Logika

Logika (z řeckého „logos“, které má řadu významů včetně slova, myšlenky, ideje, argumentu, výkladu, důvodu nebo principu) je nauka o uvažování neboli nauka o principech a kritériích platného vyvozování a dokazování. Snaží se odlišit dobré uvažování od špatného.

Aristoteles definoval logiku jako „nové a nutné uvažování“, „nové“ proto, že nám umožňuje poznat to, co neznáme, a „nutné“ proto, že její závěry jsou nevyhnutelné. Klade si otázky jako „Co je správná argumentace?“, „Čím se liší dobrý argument od špatného?“, „Jak můžeme odhalit chybu v argumentaci?“

Logika zkoumá a klasifikuje strukturu výroků a argumentů, a to jak prostřednictvím studia formálních systémů odvozování, tak prostřednictvím studia argumentů v přirozeném jazyce. Zabývá se pouze propozicemi (deklarativními větami, které se používají k tvrzení, na rozdíl od otázek, příkazů nebo vět vyjadřujících přání), které mohou být pravdivé a nepravdivé. Nezabývá se psychologickými procesy spojenými s myšlením, emocemi, představami apod. Zahrnuje základní témata, jako je studium klamů a paradoxů, jakož i specializovanou analýzu uvažování s využitím pravděpodobnosti a argumentů zahrnujících kauzalitu a teorii argumentace.

Logické systémy by měly mít tři vlastnosti: konzistenci (což znamená, že žádná z tezí systému si navzájem neodporuje); solidnost (což znamená, že pravidla důkazu systému nikdy neumožní nepravdivé vyvození z pravdivé premisy); a úplnost (což znamená, že v systému neexistují pravdivé věty, které by alespoň v principu nemohly být v systému dokázány).

Ve starověké Indii obsahuje „Nasadíja sukta“ z Rig Védy různá logická dělení, která byla později formálně přepracována jako čtyři kruhy katuskoti: „A“, „ne A“, „A a ne A“ a „ne A a ne A“. Njájská škola indické filozofické spekulace vychází z textů známých jako „Njájské sútry“ Aksapády Gautamy z doby kolem 2. století př. n. l. a její metodologie vyvozování je založena na systému logiky (zahrnujícím kombinaci indukce a dedukce postupem od konkrétního ke konkrétnímu přes obecnost), který následně převzala většina ostatních indických škol.

Moderní logika však pochází především ze starořecké tradice. Platón i Aristoteles pojímali logiku jako nauku o argumentaci a ze zájmu o správnost argumentace. Aristoteles vytvořil šest děl o logice, známých pod souhrnným názvem „Organon“, přičemž první z nich, „Předchozí analytika“, je prvním explicitním dílem z oblasti formální logiky.

Aristoteles zastával dva principy, které mají v logice velký význam, a to zákon vyloučeného středu (že každý výrok je buď pravdivý, nebo nepravdivý) a zákon nepopiratelnosti (matoucí, známý také jako zákon rozporu, že žádný výrok není zároveň pravdivý i nepravdivý). Snad nejvíce se proslavil zavedením sylogismu (neboli termínu logika) (viz níže oddíl o deduktivní logice). Jeho následovníci, známí jako peripatetikové, jeho dílo o logice dále zdokonalili.

Ve středověku se Aristotelova logika (neboli dialektika) studovala spolu s gramatikou a rétorikou jako jeden ze tří hlavních okruhů trivia, základu středověkého vzdělání v oblasti svobodných umění.

Logika v islámské filozofii také přispěla k rozvoji moderní logiky, zejména k rozvoji avicenovské logiky (která se zasloužila o zavedení hypotetického sylogismu, temporální logiky, modální logiky a induktivní logiky) jako alternativy k aristotelské logice.

V 18. století Immanuel Kant tvrdil, že logika by měla být pojímána jako věda o úsudcích, takže platné závěry logiky vyplývají ze strukturálních rysů úsudků, ačkoli stále tvrdil, že Aristoteles řekl o logice jako disciplíně v podstatě vše, co bylo třeba říci.

Ve 20. století však práce Gottloba Fregeho, Alfreda Northa Whiteheada a Bertranda Russella o symbolické logice postavily Kantovo tvrzení na hlavu. Tato nová logika, vyložená v jejich společném díle „Principia Mathematica“, má mnohem širší záběr než aristotelská logika, a dokonce v sobě obsahuje klasickou logiku, i když jako menší část. Podobá se matematickému kalkulu a zabývá se vzájemnými vztahy symbolů.

