Hvorfor lære om fraktaler?
Fraktaler er overalt! Hvis du ikke tror mig, kan du bare kigge uden for dit vindue. Fra træernes og buskenes former til bjergenes takkede profiler og de uregelmæssige kystlinjer – mange træk i vores naturlige verden synes at være modelleret af fraktalgeometri.
Men hvad er en fraktal egentlig? Som du vil lære i dette modul, er en fraktal et objekt, der udviser selvlignende lighed på alle niveauer. Det vil sige, at når du zoomer ind på et udsnit, ligner det hele billedet. Denne selvligning behøver ikke nødvendigvis at være nøjagtig; faktisk viser mange fraktaler en vis variation eller tilfældighed. Nedenfor er der en video, der illustrerer, hvordan Mandelbrot-mængden, en velkendt fraktal, viser selvligning.
Selv om nogle fraktaler (som Mandelbrot-mængden) kunne gå for at være kunstværker, ligger den sande skønhed ved fraktaler i, hvordan så indviklede designs og mønstre kan opstå ud fra meget elementære genereringsformler eller -regler.
I dette modul lærer du at skabe fraktalmønstre som Mandelbrot-sættet ved hjælp af en simpel formel som:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Der er naturligvis mange detaljer, som stadig skal forklares, f.eks. forholdet mellem fraktaler og komplekse tal. Værdierne for c, z_n og z_{n+1} i ovenstående formel skal være komplekse tal, dvs. tal, der indeholder den imaginære enhed, i = \sqrt{-1}.
Det imaginære tal i er noget helt andet end noget tal, du nogensinde har set. Faktisk dukker i slet ikke op på tallinjen! I stedet, som du snart vil opdage, lever den imaginære enhed på sin egen separate tallinje, kaldet den imaginære akse, som er vinkelret på den sædvanlige tallinje (eller reelle akse).
Mandelbrotmængden selv består af de komplekse tal, der opfylder en bestemt regel i forbindelse med en simpel ligning. Det resulterende billede er fantastisk og bliver mere og mere fascinerende, efterhånden som man zoomer ind!
En Mandelbrotmængde i det komplekse plan.