Jag pratar med en mängd olika människor när jag gör teleskopvisningssessioner eller föredrag om astronomirelaterade ämnen. En av de vanligaste frågorna jag får är ”hur vet vi……?”. Det kan vara ”hur vet vi hur stor Saturnus är” eller ”hur vet vi hur långt bort solen är”. Alla dessa frågor belyser vetenskapens grundläggande framsteg under de senaste århundradena och några av de mest banbrytande upptäckter som gjorts av sådana som Newton och Halley bland en lång rad pionjärer inom vetenskapen. Jag tänkte att jag skulle fördjupa mig lite i frågan om hur vi känner till Saturnus massa.
I dessa dagar kan vi med hjälp av några ekvationer beräkna värdet, men föreställ er hur det måste ha varit för de tidiga astronomerna på 1600- och 1700-talen, som precis hade fått tillgång till teleskop och som började sätta ihop universums pussel, med början i vårt eget solsystem.
Finnande av Saturnus omloppstid
Låt oss titta på det här problemet ett steg i taget, först måste vi veta hur lång tid det tar för Saturnus att göra ett varv runt solen. Detta görs helt enkelt genom observationer under en lång tidsperiod och det är en av de viktigaste uppgifterna för att förstå var en planet passar in i solsystemet. När det gäller Saturnus behöver en observatör bara se hur Saturnus spårar genom bakgrundsstjärnorna på ekliptikan fram till 29 år senare när den har gjort ett helt varv.
Då jorden hinner ikapp och passerar Saturnus varje år gör planeten lite retrograd och tycks gå västerut under en kortare tid varje år så banan genom ekliptikan är inte jämn. Bortsett från den lilla retrograda rörelsen marscherar planeten varje år långsamt över ekliptikan österut. En noggrann observation av Saturnus skulle ge en siffra på 29,44 jordår för planeten att göra ett varv runt solen. Du kan mäta det själv, du måste bara ha mycket tålamod.
När observatörerna visste att solen var solsystemets centrum kunde de relativt enkelt beräkna planeternas omloppstid. Kepler utarbetade de tre lagarna för planetrörelse i början av 1600-talet och de användes för att räkna ut hur långt bort planeterna befann sig från solen.
Keplers tredje lag för planetrörelse
Keplers tredje lag för planetrörelse säger att kvadraten på en planets omloppsbana är lika med kuben på dess halva huvudaxel, så när detta förhållande väl hade upptäckts kunde Kepler räkna ut det relativa avståndet mellan planeterna och solen. För att beräkna Saturnus halva huvudaxel är allt vi behöver omloppsperioden som vi redan har fått genom noggranna observationer under de senaste 29 och lite år.
I ovanstående beräkning är 9,534 somethings faktiskt ett mått som kallas astronomiska enheter. En astronomisk enhet är avståndet från jorden till solen. Så om jordens omloppstid är ett år måste kvadraten på detta vara lika med ett och även lika med kuben av den halva huvudaxeln. Den halva huvudaxeln är en astronomisk enhet och kuben av ett är lika med ett, så allt är i termer av jordens omloppstid och jordens avstånd från solen, varför svaret för Saturnus också måste vara i termer av jordens avstånd från solen.
Den astronomiska enheten
Under 1700-talet visste vetenskapsmännen inte avståndet från jorden till solen och det krävdes en hel del arbete och noggranna observationer av Venuspassagen 1761 och 1769 för att till slut komma fram till att avståndet var cirka 150 000 000 km. När de väl hade gjort det visste de att Saturnus måste befinna sig 1 427 000 000 000 000 000 km från solen. Med hjälp av denna siffra och avståndet från jorden till solen och genom att veta var jorden och Saturnus befinner sig i förhållande till varandra kan vi bestämma avståndet från jorden till Saturnus. Denna siffra är viktig för att omvandla uppmätta vinkelavstånd till absoluta avstånd i meter.
Titan
För att få fram Saturnus massa måste vi hitta en måne till Saturnus som vi kan mäta. Den ljusaste är Titan med en magnitud på ungefär +9,3 så med ett rimligt teleskop kan några ganska exakta mätningar göras av dess omloppstid och halva huvudaxel.
