Logik

Logik (vom griechischen „logos“, das eine Vielzahl von Bedeutungen hat, darunter Wort, Gedanke, Idee, Argument, Darstellung, Grund oder Prinzip) ist die Lehre vom logischen Denken oder die Lehre von den Prinzipien und Kriterien für gültige Schlussfolgerungen und Beweise. Sie versucht, gutes von schlechtem Denken zu unterscheiden.

Aristoteles definierte die Logik als „neues und notwendiges Denken“, „neu“, weil sie uns erlaubt zu lernen, was wir nicht wissen, und „notwendig“, weil ihre Schlussfolgerungen unausweichlich sind. Sie stellt Fragen wie „Was ist richtiges Argumentieren?“, „Was unterscheidet ein gutes Argument von einem schlechten?“, „Wie können wir einen Irrtum in der Argumentation erkennen?“

Die Logik untersucht und klassifiziert die Struktur von Aussagen und Argumenten, sowohl durch das Studium formaler Folgerungssysteme als auch durch das Studium von Argumenten in natürlicher Sprache. Sie befasst sich nur mit Propositionen (deklarative Sätze, die dazu dienen, eine Behauptung aufzustellen, im Gegensatz zu Fragen, Befehlen oder Sätzen, die Wünsche ausdrücken), die wahr und falsch sein können. Sie befasst sich nicht mit den psychologischen Prozessen, die mit dem Denken verbunden sind, oder mit Emotionen, Bildern und dergleichen. Sie umfasst Kernthemen wie die Untersuchung von Irrtümern und Paradoxien sowie eine spezielle Analyse des Argumentierens mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und von Argumenten, die Kausalität und Argumentationstheorie beinhalten.

Logische Systeme sollten drei Dinge aufweisen: Konsistenz (was bedeutet, dass keiner der Sätze des Systems einander widerspricht); Solidität (was bedeutet, dass die Beweisregeln des Systems niemals eine falsche Schlussfolgerung aus einer wahren Prämisse zulassen); und Vollständigkeit (was bedeutet, dass es keine wahren Sätze im System gibt, die nicht, zumindest im Prinzip, im System bewiesen werden können).

Im alten Indien enthält die „Nasadiya Sukta“ des Rig Veda verschiedene logische Unterteilungen, die später formal als die vier Kreise von catuskoti umformuliert wurden: „A“, „nicht A“, „A und nicht A“ und „nicht A und nicht nicht A“. Die Nyaya-Schule der indischen philosophischen Spekulation basiert auf Texten, die als „Nyaya Sutras“ von Aksapada Gautama aus dem 2. Jahrhundert v. Chr. bekannt sind, und ihre Folgerungsmethodik beruht auf einem System der Logik (das eine Kombination von Induktion und Deduktion beinhaltet, indem man vom Besonderen über das Allgemeine zum Besonderen gelangt), das in der Folge von den meisten anderen indischen Schulen übernommen wurde.

Die moderne Logik stammt jedoch hauptsächlich aus der altgriechischen Tradition. Sowohl Platon als auch Aristoteles betrachteten die Logik als das Studium der Argumentation und als eine Beschäftigung mit der Richtigkeit der Argumentation. Aristoteles verfasste sechs Werke über die Logik, die zusammen als „Organon“ bekannt sind, wobei das erste dieser Werke, die „Prior Analytics“, das erste explizite Werk der formalen Logik ist.

Aristoteles vertrat zwei Prinzipien, die in der Logik von großer Bedeutung sind, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist) und das Gesetz des Nicht-Widerspruchs (verwirrenderweise auch als Gesetz des Widerspruchs bekannt, dass keine Aussage sowohl wahr als auch falsch ist). Er ist vielleicht am berühmtesten für die Einführung des Syllogismus (oder der Begriffslogik) (siehe den Abschnitt über deduktive Logik weiter unten). Seine Anhänger, die so genannten Peripatetiker, verfeinerten seine Arbeit an der Logik.

Im Mittelalter wurde die aristotelische Logik (oder Dialektik) zusammen mit Grammatik und Rhetorik als einer der drei Hauptbereiche des Triviums studiert, der Grundlage einer mittelalterlichen geisteswissenschaftlichen Ausbildung.

