Parlo con una vasta gamma di persone quando faccio sessioni di osservazione con telescopio o conferenze su argomenti legati all’astronomia. Una delle domande più comuni che ricevo è “come facciamo a sapere……?”. Potrebbe essere “come facciamo a sapere quanto è grande Saturno”, o “come facciamo a sapere quanto è lontano il Sole”, tutte queste domande evidenziano il progresso fondamentale della scienza negli ultimi secoli e alcune delle scoperte più innovative fatte da personaggi come Newton e Halley tra una lunga lista di pionieri della scienza. Ho pensato di approfondire un po’ la questione di come conosciamo la massa di Saturno.
Oggi abbiamo il beneficio di alcune equazioni per calcolare il valore, ma immaginate come doveva essere per i primi astronomi del 1600 e 1700 che avevano appena ottenuto il beneficio di usare i telescopi e stavano iniziando a mettere insieme i puzzle dell’universo, a partire dal nostro sistema solare.
Finding Saturn’s Orbital Period
Per prima cosa dobbiamo sapere quanto tempo impiega Saturno a compiere una rotazione del Sole. Questo si fa semplicemente attraverso osservazioni su un lungo periodo di tempo ed è una delle informazioni chiave per capire dove un pianeta si inserisce nel sistema solare. Per Saturno, un osservatore deve solo guardare Saturno tracciare attraverso le stelle di sfondo sull’eclittica fino a 29 anni dopo, quando ha fatto un giro completo.
Perché la Terra raggiunge e passa Saturno ogni anno, il pianeta fa un po’ di retrogradazione e sembra andare a ovest per un breve periodo ogni anno, quindi il percorso attraverso l’eclittica non è regolare. A parte il piccolo movimento retrogrado, ogni anno il pianeta marcia lentamente attraverso l’eclittica verso est. Quindi un’attenta osservazione di Saturno darebbe una cifra di 29,44 anni terrestri perché il pianeta faccia un giro intorno al Sole. Potete misurarlo voi stessi, dovrete solo essere molto pazienti.
Una volta che gli osservatori sapevano che il Sole era il centro del sistema solare, potevano calcolare con relativa facilità i periodi orbitali dei pianeti. Keplero elaborò le tre leggi del moto planetario all’inizio del 1600 e furono usate per calcolare la distanza dei pianeti dal Sole.
La terza legge del moto planetario di Keplero
La terza legge del moto planetario di Keplero afferma che il quadrato dell’orbita di un pianeta è uguale al cubo del suo semiasse maggiore, quindi una volta scoperta questa relazione, Keplero poté calcolare la distanza relativa dei pianeti dal Sole. Per calcolare il semiasse maggiore di Saturno, tutto ciò di cui abbiamo bisogno è il periodo orbitale che abbiamo già ottenuto attraverso un’attenta osservazione negli ultimi 29 anni e poco più.
Nel calcolo di cui sopra il 9,534 qualcosa è in realtà una misura chiamata unità astronomica. Un’unità astronomica è la distanza della Terra dal Sole. Quindi, se il periodo orbitale della Terra è un anno, allora il quadrato di questo deve essere uguale a uno e anche uguale al cubo del semiasse maggiore. Il semiasse maggiore è un’unità astronomica e il cubo di uno è uguale a uno, quindi tutto è in termini di periodo orbitale della Terra e di distanza della Terra dal Sole, quindi anche la risposta per Saturno deve essere in termini di distanza della Terra dal Sole.
L’unità astronomica
Nel 1700, gli scienziati non conoscevano la distanza tra la Terra e il Sole e ci volle un bel po’ di lavoro e osservazioni meticolose del transito di Venere nel 1761 e 1769 per capire che la distanza era circa 150.000.000 km. Una volta fatto questo, sapevano che Saturno doveva essere a 1.427.000.000.000 km dal Sole. Questa cifra e la distanza dalla Terra al Sole e sapendo dove la Terra e Saturno sono relativi l’uno all’altro possono permetterci di determinare la distanza dalla Terra a Saturno. Questa cifra è importante per trasformare le distanze angolari misurate in distanze assolute in metri.
Titano
Per ottenere la massa di Saturno dobbiamo trovare una luna di Saturno di cui possiamo prendere le misure. Il più luminoso è Titano a circa una magnitudine di +9,3, quindi con un telescopio ragionevole, alcune misure abbastanza accurate possono essere fatte del suo periodo orbitale e del suo semiasse maggiore.
