- Lärandemål
- Exempel 1. Beräkning av våglängder: Vilka är våglängderna för hörbara ljud?
- Strategi
- Lösning
- Diskussion
- Hållande av kopplingar: Ta hem undersökningen – röst som en ljudvåg
- Kontrollera din förståelse
- Del 1
- Lösning
- Del 2
- Lösning
- Avsnittssammanfattning
- Begreppsfrågor
- Problem &Övningar
- Glossar
- Utvalda lösningar på problem &Övningar
Lärandemål
I slutet av det här avsnittet kommer du att kunna:
- Definiera tonhöjd.
- Beskriv sambandet mellan ljudets hastighet, frekvens och våglängd.
- Beskriv effekterna på ljudets hastighet när det rör sig genom olika medier.
- Beskriv temperaturens effekter på ljudets hastighet.
Figur 1. När ett fyrverkeri exploderar uppfattas ljusenergin före ljudenergin. Ljudet färdas långsammare än vad ljuset gör. (kredit: Dominic Alves, Flickr)
Ljud, som alla vågor, färdas med en viss hastighet och har egenskaperna frekvens och våglängd. Du kan observera direkta bevis på ljudets hastighet när du tittar på ett fyrverkeri. Blixten från en explosion syns långt innan ljudet hörs, vilket innebär både att ljudet färdas med en bestämd hastighet och att det är mycket långsammare än ljuset. Man kan också direkt känna frekvensen hos ett ljud. Uppfattningen av frekvensen kallas tonhöjd. Ljudets våglängd uppfattas inte direkt, men indirekta bevis finns i korrelationen mellan musikinstrumentens storlek och deras tonhöjd. Små instrument, t.ex. en piccolo, ger vanligtvis höga ljud, medan stora instrument, t.ex. en tuba, vanligtvis ger låga ljud. Hög tonhöjd betyder liten våglängd, och storleken på ett musikinstrument är direkt relaterad till de våglängder av ljud som det producerar. Ett litet instrument skapar alltså ljud med kort våglängd. Liknande argument gäller för att ett stort instrument skapar ljud med lång våglängd.
Sambandet mellan ljudets hastighet, dess frekvens och våglängd är detsamma som för alla vågor: vw = fλ, där vw är ljudets hastighet, f är dess frekvens och λ är dess våglängd. Ljudets våglängd är avståndet mellan intilliggande identiska delar av en våg – till exempel mellan intilliggande kompressioner som illustreras i figur 2. Frekvensen är densamma som källans och är antalet vågor som passerar en punkt per tidsenhet.
Figur 2. En ljudvåg utgår från en källa som vibrerar med en frekvens f, fortplantar sig med Vw och har en våglängd λ.
Tabell 1 gör det tydligt att ljudets hastighet varierar kraftigt i olika medier. Ljudets hastighet i ett medium bestäms av en kombination av mediets styvhet (eller kompressibilitet i gaser) och dess densitet. Ju styvare (eller mindre komprimerbar) mediet är, desto snabbare är ljudets hastighet. Denna observation är analog med det faktum att frekvensen hos en enkel harmonisk rörelse är direkt proportionell mot styvheten hos det oscillerande objektet. Ju större densitet ett medium har, desto långsammare är ljudets hastighet. Denna observation är analog med det faktum att frekvensen för en enkel harmonisk rörelse är omvänt proportionell mot massan hos det oscillerande objektet. Ljudhastigheten i luft är låg eftersom luft är komprimerbar. Eftersom vätskor och fasta ämnen är relativt styva och mycket svåra att komprimera är ljudhastigheten i sådana medier i allmänhet högre än i gaser.