Die Logik in der islamischen Philosophie trug auch zur Entwicklung der modernen Logik bei, insbesondere zur Entwicklung der avizänischen Logik (die für die Einführung des hypothetischen Syllogismus, der temporalen Logik, der Modallogik und der induktiven Logik verantwortlich war) als Alternative zur aristotelischen Logik.

Im 18. Jahrhundert vertrat Immanuel Kant die Auffassung, dass die Logik als Wissenschaft des Urteils zu verstehen sei, so dass die gültigen Schlussfolgerungen der Logik aus den strukturellen Merkmalen der Urteile folgen, obwohl er immer noch der Meinung war, dass Aristoteles im Wesentlichen alles gesagt hatte, was es über die Logik als Disziplin zu sagen gab.

Im 20. Jahrhundert wurde Kants Behauptung jedoch durch die Arbeiten von Gottlob Frege, Alfred North Whitehead und Bertrand Russell zur Symbolischen Logik auf den Kopf gestellt. Diese neue Logik, die in ihrem gemeinsamen Werk „Principia Mathematica“ dargelegt wurde, ist viel breiter angelegt als die aristotelische Logik und enthält sogar die klassische Logik, wenn auch nur zu einem kleinen Teil. Sie ähnelt einem mathematischen Kalkül und beschäftigt sich mit den Beziehungen von Symbolen zueinander.

Die Logik im Allgemeinen kann in formale Logik, informelle Logik und symbolische Logik und mathematische Logik unterteilt werden:

• Formale Logik:
  Die formale Logik ist das, was wir als traditionelle Logik oder philosophische Logik bezeichnen, nämlich die Lehre von den Schlussfolgerungen mit rein formalem und explizitem Inhalt (d. h. sie kann als eine Formel ausgedrückt werden.d.h. sie kann als eine bestimmte Anwendung einer völlig abstrakten Regel ausgedrückt werden), wie die Regeln der formalen Logik, die uns von Aristoteles überliefert wurden. (Siehe den Abschnitt über Deduktive Logik weiter unten).
  Ein formales System (auch logisches Kalkül genannt) wird verwendet, um einen Ausdruck (Schlussfolgerung) aus einem oder mehreren anderen Ausdrücken (Prämissen) abzuleiten. Diese Prämissen können Axiome (ein selbstverständlicher Satz, der als selbstverständlich vorausgesetzt wird) oder Theoreme (die mit Hilfe eines festen Satzes von Inferenzregeln und Axiomen ohne zusätzliche Annahmen abgeleitet werden) sein.
  Formalismus ist die philosophische Theorie, dass formale Aussagen (logische oder mathematische) keine intrinsische Bedeutung haben, sondern dass ihre Symbole (die als physikalische Entitäten betrachtet werden) eine Form aufweisen, die nützliche Anwendungen hat.
• Informelle Logik:
  Informelle Logik ist eine neuere Disziplin, die Argumente in natürlicher Sprache untersucht und versucht, eine Logik zu entwickeln, mit der sich die Argumentation in normaler Sprache (oder „Alltagssprache“) bewerten, analysieren und verbessern lässt. Unter natürlicher Sprache wird hier eine von Menschen gesprochene, geschriebene oder gebärdete Sprache zur allgemeinen Kommunikation verstanden, im Unterschied zu formalen Sprachen (wie Computerprogrammiersprachen) oder konstruierten Sprachen (wie Esperanto).
  Sie konzentriert sich auf die Argumentation und die Argumente, die man im persönlichen Austausch, in der Werbung, in politischen Debatten, in juristischen Argumenten und in den sozialen Kommentaren findet, die Zeitungen, Fernsehen, Internet und andere Formen der Massenmedien kennzeichnen.
• Symbolische Logik:
  Symbolische Logik ist die Lehre von symbolischen Abstraktionen, die die formalen Merkmale logischer Schlussfolgerungen erfassen. Sie befasst sich mit den Beziehungen von Symbolen zueinander, oft unter Verwendung eines komplexen mathematischen Kalküls, in dem Versuch, unlösbare Probleme zu lösen, die die traditionelle formale Logik nicht lösen kann.
  Sie wird oft in zwei Unterzweige unterteilt:
  • Prädikatenlogik: ein System, in dem Formeln quantifizierbare Variablen enthalten. (Siehe den Abschnitt über Prädikatenlogik weiter unten).
  • Aussagenlogik (oder Satzlogik): ein System, in dem Formeln, die Propositionen darstellen, durch die Kombination atomarer Propositionen unter Verwendung logischer Konnektive gebildet werden können, und ein System formaler Beweisregeln erlaubt es, bestimmte Formeln als Theoreme aufzustellen. (Siehe den Abschnitt über Aussagenlogik weiter unten).
• Mathematische Logik:
  Sowohl die Anwendung der Techniken der formalen Logik auf die Mathematik und das mathematische Denken als auch umgekehrt die Anwendung der mathematischen Techniken auf die Darstellung und Analyse der formalen Logik.
  Die früheste Verwendung von Mathematik und Geometrie in Verbindung mit Logik und Philosophie geht auf die alten Griechen wie Euklid, Platon und Aristoteles zurück.
  Die Informatik als Disziplin entstand in den 1940er Jahren mit der Arbeit von Alan Turing (1912 – 1954) zum Entscheidungsproblem, das auf die Theorien von Kurt Gödel (1906 – 1978), insbesondere seine Unvollständigkeitssätze, zurückgeht. In den 1950er und 1960er Jahren sagten Forscher voraus, dass es möglich sein würde, eine Maschine zu schaffen, die logisch denken kann (oder künstliche Intelligenz), wenn menschliches Wissen mit einer mathematischen Notation ausgedrückt werden kann, obwohl sich dies aufgrund der Komplexität des menschlichen Denkens als schwieriger als erwartet erwies.Zu den mathematikbezogenen Lehren gehören:
  • Logizismus: der vielleicht kühnste Versuch, die Logik auf die Mathematik anzuwenden, der von Philosophen-Logikern wie Gottlob Frege und Bertrand Russell vorangetrieben wurde, insbesondere die Anwendung der Mathematik auf die Logik in Form von Beweistheorie, Modelltheorie, Mengenlehre und Rekursionstheorie.
  • Intuitionismus: die Lehre, die besagt, dass Logik und Mathematik nicht aus analytischen Tätigkeiten bestehen, in denen tiefe Eigenschaften des Seins aufgedeckt und angewendet werden, sondern lediglich aus der Anwendung intern konsistenter Methoden, um komplexere mentale Konstruktionen zu realisieren.

