeciwieństwie do logiki predykatów (patrz poniżej), która zajmuje się również wewnętrzną strukturą propozycji atomowych.

Logika propozycjonalna bada sposoby łączenia i/lub modyfikowania całych propozycji, stwierdzeń lub zdań w celu utworzenia bardziej złożonych propozycji, stwierdzeń lub zdań, jak również związki logiczne i właściwości, które wynikają z tych metod łączenia lub zmiany stwierdzeń. W logice propozycjonalnej najprostsze stwierdzenia są uważane za niepodzielne jednostki.

Filozofowie stoiccy pod koniec III wieku p.n.e. próbowali badać takie operatory stwierdzeń jak „i”, „lub” oraz „jeśli … to …”, a Chrysippus (ok. 280-205 p.n.e.) rozwinął rodzaj logiki propozycjonalnej, wyznaczając szereg różnych sposobów tworzenia złożonych przesłanek dla argumentów. System ten był również badany przez logików średniowiecznych, chociaż logika propozycjonalna nie osiągnęła prawdziwego rozkwitu aż do połowy XIX wieku, wraz z pojawieniem się logiki symbolicznej w pracach logików takich jak Augustus DeMorgan (1806-1871), George Boole (1815-1864) i Gottlob Frege.

Logika predykatowa pozwala na analizę zdań na podmiot i argument na kilka różnych sposobów, w przeciwieństwie do arystotelesowskiej logiki sylogistycznej, gdzie formy, jakie przyjmowała odpowiednia część zaangażowanych sądów, muszą być określone i ograniczone (zob. sekcja o logice dedukcyjnej powyżej). Logika predykatów jest również w stanie podać rachunek kwantyfikatorów wystarczająco ogólny, aby wyrazić wszystkie argumenty występujące w języku naturalnym, co pozwala na rozwiązanie problemu wielokrotnej ogólności, który niepokoił średniowiecznych logików.

Na przykład, intuicyjnie jasne jest, że jeśli:

Jakiegoś kota boi się każda mysz

to wynika z tego logicznie, że:

Wszystkie myszy boją się co najmniej jednego kota

Ale ponieważ powyższe zdania zawierają po dwa kwantyfikatory („jakiś” i „każdy” w pierwszym zdaniu oraz „wszystkie” i „co najmniej jeden” w drugim zdaniu), nie można ich adekwatnie przedstawić w logice tradycyjnej.

Logika predykatów została zaprojektowana jako forma matematyki, i jako taka jest zdolna do wszelkiego rodzaju rozumowań matematycznych wykraczających poza możliwości logiki terminowej lub sylogistycznej. W logice pierwszego rzędu (znanej również jako rachunek predykatów pierwszego rzędu), predykat może odnosić się tylko do jednego podmiotu, ale logika predykatów może również zajmować się logiką drugiego rzędu, logiką wyższego rzędu, logiką wielu sortów lub logiką nieskończoności. Jest ona również zdolna do wielu zdroworozsądkowych wnioskowań, które wymykają się logice terminowej i (wraz z logiką przyimkową – patrz poniżej) wyparła tradycyjną logikę terminową w większości kręgów filozoficznych.

Logika predykatów została początkowo rozwinięta przez Gottloba Fregego i Charlesa Peirce’a pod koniec XIX wieku, ale osiągnęła pełny owoc w atomizmie logicznym Whiteheada i Russella w XX wieku (rozwiniętym z wcześniejszej pracy Ludwiga Wittgensteina).

Fałszywka logiczna to każdy rodzaj błędu w rozumowaniu lub wnioskowaniu, lub, zasadniczo, wszystko, co powoduje, że argument jest błędny. Istnieją dwie główne kategorie błędów, błędy niejednoznaczności i błędy kontekstowe:

• błędy niejednoznaczności: termin jest niejednoznaczny, jeśli ma więcej niż jedno znaczenie. Istnieją dwa główne typy:
  • ekwiwokacja: kiedy jedno słowo może być użyte w dwóch różnych znaczeniach.
  • amfibolia: kiedy dwuznaczność powstaje z powodu struktury zdania (często z powodu imiesłowów dzierżawczych lub niedokładnego użycia przeczenia), a nie znaczenia poszczególnych słów.
• Contextual Fallacies: które zależą od kontekstu lub okoliczności, w których zdania są używane. Istnieje wiele różnych typów, z których najczęstsze to:
  • Fallacies of Significance: gdy nie jest jasne, czy twierdzenie jest istotne, czy nie.
  • Fallacies of Emphasis: niewłaściwe podkreślenie słów w zdaniu.
  • Fallacies of Quoting Out of Context: manipulacja kontekstem cytatu.
  • Fallacies of Argumentum ad Hominem: nie można wykazać fałszywości stwierdzenia tylko dlatego, że osoba, która je wygłasza jest wadliwa.
  • Fallacies of Arguing from Authority: prawda lub fałsz nie mogą być udowodnione tylko dlatego, że osoba mówiąca to jest uważana za „autorytet” w tym temacie.
  • Fallacies of Arguments which Appeal to Sentiments: informowanie, jak ludzie czują się o czymś w celu przekonania, a nie udowodnienia.
  • Fallacies of Argument from Ignorance: twierdzenie nie może być udowodnione jako prawdziwe tylko dlatego, że nie ma dowodów na jego obalenie.
  • Fallacies of Begging the Question: okrężny argument, w którym to samo twierdzenie jest używane zarówno jako przesłanka, jak i wniosek.
  • Fallacies of Composition: założenie, że to, co jest prawdą o części, jest również prawdą o całości.
  • Fallacies of Division: odwrotne założenie, że to, co jest prawdą o całości, musi być również prawdą o wszystkich jej częściach.
  • Fallacies of Irrelevant Conclusion: gdy wniosek dotyczy czegoś innego niż to, co argument początkowo próbował udowodnić.
  • Fallacies of Non-Sequitur: przeskok argumentacyjny, w którym wniosek niekoniecznie wynika z przesłanek.
  • Fallacies of Statistics: statystyka może być zmanipulowana i stronnicza, aby „udowodnić” wiele różnych hipotez.

