Při pozorování dalekohledem nebo přednáškách na astronomická témata hovořím s celou řadou lidí. Jednou z nejčastějších otázek, které dostávám, je „jak se pozná……?“. Může to být „jak víme, jak velký je Saturn“ nebo „jak víme, jak daleko je Slunce.“ Všechny tyto otázky poukazují na zásadní pokrok vědy v posledních několika staletích a na některé z nejprůlomovějších objevů, které učinili lidé jako Newton a Halley z dlouhého seznamu průkopníků vědy. Napadlo mě, že se trochu ponořím do otázky, jak známe hmotnost Saturnu.
V dnešní době máme výhodu několika rovnic pro výpočet této hodnoty, ale představte si, jaké to muselo být pro první astronomy v 16. a 17. století, kteří teprve získali výhodu používání dalekohledů a začínali skládat dohromady hádanky vesmíru, počínaje naší vlastní sluneční soustavou.
Zjištění oběžné doby Saturnu
Podívejme se na tento problém postupně, nejprve musíme vědět, jak dlouho trvá, než Saturn udělá jednu otočku kolem Slunce. To se jednoduše zjistí pomocí dlouhodobých pozorování a je to jedna z klíčových informací pro pochopení toho, kam planeta ve sluneční soustavě patří. V případě Saturnu stačí pozorovateli sledovat jeho dráhu přes hvězdné pozadí na ekliptice až do doby, kdy po 29 letech udělá jeden celý oběh.
Protože Země každý rok Saturn dožene a mine, planeta udělá trochu retrográdní dráhu a zdá se, že se každý rok na krátkou dobu vydá na západ, takže dráha přes ekliptiku není hladká. Kromě malého retrográdního pohybu planeta každý rok pomalu pochoduje přes ekliptiku na východ. Pečlivé pozorování Saturnu by tedy dalo údaj 29,44 pozemského roku, za který planeta udělá jeden oběh kolem Slunce. Můžete si to změřit sami, jen musíte být velmi trpěliví.
Když pozorovatelé věděli, že Slunce je středem Sluneční soustavy, mohli poměrně snadno vypočítat oběžné doby planet. Kepler na počátku 16. století vypracoval tři zákony pohybu planet, které se používaly k určení, jak daleko jsou planety od Slunce.
Třetí Keplerův zákon pohybu planet
Třetí Keplerův zákon pohybu planet říká, že čtverec dráhy planety se rovná krychli její poloosy, takže jakmile byl tento vztah objeven, mohl Kepler vypočítat relativní vzdálenost planet od Slunce. K výpočtu Saturnovy poloosy potřebujeme pouze oběžnou dobu, kterou jsme již získali pečlivým pozorováním za posledních 29 a kousek roku.
Ve výše uvedeném výpočtu je 9,534 sáhů vlastně míra zvaná astronomické jednotky. Jedna astronomická jednotka je vzdálenost Země od Slunce. Pokud je tedy oběžná doba Země jeden rok, pak se její čtverec musí rovnat jedné a také se musí rovnat krychli poloosy. Polohmotná osa je jedna astronomická jednotka a krychle jedné se rovná jedné, takže vše je v termínech oběžná doba Země a vzdálenost Země od Slunce, proto odpověď pro Saturn musí být také v termínech vzdálenost Země od Slunce.
Astronomická jednotka
V roce 1700 vědci neznali vzdálenost Země od Slunce a trvalo poměrně dlouho a pečlivě pozorovali přechod Venuše v letech 1761 a 1769, než nakonec zjistili, že tato vzdálenost je asi 150 000 000 km. Jakmile se jim to podařilo, věděli, že Saturn musí být od Slunce vzdálen 1 427 000 000 000 km. Tento údaj a vzdálenost Země od Slunce a znalost toho, kde se Země a Saturn vůči sobě nacházejí, nám umožní určit vzdálenost Země od Saturnu. Tento údaj je důležitý pro přepočet naměřených úhlových vzdáleností na absolutní vzdálenosti v metrech.
Titan
Pro zjištění hmotnosti Saturnu musíme najít Saturnův měsíc, který můžeme změřit. Nejjasnější z nich je Titan s hvězdnou velikostí přibližně +9,3, takže s rozumným dalekohledem lze provést poměrně přesná měření jeho oběžné doby a poloosy.
Při několikaměsíčním sledování Titanu dalekohledem můžeme s rozumnou přesností určit jeho oběžnou dobu 15,95 dne. Keplerův třetí zákon nemůžeme použít k určení poloosy Titanu, protože ta závisí na hmotnosti Saturnu – ta je zcela jiná než hmotnost Slunce, předstírejme, že konstantu pro Saturnovu soustavu neznáme. Dobrou zprávou je, že poloosu můžeme změřit.
Dalekohledy mohou provádět velmi přesná úhlová měření, takže s trochou trigonometrie můžeme vypočítat poloosu Titanu na přibližně 1 200 000 km. Víme to, protože jsme již vypočítali vzdálenost Slunce od Saturnu a známe vzdálenost Země od Slunce a víme, kde se obě planety na svých drahách vůči sobě nacházejí.
Čas na výpočet
Pro výpočet hmotnosti Saturnu je třeba ještě trochu zapracovat na třetím Keplerově zákonu o pohybu planet, takže naštěstí přišel Newton, který přišel na to, že existuje vztah mezi hmotností a rychlostí, jakou něco obíhá, čím je planeta těžší, tím silnější je přitažlivost na jeden z jejích měsíců, a tudíž tím rychleji bude tento měsíc obíhat. Pokud tedy změříte oběžnou dobu některého Saturnova měsíce a určíte poloosu tohoto měsíce, můžete s trochou matematiky vypočítat hmotnost Saturnu.
Tento vzorec vypadá na první pohled trochu děsivě, ale ve skutečnosti je velmi podobný Keplerovu třetímu zákonu, až na to, že Newton před krychli poloměrné osy (a³) nacpal spoustu věcí navíc. Pokud se tedy budeme zabývat jen tím, co je před a³ a nad přímkou, zjistíme, že je to čtyřnásobek čtverce pí, což je stále stejná hodnota, přibližně 39,44.
Ještě trochu zjednodušíme vzorec
Ten kousek pod přímkou je trochu náročnější. Za prvé „G“ je gravitační konstanta, jejíž určení trvalo dlouho, ale nyní víme, že je to 0,0000000000667 m³/kgs². Dvě „M“ představují hmotnost Saturnu a hmotnost Titanu. Lze je redukovat na jedno „M“, protože můžeme říci, že hmotnost Titanu je ve srovnání s hmotností Saturnu tak nepatrná, že by to na výpočtu téměř nic nezměnilo. Hmotnost Saturnu plus hmotnost Titanu se velmi blíží právě hmotnosti Saturnu, takže hmotnost Titanu můžeme ve výpočtu fakticky ignorovat. Vzorec tedy zní:
Musíme jen udělat trochu algebry, aby se vše rovnalo M, protože to je hodnota, kterou chceme najít.
Víme tedy, že „a“ je 1 200 000 km, ale potřebujeme to v metrech, což je 1 200 000 000 metrů. Víme, že „p“ je 15,95 dne, ale potřebujeme to v sekundách, což je 1 378 080 sekund. Už víme, že konstanta pro G je 0,0000000000667 m³/kgs².
Pokud všechna tato čísla dosadíme do výše uvedeného vzorce, měli bychom dostat hmotnost Saturnu v kilogramech. Pokud tato čísla dosadíte do kalkulačky, dostanete 5,38 x 10²⁶kg, což je docela blízko skutečnému číslu 5,68 x 10²⁶kg (asi 95krát větší hmotnost než Země).
Pokud jste použili údaje pro Iapetus, pak je číslo větší a činí 5,87 x10²⁶kg a pro Phoebe je číslo mnohem blíže 5.
Pokud jste použili údaje pro Iapetus, pak je číslo větší.6 x 10²⁶kg, i když k měření Phoebe budete potřebovat velmi výkonný dalekohled, protože její hvězdná velikost je 17,3, takže je velmi slabá.
Tady to máte, jak vypočítat hmotnost Saturnu, k čemuž stačí dalekohled, hodně jasných nocí, kalkulačka a několik velmi šikovných vzorců, které vymysleli Kepler a Newton. Navíc jste potřebovali všechnu tu dobrou práci spousty vědců a astronomů, kteří přišli na astronomickou jednotku a gravitační konstantu. Úžasné je, že tohle všechno můžete udělat z povrchu Země.
Tak a teď jděte a spočítejte hmotnost Jupiteru!