Deduktives Schließen betrifft das, was notwendigerweise aus gegebenen Prämissen folgt (d.h. von einer allgemeinen Prämisse zu einer bestimmten). Eine Schlussfolgerung ist dann (und nur dann) deduktiv gültig, wenn es keine mögliche Situation gibt, in der alle Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch sind. Es sollte jedoch bedacht werden, dass eine falsche Prämisse möglicherweise zu einer falschen Schlussfolgerung führen kann.

Deduktives Schließen wurde von Aristoteles, Thales, Pythagoras und anderen griechischen Philosophen der klassischen Periode entwickelt. Das Kernstück des deduktiven Denkens ist der Syllogismus (auch bekannt als Begriffslogik), der in der Regel Aristoteles zugeschrieben wird), bei dem ein Satz (die Schlussfolgerung) aus zwei anderen (den Prämissen) abgeleitet wird, von denen jede einen Begriff mit der Schlussfolgerung gemeinsam hat. Zum Beispiel:

Hauptprämisse: Alle Menschen sind sterblich.
Nebenprämisse: Sokrates ist ein Mensch.
Schlussfolgerung: Sokrates ist sterblich.

Ein Beispiel für eine Deduktion ist:

Alle Äpfel sind Früchte.
Alle Früchte wachsen auf Bäumen.
Daher wachsen alle Äpfel auf Bäumen.

Man könnte die ersten Prämissen leugnen und damit auch die Schlussfolgerung. Aber jeder, der die Prämissen akzeptiert, muss auch die Schlussfolgerung akzeptieren. Heute behaupten einige Wissenschaftler, dass Aristoteles‘ System kaum mehr als historischen Wert hat, da es durch das Aufkommen der Prädikatenlogik und der Aussagenlogik (siehe die folgenden Abschnitte) veraltet ist.

