The Pythagorean Theorem: O Caminho da Verdade

Pitágoras (569-475 AC) é reconhecido como o primeiro matemático do mundo. Ele nasceu na ilha de Samos e foi pensado para estudar com Tales e Anaximandro (reconhecidos como os primeiros filósofos ocidentais). Pitágoras acreditava que os números não eram apenas o caminho para a verdade, mas para a própria verdade. Através da matemática, podia-se alcançar a harmonia e viver uma vida mais fácil. Diz-se que ele propôs uma série de teoremas matemáticos para este fim, mas, de todos estes, resta apenas o famoso Teorema de Pitágoras (Allen, 1966).

O historiador Robinson escreve, “A afirmação de que ‘Pitágoras trabalhou muito no lado aritmético da geometria’ é ainda confirmada pela tradição de que ele investigou o problema aritmético de encontrar triângulos tendo o quadrado de um lado igual à soma dos quadrados nos outros dois” e o fez, no início, utilizando pedras em filas para entender as verdades que ele estava tentando transmitir (1968). O Teorema de Pitágoras afirma que a² + b² = c². Isto é usado quando nos é dado um triângulo no qual só sabemos o comprimento de dois dos três lados. C é o lado mais longo do ângulo conhecido como hipotenusa. Se a é o ângulo adjacente então b é o lado oposto. Se b é o ângulo adjacente, então a é o lado oposto. Se a = 3, e b = 4, podemos então resolver para c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Este é um dos principais usos do Teorema de Pitágoras.

Existem muitas provas do Teorema de Pitágoras, sendo a mais conhecida a prova de Euclides do Livro I de seus Elementos.

Proposição: Em triângulos rectos o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas.
Euclides começou com uma configuração pitagórica e depois desenhou uma linha através de um diagrama ilustrando as igualdades das áreas. Ele concluiu que AB/AC = AC/HA, portanto (AC)² = (HA)(AB). Como AB=AJ, a área do retângulo HAJG corresponde à área do quadrado no lado AC. Da mesma forma, AB/BC = BC/BH também escrito como (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD) e desde AB=BD. Assim, vemos que a soma das áreas dos retângulos é a área do quadrado na hipotenusa. Nas palavras de Stephanie Morris, “Isto completa a prova” (Morris, 2011).

Outra prova, que é mais fácil de entender, começa com um retângulo dividido em três triângulos, todos com ângulos retos.
Triângulo BEA e triângulo BCE sobrepõem o triângulo ACD. Comparando triângulo BCE e triângulo ACD, e olhando para os seus lados correspondentes, vemos que AC/BC = AD/EC. Desde AD = BC, AC/AD = AD/EC. Através da multiplicação esta equação é renderizada (AD)² = (AC)(AE). A partir dos triângulos ABC e ABE, notando que AB = CD, comparando os ângulos retos destas duas figuras, renderizamos a equação AC/AB = CD/AE. A partir da forma original em retângulo, tivemos AB = CD também dado como AC/CD = CD/AE, que é escrito como um problema de multiplicação como (CD)² = (AC)(AE) e adicionando as equações que temos até agora, obtemos duas novas fórmulas que são (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC) (EC) e (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Como AC = AE + EC, obtemos (CD)² + (AD)² = (AC)². Como na prova anterior, isto mostra a validade do Teorema de Pitágoras (Morris, 2011).

No Teorema de Pitágoras, cada lado/ângulo é uma informação crítica que nos ajuda a determinar outros ângulos/ lados. Pitágoras acreditava em uma verdade objetiva que era o número. O Teorema de Pitágoras permite que as verdades sejam conhecidas através das equações matemáticas acima, o que significa que existe uma verdade objectiva, fora de qualquer opinião pessoal, que pode realmente ser provada; e isto, finalmente, é o que Pitágoras queria provar através do seu trabalho.