Osservando Titano attraverso un telescopio per un paio di mesi possiamo determinare che ha un periodo orbitale di 15,95 giorni con un ragionevole grado di precisione. Non possiamo usare la terza legge di Keplero per trovare il semiasse maggiore di Titano perché questo dipende dalla massa di Saturno – che è molto diversa da quella del Sole, facciamo finta di non conoscere la costante per il sistema di Saturno. La buona notizia è che possiamo misurare il semiasse maggiore.
I telescopi possono prendere misure angolari molto fini quindi con un po’ di trigonometria possiamo calcolare che il semiasse maggiore di Titano sia circa 1.200.000 km. Lo sappiamo perché abbiamo già calcolato la distanza dal Sole a Saturno e conosciamo la distanza dalla Terra al Sole e sappiamo dove si trovano i due pianeti uno rispetto all’altro nelle loro rispettive orbite.
Tempo di calcolo
Per calcolare la massa di Saturno bisogna lavorare ancora un po’ sulla terza legge del moto planetario di Keplero, quindi per fortuna è arrivato Newton che ha capito che c’è una relazione tra la massa e la velocità con cui qualcosa orbita, più pesante è il pianeta più forte è l’attrazione su una delle sue lune e quindi più veloce orbiterà quella luna. Quindi, se si misura il periodo orbitale di una luna di Saturno e si calcola il semiasse maggiore di quella luna, con un po’ di matematica si può calcolare la massa di Saturno.
Questa formula sembra un po’ spaventosa all’inizio ma in realtà è molto simile alla terza legge di Keplero, solo che Newton ha messo un sacco di roba extra davanti al cubo del semiasse maggiore (a³). Quindi, se ci occupiamo solo della roba davanti ad a³ e sopra la linea, vediamo che è quattro volte il quadrato di pi greco, che è sempre lo stesso valore di circa 39,44.
Rendere la formula un po’ più semplice
La parte sotto la linea è un po’ più impegnativa. In primo luogo la “G” è la costante gravitazionale che ha richiesto molto tempo per capirlo, ma ora sappiamo che è 0,0000000000667 m³/kgs². Le due “M” rappresentano la massa di Saturno e la massa di Titano. Queste possono essere ridotte a una “M”, perché possiamo dire che la massa di Titano è così piccola rispetto alla massa di Saturno che difficilmente farebbe la differenza nel calcolo. La massa di Saturno più la massa di Titano è molto vicina alla sola massa di Saturno, quindi possiamo effettivamente ignorare la massa di Titano nel calcolo. Quindi la formula diventa:
Dobbiamo solo fare un po’ di algebra per rendere tutto uguale a M, perché questo è il valore che vogliamo trovare.
Quindi sappiamo che “a” è 1.200.000 km ma ci serve in metri che è 1.200.000.000 metri. Sappiamo che “p” è 15,95 giorni, ma ci serve in secondi che è 1.378.080 secondi. Sappiamo già che la costante di G è 0,0000000000667 m³/kgs².
Se inseriamo tutti questi numeri nella formula precedente dovremmo ottenere la massa di Saturno in chilogrammi. Se inserisci questi numeri in una calcolatrice otterrai 5,38 x 10²⁶kg che è abbastanza vicino alla cifra reale di 5,68 x 10²⁶kg (circa 95 volte più massa della Terra).
Se hai usato i dati per Iapeto allora la cifra è più grande a 5,87 x10²⁶kg e per Phoebe la cifra è un molto più vicino 5.6 x 10²⁶kg, anche se avrete bisogno di un telescopio molto potente per prendere le misure di Febe dato che la sua magnitudine è 17,3 quindi molto fioca.
Ecco come calcolare la massa di Saturno, tutto ciò di cui avete bisogno è un telescopio, molte notti chiare, una calcolatrice e alcune formule molto utili elaborate da Keplero e Newton. In più avevi bisogno di tutto il buon lavoro di molti scienziati e astronomi che hanno scoperto l’unità astronomica e la costante gravitazionale. La cosa incredibile è che puoi fare tutto questo dalla superficie della Terra.
Ok, ora vai a calcolare la massa di Giove!