Logiku obecně lze rozdělit na formální logiku, neformální logiku a symbolickou logiku a matematickou logiku:

• Formální logika:
  Formální logika je to, co považujeme za tradiční logiku nebo filozofickou logiku, totiž nauka o odvozování s čistě formálním a explicitním obsahem (tj.tj. lze jej vyjádřit jako konkrétní aplikaci zcela abstraktního pravidla), jako jsou pravidla formální logiky, která k nám přišla od Aristotela. (Viz níže oddíl o deduktivní logice).
  Formální systém (nazývaný také logický kalkul) slouží k odvození jednoho výrazu (závěru) z jednoho nebo více jiných výrazů (premis). Těmito premisami mohou být axiomy (samozřejmé tvrzení, které se považuje za samozřejmé) nebo věty (odvozené pomocí pevně stanoveného souboru pravidel odvozování a axiomů, bez dalších předpokladů).
  Formalismus je filozofická teorie, podle níž formální výroky (logické nebo matematické) nemají žádný vlastní význam, ale jejich symboly (které jsou považovány za fyzikální entity) vykazují formu, která má užitečné aplikace.
• Neformální logika:
  Neformální logika je novější disciplína, která studuje argumenty v přirozeném jazyce a pokouší se vyvinout logiku pro hodnocení, analýzu a zdokonalení argumentace v běžném jazyce (neboli „každodenní“). Přirozeným jazykem se zde rozumí jazyk, který je mluvený, psaný nebo podepsaný lidmi pro komunikaci pro obecné účely, na rozdíl od formálních jazyků (jako jsou jazyky pro počítačové programování) nebo konstruovaných jazyků (jako je esperanto).
  Zaměřuje se na uvažování a argumentaci, s nimiž se setkáváme v osobní výměně názorů, reklamě, politických debatách, právních sporech a společenských komentářích, které jsou charakteristické pro noviny, televizi, internet a další formy masmédií.
• Symbolická logika:
  Symbolická logika je studium symbolických abstrakcí, které zachycují formální rysy logického odvozování. Zabývá se vzájemnými vztahy symbolů, často s využitím složitého matematického kalkulu, ve snaze řešit neřešitelné problémy, které tradiční formální logika není schopna řešit.
  Často se dělí na dvě dílčí větve:
  • Predikátová logika: systém, v němž formule obsahují kvantifikovatelné proměnné. (Viz oddíl o predikátové logice níže).
  • Výroková logika (nebo výroková logika): systém, v němž lze formule reprezentující propozice tvořit spojováním atomických propozic pomocí logických spojek a systém formálních důkazových pravidel umožňuje stanovit určité formule jako věty. (Viz níže oddíl o výrokové logice).
• Matematická logika:
  Jak aplikace technik formální logiky na matematiku a matematické uvažování, tak naopak aplikace matematických technik na reprezentaci a analýzu formální logiky.
  První použití matematiky a geometrie ve vztahu k logice a filozofii sahá až ke starým Řekům, jako byli Euklides, Platón a Aristoteles.
  Počítačová věda vznikla jako disciplína ve 40. letech 20. století díky práci Alana Turinga (1912-1954) o Entscheidungsproblem, která navazovala na teorie Kurta Gödela (1906-1978), zejména na jeho věty o neúplnosti. V 50. a 60. letech 20. století vědci předpovídali, že až bude možné vyjádřit lidské znalosti pomocí logiky s matematickým zápisem, bude možné vytvořit stroj, který uvažuje (neboli umělou inteligenci), ačkoli se ukázalo, že to bude obtížnější, než se očekávalo, vzhledem ke složitosti lidského uvažování.K naukám souvisejícím s matematikou patří:
  • Logicismus: pravděpodobně nejodvážnější pokus o aplikaci logiky na matematiku, jehož průkopníky byli filosofové-logikové jako Gottlob Frege a Bertrand Russell, zejména aplikace matematiky na logiku v podobě teorie důkazů, teorie modelů, teorie množin a teorie rekurze.
  • Intuicionismus: doktrína, podle níž logika a matematika nespočívá v analytických činnostech, v nichž se odhalují a uplatňují hluboké vlastnosti existence, ale pouze v aplikaci vnitřně konzistentních metod k realizaci složitějších myšlenkových konstrukcí.