| Tabell 1. Ljudhastighet i olika medier | |
|---|---|
| Medium | vw(m/s) |
| Gaser vid 0ºC | |
| Luft | 331 |
| Koldioxid | 259 |
| Syre | 316 |
| Helium | 965 |
| Väte | 1290 |
| Vätskor vid 20ºC | |
| Ethanol | 1160 |
| Kvicksilver | 1450 |
| Vatten, sötvatten | 1480 |
| Mervatten | 1540 |
| Mänsklig vävnad | 1540 |
| Solider (longitudinella eller bulk) | |
| Vulkaniserat gummi | 54 |
| Polyeten | 920 |
| Marmor | 3810 |
| Glas, Pyrex | 5640 |
| Bly | 1960 |
| Aluminium | 5120 |
| Stål | 5960 |
Jordbävningar, i huvudsak ljudvågor i jordskorpan, är ett intressant exempel på hur ljudets hastighet beror på mediets styvhet. Jordbävningar har både longitudinella och transversella komponenter, och dessa färdas med olika hastigheter. Granitens bulkmodul är större än dess skjuvmodul. Därför är hastigheten för longitudinella eller tryckvågor (P-vågor) vid jordbävningar i granit betydligt högre än hastigheten för tvärgående eller skjuvvågor (S-vågor). Båda komponenterna i jordbävningar färdas långsammare i mindre styva material, t.ex. sediment. P-vågorna har en hastighet på 4-7 km/s och S-vågorna har en motsvarande hastighet på 2-5 km/s. Båda är snabbare i styvare material. P-vågorna kommer successivt längre fram än S-vågorna när de färdas genom jordskorpan. Tiden mellan P- och S-vågorna används rutinmässigt för att bestämma avståndet till deras källa, jordbävningens epicentrum.
Ljudets hastighet påverkas av temperaturen i ett visst medium. För luft på havsnivå ges ljudets hastighet av
v_{\text{w}}=\left(331\text{ m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{273\text{ K}}}\\\,
där temperaturen (betecknad som T ) är i enheter av kelvin. Ljudhastigheten i gaser är relaterad till medelhastigheten hos partiklarna i gasen, vrms, och att
v_{\text{rms}}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\\,
där k är Boltzmannkonstanten (1,38 × 10-23 J/K) och m är massan hos varje (identisk) partikel i gasen. Det är alltså rimligt att ljudets hastighet i luft och andra gaser bör bero på kvadratroten av temperaturen. Även om det inte är försumbart är detta inte ett starkt beroende. Vid 0ºC är ljudhastigheten 331 m/s, medan den vid 20,0ºC är 343 m/s, vilket är en ökning med mindre än 4 %. Figur 3 visar hur en fladdermus använder ljudets hastighet för att känna av avstånd. Ekon används också vid medicinsk avbildning.
Figur 3. En fladdermus använder ljudeffekter för att hitta sin väg och för att fånga byten. Tiden för ekot att återvända är direkt proportionell mot avståndet.
En av ljudets viktigare egenskaper är att dess hastighet är nästan oberoende av frekvensen. Detta oberoende gäller förvisso i utomhusluft för ljud i det hörbara området 20 till 20 000 Hz. Om detta oberoende inte vore sant skulle man säkert märka det för musik som spelas av en marschorkester på en fotbollsstadion, till exempel. Anta att högfrekventa ljud färdas snabbare – ju längre bort du befinner dig från bandet, desto mer skulle ljudet från de lågfrekventa instrumenten släpa efter ljudet från de högfrekventa instrumenten. Men musiken från alla instrument kommer i samma takt oberoende av avståndet, och därför måste alla frekvenser färdas med nästan samma hastighet. Minns att
vw = fλ.
I ett givet medium under fasta förhållanden är vw konstant, så att det finns ett samband mellan f och λ; ju högre frekvens, desto mindre våglängd. Se figur 4 och betrakta följande exempel.
Figur 4. Eftersom de färdas med samma hastighet i ett givet medium måste lågfrekventa ljud ha en större våglängd än högfrekventa ljud. Här avges de lågfrekventa ljuden av den stora högtalaren, kallad woofer, medan de högfrekventa ljuden avges av den lilla högtalaren, kallad diskant.
Exempel 1. Beräkning av våglängder: Vilka är våglängderna för hörbara ljud?
Beräkna våglängderna för ljud vid ytterligheterna av det hörbara området, 20 och 20 000 Hz, i 30,0ºC luft. (Anta att frekvensvärdena är exakta med två signifikanta siffror.)
