Der Satz des Pythagoras: Der Weg der Wahrheit

Pythagoras (569-475 v. Chr.) gilt als der erste Mathematiker der Welt. Er wurde auf der Insel Samos geboren und soll bei Thales und Anaximander (die als die ersten westlichen Philosophen gelten) studiert haben. Pythagoras glaubte, dass Zahlen nicht nur der Weg zur Wahrheit sind, sondern die Wahrheit selbst. Durch Mathematik könne man Harmonie erreichen und ein leichteres Leben führen. Er soll zu diesem Zweck eine Reihe von mathematischen Theoremen vorgeschlagen haben, von denen jedoch nur der berühmte Satz des Pythagoras übrig geblieben ist (Allen, 1966).

Der Historiker Robinson schreibt: „Die Aussage, dass `Pythagoras sehr hart an der arithmetischen Seite der Geometrie gearbeitet hat‘, wird auch durch die Überlieferung bestätigt, dass er das arithmetische Problem untersuchte, Dreiecke zu finden, bei denen das Quadrat auf einer Seite gleich der Summe der Quadrate auf den beiden anderen Seiten ist“, und dies schon früh tat, indem er Steine in Reihen aufstellte, um die Wahrheiten zu verstehen, die er zu vermitteln versuchte (1968). Der Satz des Pythagoras besagt, dass a² + b² = c² ist. Er wird verwendet, wenn wir ein Dreieck erhalten, von dem wir nur die Länge von zwei der drei Seiten kennen. C ist die längste Seite des Winkels, der als Hypotenuse bezeichnet wird. Wenn a der angrenzende Winkel ist, ist b die gegenüberliegende Seite. Wenn b der angrenzende Winkel ist, dann ist a die gegenüberliegende Seite. Wenn a = 3 und b = 4 ist, dann kann man c bestimmen. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Dies ist eine der wichtigsten Anwendungen des Satzes des Pythagoras.

Es gibt viele Beweise des Satzes des Pythagoras, der bekannteste ist der Beweis von Euklid aus Buch I seiner Elemente.

Vorstellung: In rechtwinkligen Dreiecken ist das Quadrat auf der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate auf den Schenkeln.
Euklid ging von einer pythagoreischen Konfiguration aus und zeichnete dann eine Linie durch ein Diagramm, das die Gleichheit der Flächen veranschaulichte. Er schloss daraus, dass AB/AC = AC/HA, also (AC)² = (HA)(AB). Da AB=AJ ist, entspricht die Fläche des Rechtecks HAJG der Fläche des Quadrats auf der Seite AC. Ähnlich verhält es sich mit AB/BC = BC/BH, auch geschrieben als (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD) und da AB=BD. Daraus ergibt sich, dass die Summe der Flächen der beiden Rechtecke die Fläche des Quadrats auf der Hypotenuse ist. In den Worten von Stephanie Morris: „Damit ist der Beweis vollständig“ (Morris, 2011).

Ein anderer Beweis, der leichter zu verstehen ist, beginnt mit einem Rechteck, das in drei rechtwinklige Dreiecke unterteilt ist.
Dreieck BEA und Dreieck BCE überlappen Dreieck ACD. Vergleicht man Dreieck BCE und Dreieck ACD und betrachtet die entsprechenden Seiten, so stellt man fest, dass AC/BC = AD/EC ist. Da AD = BC ist, ist AC/AD = AD/EC. Durch Multiplikation wird diese Gleichung zu (AD)² = (AC)(AE). Ausgehend von den Dreiecken ABC und ABE und der Feststellung, dass AB = CD ist, ergibt der Vergleich der rechten Winkel dieser beiden Figuren die Gleichung AC/AB = CD/AE. Ausgehend von der ursprünglichen Rechteckform hatten wir AB = CD auch als AC/CD = CD/AE gegeben, was als Multiplikationsproblem als (CD)² = (AC)(AE) geschrieben wird, und durch Addition der bisherigen Gleichungen erhalten wir zwei neue Formeln, nämlich (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC) (EC) und (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Da AC = AE + EC, erhalten wir (CD)² + (AD)² = (AC)². Wie der frühere Beweis zeigt dies die Gültigkeit des Satzes von Pythagoras (Morris, 2011).

Im Satz von Pythagoras ist jede Seite/jeder Winkel eine wichtige Information, die uns hilft, andere Winkel/Seiten zu bestimmen. Pythagoras glaubte an eine objektive Wahrheit, die die Zahl war. Der Satz des Pythagoras ermöglicht es, Wahrheiten durch die obigen mathematischen Gleichungen zu erkennen, was bedeutet, dass es eine objektive Wahrheit gibt, die außerhalb jeder persönlichen Meinung liegt und tatsächlich bewiesen werden kann; und das ist es schließlich, was Pythagoras durch seine Arbeit beweisen wollte.