Induktives Schließen ist der Prozess der Ableitung einer zuverlässigen Verallgemeinerung aus Beobachtungen (d.h. vom Besonderen zum Allgemeinen), so dass die Prämissen eines Arguments die Schlussfolgerung stützen, aber nicht notwendigerweise sicherstellen. Bei der induktiven Logik geht es nicht um Gültigkeit oder Schlüssigkeit, sondern um die Stichhaltigkeit derjenigen Schlussfolgerungen, für die die Beweise nicht schlüssig sind.

Viele Philosophen, darunter David Hume, Karl Popper und David Miller, haben die logische Zulässigkeit des induktiven Denkens bestritten oder verneint. Insbesondere hat Hume argumentiert, dass es induktives Denken erfordert, um zu den Prämissen für das Prinzip des induktiven Denkens zu gelangen, und daher ist die Rechtfertigung für induktives Denken ein Zirkelschluss.

Ein Beispiel für starke Induktion (ein Argument, bei dem die Wahrheit der Prämisse die Wahrheit der Schlussfolgerung wahrscheinlich, aber nicht definitiv macht) ist:

Alle beobachteten Krähen sind schwarz.

Daher:

Alle Krähen sind schwarz.

Ein Beispiel für eine schwache Induktion (ein Argument, bei dem die Verbindung zwischen der Prämisse und der Schlussfolgerung schwach ist und die Schlussfolgerung nicht einmal unbedingt wahrscheinlich ist) ist:

Ich hänge Bilder immer an Nägeln auf.

Daher:

Alle Bilder hängen an Nägeln.

Modale Logik ist jedes System der formalen Logik, das versucht, mit Modalitäten (Ausdrücke, die mit Begriffen der Möglichkeit, Wahrscheinlichkeit und Notwendigkeit verbunden sind) umzugehen. Die Modallogik befasst sich daher mit Begriffen wie „eventuell“, „früher“, „möglicherweise“, „kann“, „könnte“, „könnte“, „darf“, „muss“ usw.

Modalitäten sind Arten, in denen Sätze wahr oder falsch sein können. Arten von Modalitäten sind:

• Alethische Modalitäten: Beinhaltet Möglichkeit und Notwendigkeit, sowie Unmöglichkeit und Kontingenz. Einige Sätze sind unmöglich (notwendigerweise falsch), während andere kontingent sind (sowohl möglicherweise wahr als auch möglicherweise falsch).
• Temporale Modalitäten: Historische und zukünftige Wahrheit oder Falschheit. Einige Sätze waren in der Vergangenheit wahr/falsch und andere werden in der Zukunft wahr/falsch sein.
• Deontische Modalitäten: Obligation und Permissibility. Einige Sätze müssen wahr/falsch sein, während andere zulässig sind.
• Erkenntnistheoretische Modalitäten: Wissen und Glauben. Einige Sätze sind als wahr/falsch bekannt, und andere werden für wahr/falsch gehalten.

Obwohl sich Aristoteles‘ Logik fast ausschließlich mit kategorischen Syllogismen befasst, hat er die Modallogik und ihre Verbindung mit Potentialität und Zeit in gewissem Maße vorweggenommen. Die moderne Modallogik wurde von Gottlob Frege begründet, obwohl er anfangs an ihrer Durchführbarkeit zweifelte, und wurde erst später von Rudolph Carnap (1891 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1978), C.I. Lewis (1883 – 1964) und dann Saul Kripke (1940 – ) entwickelt, der das System K, die Form der Modallogik, die die meisten Wissenschaftler heute verwenden, begründete).

Die propositionale Logik (oder Satzlogik) befasst sich nur mit Satzkonnektiven und logischen Operatoren (wie „und“, „oder“, „nicht“, „wenn …. dann …“, „weil“ und „notwendigerweise“), im Gegensatz zur Prädikatenlogik (s.u.), die sich auch mit der inneren Struktur atomarer Sätze befasst.