Deduktivní uvažování se týká toho, co nutně vyplývá z daných premis (tj. z obecné premisy k určité). Odvození je deduktivně platné tehdy (a pouze tehdy), když neexistuje žádná možná situace, v níž by všechny premisy byly pravdivé a závěr nepravdivý. Je však třeba mít na paměti, že nepravdivá premisa může případně vést k nepravdivému závěru.

Deduktivní usuzování rozvíjeli Aristoteles, Thalés, Pythagoras a další řečtí filozofové klasického období. Jádrem deduktivního usuzování je sylogismus (známý také jako term logika),obvykle připisovaný Aristotelovi), kde se jedna věta (závěr) odvozuje ze dvou jiných (premis), z nichž každá má jeden společný termín se závěrem. Například:

Hlavní premisa: Všichni lidé jsou smrtelní.
Minorní premisa: Sokrates je člověk.
Závěr:

Příklad dedukce:

Všechna jablka jsou ovoce.
Všechno ovoce roste na stromech.
Takže všechna jablka rostou na stromech.

Někdo může popřít výchozí premisy, a proto popře závěr. Ale každý, kdo přijme premisy, musí přijmout závěr. Někteří akademici dnes tvrdí, že Aristotelův systém má pouze historickou hodnotu, neboť zastaral s nástupem predikátové a výrokové logiky (viz části níže).

Induktivní uvažování je proces odvozování spolehlivého zobecnění z pozorování (tj. od konkrétního k obecnému), takže se předpokládá, že premisy argumentu podporují závěr, ale nutně jej nezajišťují. Induktivní logika se nezabývá platností nebo přesvědčivostí, ale správností těch závěrů, pro které důkazy nejsou přesvědčivé.

Mnoho filozofů, včetně Davida Huma, Karla Poppera a Davida Millera, zpochybňovalo nebo popíralo logickou přípustnost induktivního uvažování. Zejména Hume tvrdil, že k tomu, abychom dospěli k premisám pro princip induktivního uvažování, je zapotřebí induktivního uvažování, a proto je zdůvodnění induktivního uvažování argumentem v kruhu.

Příkladem silné indukce (argumentu, v němž by pravdivost premis učinila pravdivost závěru pravděpodobnou, ale ne definitivní) je:

Všechny pozorované vrány jsou černé.

Takže:

Všechny vrány jsou černé.

Příkladem slabé indukce (argumentu, v němž je vazba mezi premisou a závěrem slabá a závěr není ani nutně pravděpodobný) je:

Obrazy vždy věším na hřebíky.

Takže:

Všechny obrazy visí na hřebících.

Modální logika je každý systém formální logiky, který se snaží pracovat s modalitami (výrazy spojenými s pojmy možnosti, pravděpodobnosti a nutnosti). Modální logika se tedy zabývá výrazy jako „případně“, „dříve“, „možná“, „může“, „mohl“, „mohl“, „může“, „musí“ atd.

Modality jsou způsoby, jakými mohou být propozice pravdivé nebo nepravdivé. Mezi typy modalit patří:

• Aletické modality: Patří sem možnost a nutnost, stejně jako nemožnost a kontingence. Některé propozice jsou nemožné (nutně nepravdivé), zatímco jiné jsou kontingentní (jak možná pravdivé, tak možná nepravdivé).
• Temporální modality: Historická a budoucí pravdivost či nepravdivost. Některé propozice byly pravdivé/nepravdivé v minulosti a jiné budou pravdivé/nepravdivé v budoucnosti.
• Deontické modality: Povinnost a přípustnost. Některé propozice by měly být pravdivé/nepravdivé, zatímco jiné jsou přípustné.
• Epistemické modality: Poznání a přesvědčení. O některých propozicích se ví, že jsou pravdivé/nepravdivé, a o jiných se věří, že jsou pravdivé/nepravdivé.

Ačkoli se Aristotelova logika zabývá téměř výhradně kategorickými sylogismy, do jisté míry předjímá modální logiku a její spojení s potencialitou a časem. Moderní modální logiku založil Gottlob Frege, i když zpočátku pochyboval o její životaschopnosti, a teprve později ji rozvinuli Rudolph Carnap (1891 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1978), C. I. Lewis (1883 – 1964) a poté Saul Kripke (1940 – ), který vytvořil Systém K, formu modální logiky, kterou dnes používá většina vědců).

Propoziční logika (neboli výroková logika) se zabývá pouze výrokovými spojkami a logickými operátory (jako jsou „a“, „nebo“, „ne“, „jestliže …. pak …“, „protože“ a „nutně“), na rozdíl od predikátové logiky (viz níže), která se zabývá také vnitřní strukturou atomických propozic.

