15.2: Movimiento armónico simple

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Ecuaciones de SHM

Consideremos un bloque unido a un muelle sobre una mesa sin fricción (Figura \(\PageIndex{3}\). La posición de equilibrio (la posición en la que el muelle no está ni estirado ni comprimido) está marcada como x = 0 . En la posición de equilibrio, la fuerza neta es cero.

Figura \N(\PageIndex{3}\N): Un bloque está unido a un muelle y se coloca sobre una mesa sin fricción. La posición de equilibrio, en la que el muelle no está ni extendido ni comprimido, se marca como x = 0.

Se trabaja sobre el bloque para sacarlo hasta una posición de x = + A, y luego se libera del reposo. La posición x máxima (A) se llama amplitud del movimiento. El bloque comienza a oscilar en SHM entre x = + A y x = -A, donde A es la amplitud del movimiento y T es el período de la oscilación. El periodo es el tiempo de una oscilación. La figura \(\PageIndex{4}\a) muestra el movimiento del bloque mientras completa una oscilación y media después de la liberación.

Figura \a(\PageIndex{4}\a): Un bloque se sujeta a un extremo de un muelle y se coloca sobre una mesa sin fricción. El otro extremo del muelle está anclado a la pared. La posición de equilibrio, donde la fuerza neta es igual a cero, se marca como x = 0 m. Se realiza un trabajo sobre el bloque, tirando de él hasta x = + A, y el bloque se libera del reposo. El bloque oscila entre x = + A y x = -A. La fuerza también se muestra como un vector.

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La ecuación para la posición en función del tiempo \(x(t) = A\cos( \omega t)\️) es buena para modelar datos, donde la posición del bloque en el tiempo inicial t = 0,00 s está en la amplitud A y la velocidad inicial es cero. A menudo, cuando se toman datos experimentales, la posición de la masa en el tiempo inicial t = 0,00 s no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero. Considere 10 segundos de datos recogidos por un estudiante en el laboratorio, que se muestra en la Figura \ (\PageIndex{6}\).

Figura \ (\PageIndex{6}\): Los datos recogidos por un estudiante en el laboratorio indican la posición de un bloque unido a un muelle, medida con un telémetro sónico. Los datos se recogen a partir del tiempo t = 0,00s, pero la posición inicial está cerca de la posición x ≈ – 0,80 cm ≠ 3,00 cm, por lo que la posición inicial no es igual a la amplitud x0 = + A. La velocidad es la derivada temporal de la posición, que es la pendiente en un punto de la gráfica de la posición frente al tiempo. La velocidad no es v = 0,00 m / s en el momento t = 0,00 s, como es evidente por la pendiente de la gráfica de la posición en función del tiempo, que no es cero en el momento inicial.

Los datos de la Figura \(\PageIndex{6}\} todavía puede ser modelado con una función periódica, como una función coseno, pero la función se desplaza a la derecha. Este desplazamiento se conoce como desplazamiento de fase y se suele representar con la letra griega phi (\(\phi\)). La ecuación de la posición en función del tiempo para un bloque sobre un muelle se convierte en

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Esta es la ecuación generalizada para SHM donde t es el tiempo medido en segundos, \(\omega\) es la frecuencia angular con unidades de segundos inversos, A es la amplitud medida en metros o centímetros, y \(\phi\) es el desplazamiento de fase medido en radianes (Figura \(\PageIndex{7}\)). Cabe señalar que debido a que las funciones seno y coseno difieren sólo por un desplazamiento de fase, este movimiento podría ser modelado utilizando la función coseno o seno.

La velocidad de la masa sobre un muelle, oscilando en SHM, se puede encontrar tomando la derivada de la ecuación de posición:

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Debido a que la función seno oscila entre -1 y +1, la velocidad máxima es la amplitud por la frecuencia angular, vmax = A\(\omega\). La velocidad máxima se produce en la posición de equilibrio (x = 0) cuando la masa se desplaza hacia x = + A. La velocidad máxima en sentido negativo se alcanza en la posición de equilibrio (x = 0) cuando la masa se desplaza hacia x = -A y es igual a -vmax.

La aceleración de la masa sobre el muelle puede hallarse tomando la derivada temporal de la velocidad:

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