Die Aussagenlogik untersucht also Möglichkeiten, ganze Sätze, Aussagen oder Sätze miteinander zu verbinden und/oder zu modifizieren, um komplexere Sätze, Aussagen oder Sätze zu bilden, sowie die logischen Beziehungen und Eigenschaften, die sich aus diesen Methoden der Kombination oder Veränderung von Aussagen ergeben. In der Aussagenlogik werden die einfachsten Aussagen als unteilbare Einheiten betrachtet.

Die stoischen Philosophen im späten 3. Jahrhundert v. Chr. versuchten, Aussagenoperatoren wie „und“, „oder“ und „wenn … dann …“ zu untersuchen, und Chrysippus (ca. 280-205 v. Chr.) entwickelte eine Art Aussagenlogik, indem er eine Reihe verschiedener Möglichkeiten zur Bildung komplexer Prämissen für Argumente aufzeigte. Dieses System wurde auch von mittelalterlichen Logikern studiert, obwohl die Aussagenlogik erst in der Mitte des 19. Jahrhunderts mit dem Aufkommen der symbolischen Logik in den Arbeiten von Logikern wie Augustus DeMorgan (1806-1871), George Boole (1815-1864) und Gottlob Frege wirklich zur Geltung kam.

Die Prädikatenlogik erlaubt es, Sätze auf verschiedene Weise in Subjekt und Argument zu zerlegen, im Gegensatz zur aristotelischen syllogistischen Logik, bei der die Formen, die der relevante Teil der beteiligten Urteile annimmt, spezifiziert und begrenzt werden müssen (siehe den Abschnitt über Deduktive Logik oben). Die Prädikatenlogik ist auch in der Lage, eine Darstellung der Quantoren zu geben, die allgemein genug ist, um alle in der natürlichen Sprache vorkommenden Argumente auszudrücken, und ermöglicht so die Lösung des Problems der mehrfachen Allgemeinheit, das die mittelalterlichen Logiker verwirrt hatte.

Zum Beispiel ist es intuitiv klar, dass wenn:

Eine Katze wird von jeder Maus gefürchtet

dann folgt logisch, dass:

Alle Mäuse haben Angst vor mindestens einer Katze

aber weil die obigen Sätze jeweils zwei Quantoren enthalten („einige“ und „jede“ im ersten Satz und „alle“ und „mindestens eine“ im zweiten Satz), können sie in der traditionellen Logik nicht adäquat dargestellt werden.

Die Prädikatenlogik wurde als eine Form der Mathematik konzipiert und ist als solche zu allen Arten von mathematischen Schlussfolgerungen fähig, die über die Möglichkeiten der Term- oder Syllogistik hinausgehen. In der Logik erster Ordnung (auch bekannt als Prädikatenkalkül erster Ordnung) kann sich ein Prädikat nur auf ein einziges Subjekt beziehen, aber die Prädikatenlogik kann auch mit Logik zweiter Ordnung, Logik höherer Ordnung, Logik mit vielen Ordnungen oder infinitärer Logik umgehen. Sie ist auch zu vielen Alltagsschlüssen fähig, die sich der Begriffslogik entziehen, und hat (zusammen mit der Aussagenlogik – siehe unten) die traditionelle Begriffslogik in den meisten philosophischen Kreisen fast verdrängt.

Die Prädikatenlogik wurde ursprünglich von Gottlob Frege und Charles Peirce im späten 19. Jahrhundert entwickelt, erreichte aber ihre volle Entfaltung im logischen Atomismus von Whitehead und Russell im 20. Jahrhundert (der aus früheren Arbeiten von Ludwig Wittgenstein entwickelt wurde).