To tylko niektóre z najczęściej spotykanych typów, strona Internet Encyclopedia of Philosophy na temat Fallacies wymienia 176!

Paradoks to stwierdzenie lub sentencja, która jest pozornie sprzeczna lub przeciwna zdrowemu rozsądkowi, a jednak być może jest prawdziwa w rzeczywistości. I odwrotnie, paradoksem może być stwierdzenie, które jest w rzeczywistości samozaprzeczalne (a więc fałszywe), mimo że wydaje się prawdziwe. Zazwyczaj albo stwierdzenia, o których mowa nie implikują w rzeczywistości sprzeczności, zagadkowy wynik nie jest w rzeczywistości sprzecznością, albo same przesłanki nie są w rzeczywistości prawdziwe lub nie mogą być wszystkie prawdziwe razem.

Uznanie dwuznaczności, wieloznaczności i nieokreślonych założeń leżących u podstaw znanych paradoksów doprowadziło do znacznego postępu w nauce, filozofii i matematyce. Ale wiele paradoksów (np. paradoks Curry’ego) nie ma jeszcze powszechnie akceptowanych rozwiązań.

Można argumentować, że istnieją cztery klasy paradoksów:

• Paradoksy prawdziwościowe: które dają wynik, który wydaje się absurdalny, ale można wykazać, że jest jednak prawdziwy.
• Paradoksy fałszywe: które dają wynik, który nie tylko wydaje się fałszywy, ale w rzeczywistości jest fałszywy.
• Antynomie: które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe, ale dają wynik samozaprzeczalny przez właściwe zastosowanie przyjętych sposobów rozumowania.
• Dialeteje: które dają wynik, który jest zarówno prawdziwy, jak i fałszywy w tym samym czasie i w tym samym sensie.

Paradoksy często wynikają z autoreferencji (gdy zdanie lub formuła odnosi się bezpośrednio do siebie), nieskończoności (argument, który generuje nieskończony regres, czyli nieskończoną serię wspierających odniesień), kolistych definicji (w których teza, która ma być udowodniona, jest założona implicite lub explicite w jednej z przesłanek), niejasność (gdy nie ma jasnego faktu, czy pojęcie ma zastosowanie, czy nie), fałszywe lub wprowadzające w błąd oświadczenia (twierdzenia, które są świadomie lub nieświadomie nieprawdziwe lub wprowadzające w błąd) i półprawdy (zwodnicze oświadczenia, które zawierają pewne elementy prawdy).

Niektóre słynne paradoksy obejmują:

• Paradoks kłamcy Epimenidesa: Epimenides był Kreteńczykiem, który powiedział „Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami”. Czy powinniśmy mu wierzyć?
• Paradoks kłamcy (2): „To zdanie jest fałszywe.”
• Paradoks kłamcy (3): „Następne zdanie jest fałszywe. Poprzednie zdanie jest prawdziwe.”
• Paradoks Curry’ego: „Jeśli to zdanie jest prawdziwe, to Święty Mikołaj istnieje.”
• Paradoks Quine’a: „yields falsehood when preceded by its quotation” yields falsehood when preceded by its quotation.
• Paradoks fryzjera Russella: Jeśli fryzjer goli wszystkich i tylko tych mężczyzn w wiosce, którzy nie golą się sami, to czy goli samego siebie?
• Paradoks dziadka: Załóżmy, że podróżnik w czasie cofa się w czasie i zabija swojego dziadka, gdy ten był jeszcze dzieckiem. Jeśli jego dziadek umrze w dzieciństwie, to podróżnik w czasie nie może się urodzić. Ale jeśli podróżnik w czasie nigdy się nie narodził, to jak mógł podróżować w czasie w ogóle?
• Paradoks dychotomii Zenona: Zanim poruszający się obiekt może przebyć pewną odległość (np. osoba przechodząca przez pokój), musi dotrzeć do połowy drogi. Zanim dotrze do połowy drogi, musi przebyć jedną czwartą drogi. Zanim pokona jedną czwartą drogi, musi pokonać jedną ósmą; przed ósmą, jedną szesnastą; i tak dalej. Jako ten sekwencja iść dalej na zawsze, nieskończona liczba punkt musieć krzyżować, che być logicznie niemożliwy w skończony okres czasu, więc the odległość nigdy pokonywać (the pokój krzyżować, Etc).
• Zeno’s Paradox of Achilles and the Tortoise: Jeżeli Achilles pozwolić the żółw pierwszorzędny start w wyścig, then the czas Achilles przybywać the żółw punkt startowy, the żółw już biegać na krótki dystans. Zanim Achilles dotrze do tego drugiego punktu, żółw znów rusza dalej, itd. Więc Achilles nigdy nie może złapać żółwia.
• Paradoks Strzały Zenona: Jeśli strzała jest wystrzelona z łuku, to w każdej chwili w czasie, strzała albo jest tam, gdzie jest, albo jest tam, gdzie jej nie ma. Jeśli porusza się tam, gdzie jest, to musi stać nieruchomo, a jeśli porusza się tam, gdzie jej nie ma, to nie może tam być. Tak więc nie może poruszać się w ogóle.
• Paradoks statku Tezeusza: Po śmierci Tezeusza jego statek został wystawiony na widok publiczny. Z czasem wszystkie deski zgniły w tym czy innym czasie i zostały zastąpione nowymi, pasującymi do nich deskami. Jeśli nic nie pozostało z rzeczywistego „oryginalnego” statku, to czy nadal był to statek Tezeusza?
• Paradoks Soritesa (sterta piasku): Jeśli usuniesz jedno ziarno piasku ze sterty, to nadal jest to sterta. Jeśli ziarna są usuwane pojedynczo, to czy nadal jest to sterta, gdy pozostaje tylko jedno ziarno? Jeśli nie, to kiedy zmieniła się z kupy w stertę?
• Paradoks Kruka Hempla: Jeśli wszystkie kruki są czarne, to w ścisłej równoważności logicznej wszystko, co nie jest czarne, nie jest krukiem. Tak więc każda obserwacja niebieskiego swetra lub czerwonego kubka potwierdza hipotezę, że wszystkie kruki są czarne.
• Paradoks Petroniusza” „Umiarkowanie we wszystkim, w tym umiarkowanie.”
• Paradoksalne zawiadomienie: „Proszę zignorować to zawiadomienie.”
• Paradoks liczb nudnych: Jeśli istnieje coś takiego jak liczba nudna, to możemy podzielić wszystkie liczby na dwa zbiory – interesujące i nudne. W zbiorze liczb nudnych będzie tylko jedna liczba, która jest najmniejsza. Ponieważ jest to najmniejsza liczba nudna, staje się ona, ipso facto, liczbą ciekawą. Musimy więc usunąć ją z nudnego zbioru i umieścić w drugim. Ale teraz będzie inny najmniejszy nieinteresujące liczby. Powtarzanie tego procesu uczyni każdą nudną liczbę interesującą.
• Paradoks ucznia Protagorasa: Prawnik zawarł umowę z jednym ze swoich uczniów, na mocy której uczeń miał zapłacić za jego naukę po wygraniu pierwszej sprawy. Po pewnym czasie prawnik zniecierpliwił się brakiem klientów ze strony ucznia i postanowił wytoczyć mu proces o należną kwotę. Logika prawnika była taka, że jeśli on, prawnik, wygra, to uczeń zapłaci mu zgodnie z wyrokiem sądu; jeśli uczeń wygra, to i tak będzie musiał dotrzymać umowy i zapłacić. Uczeń jednak argumentował, że jeśli on, uczeń, wygrał, to wyrokiem sądu nie musi płacić prawnikowi; a jeśli prawnik wygrał, to umowa nie weszła w życie i uczeń nie musi płacić prawnikowi.
• Paradoks Moore’a: „Będzie padać, ale nie wierzę, że będzie padać.”
• Kot Schrödingera: W zamkniętym pudełku znajduje się kot, a życie lub śmierć kota zależy od stanu pewnej cząstki subatomowej. Zgodnie z mechaniką kwantową, cząstka ta ma określony stan tylko w dokładnym momencie pomiaru kwantowego, tak więc kot pozostaje zarówno żywy, jak i martwy do momentu otwarcia pudełka.
• „Żółwie aż do samego dołu”: Opowieść o nieskończonym regresie, często przypisywana Bertrandowi Russellowi, ale prawdopodobnie pochodząca z wieków wcześniejszych, oparta na starym (być może indyjskim) micie kosmologicznym, że ziemia jest płaskim dyskiem podtrzymywanym przez gigantycznego słonia, który z kolei jest podtrzymywany przez gigantycznego żółwia. W tej opowieści, na pytanie, co w takim razie podtrzymuje żółwia, odpowiedź brzmiała „to żółwie aż do samego dołu”.

Trzy doktryny, które mogą być rozważane pod hasłem Logika to:

.