De ce să învățăm despre fractali?
Fractalii sunt peste tot! Dacă nu mă credeți, aruncați o privire în afara ferestrei dumneavoastră. De la formele copacilor și arbuștilor la profilurile zimțate ale munților și până la liniile de coastă neregulate, multe caracteristici ale lumii noastre naturale par a fi modelate de geometria fractală.
Dar ce este mai exact un fractal? După cum veți învăța în acest modul, un fractal este un obiect care prezintă autosimilaritate la fiecare nivel. Adică, atunci când măriți o secțiune, aceasta seamănă cu întreaga imagine. Această autosimilaritate nu trebuie să fie exactă; de fapt, multe fractale prezintă o anumită variație sau aleatorism. Mai jos este un videoclip care ilustrează modul în care setul Mandelbrot, un fractal bine cunoscut, prezintă autosimilaritate.
În timp ce unele fractale (cum ar fi setul Mandelbrot) ar putea trece drept opere de artă, adevărata frumusețe a fractalilor constă în modul în care desene și modele atât de complexe pot rezulta din formule sau reguli generatoare foarte elementare.
În acest modul, veți învăța cum să creați modele fractale, cum ar fi setul Mandelbrot, folosind o formulă simplă, cum ar fi:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Desigur că există multe detalii care trebuie încă explicate, cum ar fi relația dintre fractali și numerele complexe. Valorile lui c, z_n și z_{n+1} din formula de mai sus se presupune că sunt numere complexe, adică numere care includ unitatea imaginară, i = \sqrt{-1}.
Numărul imaginar i este ceva complet diferit de orice număr pe care l-ați văzut vreodată. De fapt, i nu apare deloc pe linia numerelor! În schimb, după cum veți descoperi în curând, unitatea imaginară trăiește pe propria sa linie numerică separată, numită axa imaginară, care este perpendiculară pe linia numerică obișnuită (sau axa reală).
Setul Mandelbrot însuși este alcătuit din numerele complexe care satisfac o anumită regulă legată de o ecuație simplă. Imaginea rezultată este uimitoare și devine din ce în ce mai fascinantă pe măsură ce măriți imaginea!
Un set Mandelbrot în planul complex.