Ein logischer Fehlschluss ist jede Art von Fehler in der Argumentation oder in der Schlussfolgerung, oder, im Grunde genommen, alles, was dazu führt, dass ein Argument schief geht. Es gibt zwei Hauptkategorien von Fehlschlüssen, Mehrdeutigkeitsfehler und kontextuelle Fehler:

• Mehrdeutigkeitsfehler: Ein Begriff ist mehrdeutig, wenn er mehr als eine Bedeutung hat. Es gibt zwei Haupttypen:
  • Äquivokation: ein und dasselbe Wort kann in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet werden.
  • Amphibolie: die Mehrdeutigkeit entsteht eher durch die Satzstruktur (oft durch hängende Partizipien oder die ungenaue Verwendung von Negativen) als durch die Bedeutung der einzelnen Wörter.
• Kontextuelle Fehlschlüsse: sie hängen vom Kontext oder den Umständen ab, unter denen Sätze verwendet werden. Es gibt viele verschiedene Arten, zu den häufigsten gehören:
  • Bedeutungsirrtümer: wenn unklar ist, ob eine Behauptung bedeutsam ist oder nicht.
  • Betonungsirrtümer: die falsche Betonung von Wörtern in einem Satz.
  • Fallacies of Quoting Out of Context: die Manipulation des Kontextes eines Zitats.
  • Fallacies of Argumentum ad Hominem: eine Behauptung kann nicht als falsch erwiesen werden, nur weil die Person, die sie aufstellt, nachweislich einen mangelhaften Charakter hat.
  • Irrtümer des Autoritätsarguments: Die Wahrheit oder Falschheit einer Aussage kann nicht bewiesen werden, nur weil die Person, die sie macht, als „Autorität“ auf dem Gebiet angesehen wird.
  • Irrtümer von Argumenten, die an Gefühle appellieren: berichten, wie Menschen über etwas denken, um zu überzeugen, anstatt zu beweisen.
  • Argumentationsfehler aus Unwissenheit: eine Aussage kann nicht als wahr bewiesen werden, nur weil es keine Beweise gibt, um sie zu widerlegen.
  • Argumentationsfehler, die die Frage aufwerfen: ein Zirkelschluss, bei dem praktisch dieselbe Aussage sowohl als Prämisse als auch als Schlussfolgerung verwendet wird.
  • Kompositionsfehler: die Annahme, dass das, was für einen Teil wahr ist, auch für das Ganze gilt.
  • Spaltungsfehler: die umgekehrte Annahme, dass das, was für ein Ganzes wahr ist, auch für alle seine Teile wahr sein muss.
  • Irrglaube der irrelevanten Schlussfolgerung: wenn die Schlussfolgerung etwas anderes betrifft als das, was das Argument ursprünglich zu beweisen versuchte.
  • Irrglaube der Nicht-Sequitur: ein argumentativer Sprung, bei dem die Schlussfolgerung nicht notwendigerweise aus den Prämissen folgt.
  • Fallacies of Statistics: Statistiken können manipuliert und verzerrt werden, um viele verschiedene Hypothesen zu „beweisen“.

Dies sind nur einige der am häufigsten anzutreffenden Arten, die Internet Encyclopedia of Philosophy Seite über Fallacies listet 176 auf!

Ein Paradoxon ist eine Aussage oder ein Gefühl, das scheinbar widersprüchlich ist oder dem gesunden Menschenverstand widerspricht und doch vielleicht tatsächlich wahr ist. Umgekehrt kann ein Paradoxon eine Aussage sein, die in sich selbst widersprüchlich (und daher falsch) ist, obwohl sie wahr zu sein scheint. Typischerweise implizieren entweder die fraglichen Aussagen nicht wirklich den Widerspruch, das rätselhafte Ergebnis ist nicht wirklich ein Widerspruch, oder die Prämissen selbst sind nicht alle wirklich wahr oder können nicht alle zusammen wahr sein.

Die Erkenntnis von Mehrdeutigkeiten, Zweideutigkeiten und unbestätigten Annahmen, die bekannten Paradoxien zugrunde liegen, hat zu bedeutenden Fortschritten in Wissenschaft, Philosophie und Mathematik geführt. Für viele Paradoxa (z.B. das Curry-Paradoxon) gibt es jedoch noch keine allgemein akzeptierten Lösungen.

Es kann argumentiert werden, dass es vier Klassen von Paradoxa gibt:

• Veridische Paradoxa: die ein Ergebnis liefern, das absurd erscheint, aber dennoch als wahr bewiesen werden kann.
• Falsidische Paradoxien: die ein Ergebnis hervorbringen, das nicht nur falsch erscheint, sondern tatsächlich falsch ist.
• Antinomien: die weder veridisch noch falsidisch sind, sondern bei richtiger Anwendung anerkannter Denkweisen ein in sich widersprüchliches Ergebnis hervorbringen.
• Dialetheien: die ein Ergebnis hervorbringen, das gleichzeitig und in gleichem Sinne wahr und falsch ist.