Propoziční logika tedy studuje způsoby spojování a/nebo modifikace celých propozic, výroků nebo vět do složitějších propozic, výroků nebo vět a také logické vztahy a vlastnosti, které z těchto způsobů spojování nebo změny výroků vyplývají. Ve výrokové logice se nejjednodušší výroky považují za nedělitelné jednotky.

Stoičtí filozofové se koncem 3. století př. n. l. pokoušeli studovat takové výrokové operátory, jako jsou „a“, „nebo“ a „jestliže …, pak …“, a Chrysippos (asi 280-205 př. n. l.) rozvinul určitý druh výrokové logiky tím, že vyznačil řadu různých způsobů tvoření složitých premis pro argumenty. Tento systém studovali i středověcí logikové, ačkoli výroková logika se skutečně prosadila až v polovině 19. století s příchodem symbolické logiky v dílech logiků, jako byli Augustus DeMorgan (1806-1871), George Boole (1815-1864) a Gottlob Frege.

Predikátová logika umožňuje analyzovat věty na subjekt a argument několika různými způsoby, na rozdíl od aristotelské sylogistické logiky, kde formy, které příslušná část zapojených úsudků měla, musely být specifikovány a omezeny (viz výše oddíl o deduktivní logice). Predikátová logika je také schopna podat dostatečně obecný popis kvantifikátorů pro vyjádření všech argumentů vyskytujících se v přirozeném jazyce, což umožňuje vyřešit problém vícenásobné obecnosti, který mátl středověké logiky.

Například je intuitivně jasné, že jestliže:

Nějaké kočky se bojí každá myš

, pak z toho logicky vyplývá, že:

Všechny myši se bojí alespoň jedné kočky

ale protože výše uvedené věty obsahují každá dva kvantifikátory („některé“ a „každá“ v první větě a „všechny“ a „alespoň jedna“ ve druhé větě), nelze je adekvátně reprezentovat v tradiční logice.

Predikátová logika byla vytvořena jako forma matematiky a jako taková je schopna všech druhů matematických úvah, které přesahují možnosti termické nebo sylogistické logiky. V logice prvního řádu (známé také jako predikátový kalkul prvního řádu) se predikát může vztahovat pouze k jednomu předmětu, ale predikátová logika se může zabývat také logikou druhého řádu, logikou vyššího řádu, logikou mnoha tříd nebo nekonečnou logikou. Je také schopna mnoha zdravých závěrů, které termínové logice unikají, a (spolu s výrokovou logikou – viz níže) ve většině filozofických kruhů téměř vytlačila tradiční termínovou logiku.

Predikátová logika byla původně vyvinuta Gottlobem Fregem a Charlesem Peircem na konci 19. století, ale plného naplnění dosáhla v logickém atomismu Whiteheada a Russella ve 20. století (rozvinutém z dřívější práce Ludwiga Wittgensteina).

Logický omyl je jakákoli chyba v uvažování nebo odvozování, v podstatě cokoli, co způsobuje, že argument je špatný. Existují dvě hlavní kategorie omylů, omyly dvojznačnosti a kontextové omyly:

• Omyly dvojznačnosti: výraz je dvojznačný, pokud má více než jeden význam. Existují dva hlavní typy:
  • equivocation: kdy jedno slovo může být použito ve dvou různých významech.
  • amphiboly: kdy dvojznačnost vzniká spíše kvůli struktuře věty (často kvůli visícím příčestím nebo nepřesnému použití záporu) než kvůli významu jednotlivých slov.
• Contextual Fallacies: které závisí na kontextu nebo okolnostech, za nichž jsou věty použity. Existuje mnoho různých typů, z nichž mezi nejčastější patří:
  • Fallacies of Significance: případy, kdy není jasné, zda je tvrzení významné, či nikoli.
  • Fallacies of Emphasis: nesprávné zdůraznění slov ve větě.
  • Fallacies of Quoting Out of Context: manipulace s kontextem citátu.
  • Fallacies of Argumentum ad Hominem: nelze prokázat, že tvrzení je nepravdivé jen proto, že lze prokázat závadný charakter jedince, který je pronáší.
  • Chyby argumentace z autority: pravdivost nebo nepravdivost nelze dokázat jen proto, že osoba, která to říká, je považována za „autoritu“ v daném oboru.
  • Chyby argumentace, která se odvolává na city: informování o tom, co si lidé o něčem myslí, s cílem přesvědčit, nikoli dokázat.
  • Chyby argumentu z neznalosti: tvrzení nelze dokázat jako pravdivé jen proto, že neexistují důkazy, které by ho vyvrátily.
  • Chyby vybízení k otázce: argument v kruhu, kdy je fakticky stejné tvrzení použito jako premisa i jako závěr.
  • Fallacies of Composition: předpoklad, že co platí o části, platí i o celku.
  • Fallacies of Division: opačný předpoklad, že co platí o celku, musí platit i o všech jeho částech.
  • Fallacies of Irrelevant Conclusion: případ, kdy se závěr týká něčeho jiného, než co se argument původně snažil dokázat.
  • Fallacies of Non-Sequitur: argumentační skok, kdy závěr nutně nevyplývá z premis.
  • Fallacies of Statistics: statistiku lze zmanipulovat a zkreslit tak, aby „dokazovala“ mnoho různých hypotéz.

Toto jsou jen některé z nejčastěji se vyskytujících typů, stránka Internetové encyklopedie filosofie o Fallacies jich uvádí 176!

Paradox je tvrzení nebo věta, která si zdánlivě protiřečí nebo odporuje zdravému rozumu, a přesto je možná ve skutečnosti pravdivá. A naopak, paradoxem může být výrok, který je ve skutečnosti v rozporu sám se sebou (a tedy nepravdivý), i když se zdá být pravdivý. Obvykle buď dotyčné výroky ve skutečnosti neimplikují rozpor, záhadný výsledek není ve skutečnosti rozporem, nebo samotné premisy nejsou všechny skutečně pravdivé nebo nemohou být pravdivé všechny dohromady.

Rozpoznání nejasností, dvojsmyslů a nevyřčených předpokladů, které jsou základem známých paradoxů, vedlo k významnému pokroku ve vědě, filozofii a matematice. Mnohé paradoxy (např. Curryho paradox) však dosud nemají všeobecně přijímaná řešení.

Lze tvrdit, že existují čtyři třídy paradoxů:

• Veridické paradoxy: které vedou k výsledku, který se zdá být absurdní, ale lze prokázat, že je přesto pravdivý.
• Falsidické paradoxy: které produkují výsledek, který se nejen zdá nepravdivý, ale ve skutečnosti nepravdivý je.
• Antinomie: které nejsou ani veridické, ani falsidické, ale při správném použití přijatých způsobů uvažování produkují sobě odporující výsledek.
• Dialetheie: které produkují výsledek, který je pravdivý i nepravdivý zároveň a ve stejném smyslu.

Paradoxy často vznikají v důsledku autoreference (kdy věta nebo formule odkazuje přímo sama na sebe), nekonečnosti (argument, který vytváří nekonečný regres neboli nekonečnou řadu podpůrných odkazů), kruhových definic (kdy se propozice, která má být dokázána, implicitně nebo explicitně předpokládá v jedné z premis), vágnost (kdy není jasné, zda pojem platí, či nikoli), nepravdivá nebo zavádějící tvrzení (tvrzení, která jsou buď záměrně, nebo nevědomě nepravdivá nebo zavádějící) a polopravdy (klamavá tvrzení, která obsahují určitý prvek pravdy).

K některým známým paradoxům patří:

• Epimenidův paradox lháře: Epimenidés byl Kréťan, který řekl: „Všichni Kréťané jsou lháři“. Máme mu věřit?“
• Lhářský paradox (2):
• Lhářský paradox (3): „Tato věta je nepravdivá“: „Další věta je nepravdivá. Předchozí věta je pravdivá.“
• Curryho paradox: „Je-li tato věta pravdivá, pak Santa Claus existuje.“
• Quinův paradox: „dává nepravdu, když předchází její citace“ dává nepravdu, když předchází její citace.
• Russellův holičský paradox: Jestliže holič holí všechny a jen ty muže ve vesnici, kteří se sami neholí, holí sám sebe?“
• Dědečkův paradox: Předpokládejme, že se cestovatel časem vrátí do minulosti a zabije svého dědečka, když byl ten ještě dítě. Pokud jeho dědeček zemře v dětství, pak se cestovatel v čase nemůže narodit. Pokud se však cestovatel v čase nikdy nenarodí, jak mohl vůbec cestovat zpět v čase?“
• Zenonův dichotomický paradox: Než pohybující se předmět urazí určitou vzdálenost (např. člověk přejde místnost), musí se dostat do poloviny cesty. Než se dostane do poloviny cesty, musí urazit čtvrtinu cesty. Než urazí čtvrtinu, musí urazit osminu, před osminou šestnáctinu a tak dále. Protože tato posloupnost trvá donekonečna, musí být překonán nekonečný počet bodů, což je v konečném čase logicky nemožné, takže vzdálenost nebude nikdy překonána (místnost překonána atd.).
• Zenonův paradox o Achillovi a želvě: Jestliže Achilles umožní želvě v závodě náskok, pak v době, kdy Achilles dorazí k želvímu výchozímu bodu, želva již uběhla kratší vzdálenost. Než Achilles dorazí k tomuto druhému bodu, želva už zase běží dál atd. atd. Achilles tedy želvu nikdy nedohoní.
• Paradox Zenonova šípu: Je-li šíp vystřelen z luku, pak v každém časovém okamžiku je šíp buď tam, kde je, nebo tam, kde není. Pokud se pohybuje tam, kde je, pak musí stát na místě, a pokud se pohybuje tam, kde není, pak tam být nemůže. Nemůže se tedy vůbec pohybovat.
• Paradox Theseovy lodi: Po Theseově smrti byla jeho loď vystavena na odiv. Časem všechna prkna tak či onak shnila a byla nahrazena novými odpovídajícími prkny. Když ze skutečné „původní“ lodi nic nezbylo, byla to ještě Theseova loď?“
• Paradox Sorites (Hromada písku): Když z hromady písku odeberete jedno zrnko, je to stále hromada. Pokud se zrnka odebírají jednotlivě, je to stále hromada, když zůstane jen jedno zrnko? Pokud ne, kdy se změnila z hromady na ne-hromadu?“
• Hempelův havraní paradox: Jestliže jsou všichni havrani černí, pak z hlediska přísné logické ekvivalence vše, co není černé, není havran. Každé spatření modrého svetru nebo červeného hrnku tedy potvrzuje hypotézu, že všichni havrani jsou černí.
• Petroniův paradox“ „Umírněnost ve všem, včetně umírněnosti.“
• Paradoxní poznámka: „Prosím, ignorujte toto oznámení.“
• Paradox nudných čísel: Pokud existuje něco jako nudné číslo, pak můžeme všechna čísla rozdělit na dvě množiny – zajímavá a nudná. V množině nudných čísel bude jen jedno číslo, které je nejmenší. Protože je to nejmenší nudné číslo, stává se ipso facto zajímavým číslem. Musíme jej tedy z nudné množiny vyjmout a zařadit do druhé. Nyní však bude existovat další nejmenší nezajímavé číslo. Opakováním tohoto postupu se jakékoli nudné číslo stane zajímavým.
• Paradox Protagorova žáka: Jistý právník uzavřel s jedním ze svých žáků dohodu, podle níž měl žák zaplatit za jeho výuku poté, co vyhraje svůj první případ. Po nějaké době začal být právník netrpělivý, že žák nemá klienty, a rozhodl se ho o dlužnou částku zažalovat. Advokátova logika byla taková, že pokud on, advokát, vyhraje, žák mu zaplatí podle rozhodnutí soudu; pokud žák vyhraje, pak bude muset dohodu dodržet a zaplatit tak jako tak. Žák však argumentoval tím, že pokud on, žák, vyhraje, pak podle rozsudku soudu nemusí advokátovi platit; a pokud advokát vyhraje, pak dohoda nevstoupí v platnost a žák nemusí advokátovi platit.
• Moorův paradox: „Bude pršet, ale já nevěřím, že bude.“
• Schrödingerova kočka: V uzavřené krabici je kočka a její život nebo smrt závisí na stavu určité subatomární částice. Podle kvantové mechaniky má tato částice určitý stav pouze v přesném okamžiku kvantového měření, takže kočka zůstává živá i mrtvá až do okamžiku otevření krabice.
• „Želvy až na dno“: Příběh o nekonečném regresu, často připisovaný Bertrandu Russellovi, ale pravděpodobně pocházející z dřívějších staletí, založený na starém (pravděpodobně indickém) kosmologickém mýtu, že Země je plochý disk podepřený obřím slonem, který je zase podepřen obří želvou. V příběhu se na otázku, co pak želvu podpírá, odpovídalo: „je to želva až na dno“.

Tři nauky, které lze považovat za součást logiky:

.