Strategi
För att hitta våglängden utifrån frekvensen kan vi använda vw = fλ.
Lösning
1. Identifiera kända faktorer. Värdet för vw, ges av
v_{\text{w}}=\vänster(331\text{ m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{273\text{ K}}}\\\\.
2. Konvertera temperaturen till kelvin och ange sedan temperaturen i ekvationen
v_{\text{w}}=\left(331\text{ m/s}\right)\sqrt{\frac{303\text{ K}}{273\text{ K}}}=348.7\text{ m/s}\\\.
3. Lös förhållandet mellan hastighet och våglängd för λ:
\lambda=\frac{v_{\text{w}}}}{f}\\.
4. Ange hastigheten och den lägsta frekvensen för att ge den maximala våglängden:
\lambda_{\text{max}}=\frac{348.7\text{ m/s}}}{20\text{ Hz}}=17\text{ m}\\\.
5. Ange hastigheten och den maximala frekvensen för att få den minsta våglängden:
\lambda_{\text{min}}=\frac{348.7\text{ m/s}}{20,000\text{ Hz}}=0.017\text{ m}=1.7\text{ cm}\\\\.
Diskussion
Då produkten av f multiplicerat med λ är lika med en konstant, måste λ vara större ju mindre f är, och vice versa.
Ljudets hastighet kan förändras när ljudet färdas från ett medium till ett annat. Frekvensen förblir dock oftast densamma eftersom det är som en driven svängning och har den ursprungliga källans frekvens. Om vw förändras och f förblir densamma måste våglängden λ förändras. Det vill säga, eftersom vw = fλ, ju högre ljudets hastighet är, desto större är dess våglängd för en given frekvens.
Hållande av kopplingar: Ta hem undersökningen – röst som en ljudvåg
Häng ett pappersark så att den övre kanten av pappret är fast och den nedre kanten kan röra sig fritt. Du kan tejpa fast den övre kanten av pappret vid en bordskant. Blåsa försiktigt nära kanten på arkets undersida och notera hur arket rör sig. Tala först mjukt och sedan högre så att ljuden träffar kanten på papprets undersida, och notera hur arket rör sig. Förklara effekterna.
Kontrollera din förståelse
Del 1
Föreställ dig att du observerar hur två fyrverkerier exploderar. Du hör explosionen av den ena så snart du ser den. Du ser dock det andra fyrverkeriet i flera millisekunder innan du hör explosionen. Förklara varför det är så.
Lösning
Ljud och ljus färdas båda med bestämda hastigheter. Ljudets hastighet är långsammare än ljusets hastighet. Det första fyrverkeriet är förmodligen mycket nära, så hastighetsskillnaden är inte märkbar. Det andra fyrverkeriet är längre bort, så ljuset anländer till dina ögon märkbart tidigare än ljudvågen anländer till dina öron.
Del 2
Du observerar två musikinstrument som du inte kan identifiera. Det ena spelar höga toner och det andra spelar låga toner. Hur skulle du kunna avgöra vilket som är vilket utan att höra något av dem spela?
Lösning
Genomför deras storlekar. Instrument med hög tonhöjd är i allmänhet mindre än instrument med låg tonhöjd eftersom de genererar en mindre våglängd.
Avsnittssammanfattning
- Sambandet mellan ljudets hastighet vw, dess frekvens f och dess våglängd λ ges av vwfλ, vilket är samma förhållande som ges för alla vågor.
- I luft är ljudets hastighet relaterad till lufttemperaturen T genom v_{\text{w}}}=\left(\text{331}\text{m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{\text{273}\text{K}}}}\\\\. vw är densamma för alla frekvenser och våglängder.
Begreppsfrågor
- Hur skiljer sig ljudvibrationer hos atomer från termisk rörelse?
- När ljudet passerar från ett medium till ett annat där utbredningshastigheten är annorlunda, ändras då dess frekvens eller våglängd? Förklara ditt svar kortfattat.