Paradoxien entstehen oft durch Selbstreferenz (wenn ein Satz oder eine Formel direkt auf sich selbst verweist), Unendlichkeit (ein Argument, das einen unendlichen Regress oder eine unendliche Reihe von unterstützenden Verweisen erzeugt), zirkuläre Definitionen (bei denen ein zu beweisender Satz implizit oder explizit in einer der Prämissen angenommen wird), Vagheit (wenn nicht klar ist, ob ein Begriff zutrifft oder nicht), falsche oder irreführende Aussagen (Behauptungen, die entweder absichtlich oder unwissentlich unwahr oder irreführend sind) und Halbwahrheiten (täuschende Aussagen, die ein gewisses Element der Wahrheit enthalten).

Einige berühmte Paradoxa sind:

• Epimenides‘ Lügnerparadoxon: Epimenides war ein Kreter, der sagte: „Alle Kreter sind Lügner.“ Sollten wir ihm glauben?
• Lügnerparadoxon (2): „Dieser Satz ist falsch.“
• Lügenparadoxon (3): „Der nächste Satz ist falsch. Der vorherige Satz ist wahr.“
• Curry-Paradoxon: „Wenn dieser Satz wahr ist, dann existiert der Weihnachtsmann.“
• Quine-Paradoxon: „ergibt Falschheit, wenn sein Zitat vorausgeht“ ergibt Falschheit, wenn sein Zitat vorausgeht.
• Russells Barbier-Paradoxon: Wenn ein Barbier alle und nur die Männer im Dorf rasiert, die sich nicht selbst rasieren, rasiert er sich dann selbst?
• Großvater-Paradoxon: Angenommen, ein Zeitreisender geht in die Vergangenheit und tötet seinen Großvater, als dieser noch ein Kind war. Wenn sein Großvater in der Kindheit stirbt, dann kann der Zeitreisende nicht geboren werden. Wenn der Zeitreisende aber nie geboren wird, wie kann er dann überhaupt in der Zeit zurückreisen?
• Zeno’s Dichotomie-Paradoxon: Bevor ein sich bewegendes Objekt eine bestimmte Strecke zurücklegen kann (z.B. eine Person, die einen Raum durchquert), muss es die Hälfte der Strecke zurückgelegt haben. Bevor es den halben Weg zurücklegen kann, muss es ein Viertel des Weges zurücklegen. Bevor sie ein Viertel zurücklegen kann, muss sie ein Achtel zurücklegen, vor einem Achtel ein Sechzehntel und so weiter. Da sich diese Abfolge ewig fortsetzt, muss eine unendliche Anzahl von Punkten durchquert werden, was in einer endlichen Zeitspanne logischerweise unmöglich ist, so dass die Strecke nie zurückgelegt wird (der Raum durchquert wird usw.).
• Zenos Paradoxon von Achilles und der Schildkröte: Wenn Achilles der Schildkröte in einem Wettlauf einen Vorsprung einräumt, dann ist die Schildkröte zu dem Zeitpunkt, an dem Achilles am Startpunkt der Schildkröte angekommen ist, bereits eine kürzere Strecke gelaufen. Wenn Achilles diesen zweiten Punkt erreicht, ist die Schildkröte schon wieder weitergelaufen, usw. usw. Also kann Achilles die Schildkröte niemals einholen.
• Zenos Pfeil-Paradoxon: Wenn ein Pfeil von einem Bogen abgeschossen wird, dann ist der Pfeil zu jedem Zeitpunkt entweder dort, wo er ist, oder er ist dort, wo er nicht ist. Wenn er sich dort bewegt, wo er ist, dann muss er stillstehen, und wenn er sich dort bewegt, wo er nicht ist, dann kann er nicht dort sein. Also kann es sich gar nicht bewegen.
• Theseus‘ Schiffsparadoxon: Nachdem Theseus gestorben war, wurde sein Schiff zur öffentlichen Ausstellung gebracht. Im Laufe der Zeit waren alle Planken irgendwann verrottet und wurden durch neue, passende Planken ersetzt. Wenn von dem eigentlichen „ursprünglichen“ Schiff nichts mehr übrig war, war es dann immer noch Theseus‘ Schiff?
