Proč se učit o fraktálech?
Fraktály jsou všude! Pokud mi nevěříte, stačí se podívat za okno. Od tvarů stromů a keřů přes členité profily hor až po nepravidelné pobřeží – zdá se, že mnoho rysů našeho přírodního světa je modelováno fraktální geometrií.
Ale co přesně je fraktál? Jak se dozvíte v tomto modulu, fraktál je objekt, který na každé úrovni vykazuje soběpodobnost. To znamená, že při přiblížení jedné části se podobá celému obrázku. Tato soběpodobnost nemusí být přesná; ve skutečnosti mnoho fraktálů vykazuje určitou variabilitu nebo náhodnost. Níže je video ilustrující, jak Mandelbrotova množina, dobře známý fraktál, vykazuje soběpodobnost.
Ačkoli některé fraktály (jako Mandelbrotova množina) by mohly být považovány za umělecká díla, skutečná krása fraktálů spočívá v tom, jak mohou takové složité vzory a obrazce vzniknout z velmi elementárních generujících vzorců nebo pravidel.
V tomto modulu se naučíte vytvářet fraktální obrazce, jako je Mandelbrotova množina, pomocí jednoduchého vzorce, například:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Je samozřejmě třeba ještě vysvětlit mnoho podrobností, například vztah mezi fraktály a komplexními čísly. Hodnoty c, z_n a z_{n+1} ve výše uvedeném vzorci mají být komplexní čísla, to znamená čísla, která obsahují imaginární jednotku i = \sqrt{-1}.
Imaginární číslo i je něco úplně jiného než jakékoli číslo, které jste kdy viděli. Ve skutečnosti se i na číselné řadě vůbec nevyskytuje! Místo toho, jak brzy zjistíte, žije imaginární jednotka na vlastní samostatné číselné přímce, nazývané imaginární osa, která je kolmá na obvyklou číselnou přímku (neboli reálnou osu).
Sama Mandelbrotova množina se skládá z komplexních čísel, která splňují určité pravidlo související s jednoduchou rovnicí. Výsledný obrázek je úžasný a s přiblížením je stále více fascinující!
Mandelbrotova množina v komplexní rovině.
.