Problem &Övningar
- När en operasopran blir petad av ett spjut låter en operasopran utlösa ett 1200 Hz skrik. Vilken är dess våglängd om ljudets hastighet är 345 m/s?
- Vilket frekvensljud har en våglängd på 0,10 m när ljudets hastighet är 340 m/s?
- Beräkna ljudets hastighet en dag då en 1500 Hz-frekvens har en våglängd på 0,221 m.
- (a) Vilken är ljudets hastighet i ett medium där en 100 kHz-frekvens ger en våglängd på 5,96 cm? (b) Vilket ämne i tabell 1 är detta sannolikt?
- Visa att ljudets hastighet i luft med 20,0ºC är 343 m/s, vilket påstås i texten.
- Lufttemperaturen i Saharas öken kan uppgå till 56,0ºC (ca 134ºF). Vad är ljudets hastighet i luft vid den temperaturen?
- Dolfiner gör ljud i luft och vatten. Vad är förhållandet mellan ljudets våglängd i luft och dess våglängd i havsvatten? Anta att lufttemperaturen är 20,0ºC.
- Ett sonareko återvänder till en ubåt 1,20 s efter att det har sänts ut. Vad är avståndet till det objekt som skapar ekot? (Anta att ubåten befinner sig i havet, inte i sötvatten.)
- (a) Om en ubåts sonar kan mäta ekotid med en noggrannhet på 0,0100 s, vad är då den minsta skillnaden i avstånd som den kan upptäcka? (Anta att ubåten befinner sig i havet, inte i sötvatten.) (b) Diskutera de begränsningar som denna tidsupplösning innebär för sonarsystemets förmåga att upptäcka storleken och formen på det föremål som skapar ekot.
- En fysiker vid ett fyrverkeri mäter fördröjningen mellan att se en explosion och höra dess ljud, och finner att den är 0,400 s. (a) Hur långt bort är explosionen om lufttemperaturen är \text{24,0\textordmasculine C} och om man bortser från den tid det tar för ljuset att nå fysikern? (b) Beräkna avståndet till explosionen med hänsyn till ljusets hastighet. Observera att detta avstånd är försumbart större.
- Antag att en fladdermus använder ljudeffekter för att lokalisera sitt insektsbyte, 3,00 m bort. (Se figur 3.) (a) Beräkna ekotiderna för temperaturer på 5,00ºC och 35,0ºC. (b) Vilken procentuell osäkerhet orsakar detta för fladdermusen när det gäller att lokalisera insekten? (c) Diskutera betydelsen av denna osäkerhet och om den kan orsaka svårigheter för fladdermusen. (I praktiken fortsätter fladdermusen att använda ljudet när den närmar sig, vilket eliminerar de flesta svårigheter som orsakas av detta och andra effekter, t.ex. bytesdjurets rörelse.)
Glossar
pitch: uppfattningen av frekvensen hos ett ljud
Utvalda lösningar på problem &Övningar
1. 0,288 m
3. 332 m/s
5. \begin{array}{lll}{v}_{\text{w}}& =& \vänster(\text{331 m/s}\right)\sqrt{\frac{T}{\text{273 K}}}=\vänster(\text{331 m/s}\right)\sqrt{\frac{\text{293 K}}{\text{273 K}}}\\\ & =& \text{343 m/s}\end{array}\\\
7. 0.223
9. (a) 7,70 m. (b) Detta innebär att sonar är bra för att upptäcka och lokalisera stora objekt, men den kan inte lösa upp mindre objekt eller upptäcka objektens detaljerade former. Objekt som fartyg eller stora delar av flygplan kan hittas med sonar, medan mindre delar måste hittas på annat sätt.
11. (a) 18,0 ms, 17,1 ms; (b) 5,00 %; (c) Denna osäkerhet skulle definitivt kunna orsaka svårigheter för fladdermusen om den inte fortsatte att använda ljud när den närmade sig sitt byte. En osäkerhet på 5 % kan vara skillnaden mellan att fånga bytet runt halsen eller runt bröstet, vilket innebär att den kan missa att gripa sitt byte.