Om vi observerar Titan genom ett teleskop under ett par månader kan vi med rimlig noggrannhet fastställa att den har en omloppstid på 15,95 dagar. Vi kan inte använda Keplers tredje lag för att hitta Titans halva huvudaxel eftersom den beror på Saturnus massa – som är helt annorlunda än solens, låt oss låtsas att vi inte känner till konstanten för Saturnsystemet. Den goda nyheten är att vi kan mäta den halva huvudaxeln.
Teleskop kan göra mycket fina vinkelmätningar så med lite trigonometri kan vi beräkna att Titans halva huvudaxel är ungefär 1 200 000 km. Vi vet detta eftersom vi redan har beräknat avståndet från solen till Saturnus och vi vet avståndet från jorden till solen och vi vet var de båda planeterna befinner sig i förhållande till varandra i sina respektive banor.
Tid att beräkna
För att beräkna Saturnus massa måste man arbeta lite mer med Keplers tredje lag om planetrörelse, så som tur var kom Newton och kom på att det fanns ett samband mellan massa och hastigheten med vilken något kretsar runt, ju tyngre planeten är desto starkare blir attraktionen på en av dess månar och desto snabbare kommer den månen att kretsa runt. Så om man mäter omloppstiden för en av Saturnus månar och räknar ut den månens halva huvudaxel så kan man med lite matematik beräkna Saturnus massa.
Den formeln ser lite skrämmande ut vid första anblicken, men den är faktiskt mycket lik Keplers tredje lag, med undantag för att Newton stoppade in en massa extra saker framför kuben för halvstoraxeln (a³). Så om vi bara tar itu med det som ligger framför a³ och ovanför linjen ser vi att det är fyra gånger kvadraten på pi, vilket alltid är samma värde på ungefär 39,44.
För att göra formeln lite enklare
Biten under linjen är lite mer utmanande. Först är ”G” gravitationskonstanten som det tog lång tid att räkna ut men vi vet nu att den är 0,00000000000000667 m³/kgs². De två ”M” står för Saturnus massa och Titans massa. Dessa kan reduceras till ett ”M”, eftersom vi kan säga att Titans massa är så liten jämfört med Saturnus massa att den knappast skulle göra någon skillnad i beräkningen. Saturnus massa plus Titans massa är mycket nära Saturnus massa, så vi kan i praktiken bortse från Titans massa i beräkningen. Så formeln blir:
Vi behöver bara göra lite algebra för att få allt att bli lika med M, eftersom det är det värdet vi vill hitta.
Så vi vet att ”a” är 1 200 000 km, men vi behöver det i meter vilket är 1 200 000 000 000 meter. Vi vet att ”p” är 15,95 dagar, men vi behöver det i sekunder vilket är 1 378 080 sekunder. Vi vet redan att konstanten för G är 0,00000000000000667 m³/kgs².
Om vi sätter in alla dessa siffror i formeln ovan bör vi få Saturnus massa i kilogram. Om du sätter in dessa siffror i en miniräknare får du 5,38 x 10²⁶kg vilket är ganska nära den verkliga siffran 5,68 x 10²⁶kg (ungefär 95 gånger mer massa än jorden).
Om du använde data för Iapetus är siffran större på 5,87 x 10²⁶kg och för Phoebe är siffran mycket närmare 5.6 x 10²⁶kg, även om du behöver ett mycket kraftfullt teleskop för att göra mätningar av Phoebe med tanke på att dess magnitud är 17,3, så den är mycket svag.
Där har du det, hur du beräknar Saturnus massa, allt du behöver är ett teleskop, många klara nätter, en miniräknare och några mycket praktiska formler som Kepler och Newton har räknat ut. Dessutom behövde du allt det goda arbete som massor av vetenskapsmän och astronomer gjort för att komma fram till den astronomiska enheten och gravitationskonstanten. Det fantastiska är att du kan göra allt detta från jordens yta.
Okej, gå nu och beräkna Jupiters massa!