• Sorites (Sandhaufen) Paradoxon: Wenn man ein Sandkorn aus einem Haufen wegnimmt, ist es immer noch ein Haufen. Wenn die Körner einzeln entfernt werden, ist es dann immer noch ein Haufen, wenn nur ein Korn übrig bleibt? Wenn nicht, wann hat er sich von einem Haufen in einen Nicht-Haufen verwandelt?
• Hempels Rabenparadoxon: Wenn alle Raben schwarz sind, dann ist streng nach der logischen Äquivalenz alles, was nicht schwarz ist, kein Rabe. Jede Sichtung eines blauen Pullovers oder einer roten Tasse bestätigt also die Hypothese, dass alle Raben schwarz sind.
• Petronius‘ Paradoxon“ „Mäßigung in allen Dingen, auch in der Mäßigung.“
• Paradoxer Hinweis: „Bitte ignorieren Sie diesen Hinweis.“
• Paradoxon der langweiligen Zahlen: Wenn es so etwas wie eine langweilige Zahl gibt, dann können wir alle Zahlen in zwei Gruppen einteilen – in interessante und langweilige. In der Menge der langweiligen Zahlen gibt es nur eine einzige Zahl, die die kleinste ist. Da sie die kleinste stumpfe Zahl ist, wird sie ipso facto zu einer interessanten Zahl. Wir müssen sie also aus der stumpfen Menge herausnehmen und in die andere Menge einfügen. Aber nun gibt es eine weitere kleinste uninteressante Zahl. Wenn man diesen Vorgang wiederholt, wird jede uninteressante Zahl interessant.
• Das Schülerparadoxon des Protagoras: Ein Anwalt traf mit einem seiner Schüler eine Vereinbarung, wonach der Schüler für seinen Unterricht bezahlen sollte, nachdem er seinen ersten Fall gewonnen hatte. Nach einiger Zeit wurde der Anwalt ungeduldig, weil der Schüler keine Mandanten hatte, und beschloss, ihn auf den geschuldeten Betrag zu verklagen. Die Logik des Anwalts war, dass, wenn er, der Anwalt, gewinnen würde, der Schüler ihn gemäß dem Urteil des Gerichts bezahlen würde; wenn der Schüler gewinnen würde, müsste er die Vereinbarung einhalten und trotzdem bezahlen. Der Schüler hingegen argumentierte, wenn er, der Schüler, gewinne, dann müsse er nach dem Urteil des Gerichts den Anwalt nicht bezahlen; und wenn der Anwalt gewinne, dann sei die Vereinbarung nicht in Kraft getreten und der Schüler müsse den Anwalt nicht bezahlen.
• Moores Paradoxon: „Es wird regnen, aber ich glaube nicht, dass es regnen wird.“
• Schrödingers Katze: In einer versiegelten Schachtel befindet sich eine Katze, deren Leben oder Tod vom Zustand eines bestimmten subatomaren Teilchens abhängt. Nach der Quantenmechanik hat das Teilchen nur im exakten Moment der Quantenmessung einen bestimmten Zustand, so dass die Katze sowohl lebendig als auch tot bleibt, bis die Schachtel geöffnet wird.
• „Turtles all the way down“: Eine Geschichte über einen unendlichen Regress, die oft Bertrand Russell zugeschrieben wird, aber wahrscheinlich auf Jahrhunderte früher zurückgeht und auf einem alten (möglicherweise indischen) kosmologischen Mythos beruht, wonach die Erde eine flache Scheibe ist, die von einem riesigen Elefanten getragen wird, der wiederum von einer riesigen Schildkröte getragen wird. Auf die Frage, was denn die Schildkröte trage, lautet die Antwort: „Die Schildkröte ist ganz unten“.

Drei Lehren, die unter der Überschrift der Logik betrachtet werden können, sind: