Muster in der Natur

SymmetrieBearbeiten

Symmetrie ist in Lebewesen allgegenwärtig. Tiere haben meist eine bilaterale oder spiegelbildliche Symmetrie, ebenso wie die Blätter von Pflanzen und einige Blumen wie Orchideen. Pflanzen weisen oft eine Radial- oder Rotationssymmetrie auf, ebenso wie viele Blumen und einige Tiergruppen wie Seeanemonen. Fünffache Symmetrie findet man bei den Stachelhäutern, zu denen Seesterne, Seeigel und Seelilien gehören.

Unter den nicht lebenden Dingen weisen Schneeflocken eine auffällige sechsfache Symmetrie auf; die Struktur jeder Flocke ist ein Abbild der unterschiedlichen Bedingungen während ihrer Kristallisation, wobei jeder ihrer sechs Arme fast das gleiche Wachstumsmuster aufweist. Kristalle weisen im Allgemeinen eine Vielzahl von Symmetrien und Kristallformen auf; sie können kubisch oder oktaedrisch sein, aber echte Kristalle können keine fünffache Symmetrie aufweisen (im Gegensatz zu Quasikristallen). Rotationssymmetrie findet sich in verschiedenen Größenordnungen bei nicht lebenden Dingen, einschließlich des kronenförmigen Spritzmusters, das entsteht, wenn ein Tropfen in einen Teich fällt, und sowohl die Kugelform als auch die Ringe eines Planeten wie Saturn.

Symmetrie hat eine Vielzahl von Ursachen. Radiale Symmetrie passt zu Organismen wie Seeanemonen, deren erwachsene Tiere sich nicht bewegen: Nahrung und Bedrohungen können aus jeder Richtung kommen. Aber Tiere, die sich in eine Richtung bewegen, haben notwendigerweise eine Ober- und eine Unterseite, ein Kopf- und ein Schwanzende, also eine linke und eine rechte Seite. Der Kopf spezialisiert sich mit einem Mund und Sinnesorganen (Cephalisation), und der Körper wird zweiseitig symmetrisch (obwohl die inneren Organe das nicht sein müssen). Noch rätselhafter ist der Grund für die fünffache (pentaradiale) Symmetrie der Stachelhäuter. Die frühen Stachelhäuter waren zweiseitig symmetrisch, und ihre Larven sind es immer noch. Sumrall und Wray argumentieren, dass der Verlust der alten Symmetrie sowohl entwicklungsbedingte als auch ökologische Ursachen hatte.

• Tiere zeigen oft Spiegel- oder bilaterale Symmetrie, wie dieser Tiger.

• Stachelhäuter wie dieser Seestern haben fünffache Symmetrie.

• Fünffache Symmetrie kann man bei vielen Blumen und einigen Früchten wie dieser Mispel sehen.

• Schneeflocken haben eine sechsfache Symmetrie.

• Fluorit zeigt eine kubische Kristallform.

• Wasserspritzer nähert sich radialer Symmetrie an.

• Granat zeigt rhombisch-dodekaedrischen Kristallhabitus.

• Volvox hat sphärische Symmetrie.

• Meeresanemonen haben eine Rotationssymmetrie.

Bäume, FraktaleBearbeiten

Das Verzweigungsmuster von Bäumen wurde in der italienischen Renaissance von Leonardo da Vinci beschrieben. Er stellte fest, dass:

Alle Äste eines Baumes in jedem Stadium seiner Höhe zusammengenommen gleich dick sind wie der Stamm.

Eine allgemeinere Version besagt, dass sich die Flächen der Kindäste, wenn sich ein Elternast in zwei oder mehr Kindäste teilt, zu denen des Elternastes addieren. Eine äquivalente Formulierung lautet: Wenn sich ein Elternzweig in zwei Kindzweige aufspaltet, dann bilden die Querschnittsdurchmesser des Elternzweigs und der beiden Kindzweige ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Erklärung dafür ist, dass die Bäume auf diese Weise starken Winden besser standhalten können. Simulationen von biomechanischen Modellen stimmen mit dieser Regel überein.

Fraktale sind unendlich selbstähnliche, iterierte mathematische Konstrukte mit fraktaler Dimension. In der Natur ist eine unendliche Iteration nicht möglich, so dass alle „fraktalen“ Muster nur annähernd sind. So sind beispielsweise die Blätter von Farnen und Doldenblütlern (Apiaceae) nur auf 2, 3 oder 4 Ebenen selbstähnlich (gefiedert). Farnähnliche Wachstumsmuster kommen bei Pflanzen und Tieren vor, darunter Bryozoen, Korallen, Hydrozoen wie der Luftfarn Sertularia argentea, und bei nicht lebenden Dingen, insbesondere bei elektrischen Entladungen. Fraktale des Lindenmayer-Systems können verschiedene Muster des Baumwachstums modellieren, indem sie eine kleine Anzahl von Parametern variieren, darunter den Verzweigungswinkel, den Abstand zwischen Knoten oder Verzweigungspunkten (Internodienlänge) und die Anzahl der Zweige pro Verzweigungspunkt.

Fraktal-ähnliche Muster kommen in der Natur häufig vor, in so unterschiedlichen Phänomenen wie Wolken, Flussnetzwerken, geologischen Verwerfungslinien, Bergen, Küstenlinien, Tierfärbung, Schneeflocken, Kristallen, Verzweigungen von Blutgefäßen, Aktin-Zytoskelett und Meereswellen.

• Die Wachstumsmuster bestimmter Bäume ähneln diesen Fraktalen des Lindenmayer-Systems.

• Wachstumsmuster eines Affenbrotbaums

• Blatt der Kuhsalbe, Anthriscus sylvestris, ist 2- oder 3-fach gefiedert, nicht unendlich

• Fraktale Spiralen: Romanesco-Brokkoli mit selbstähnlicher Form

• Angelica-Blütenkopf, eine Kugel aus Kugeln (selbstähnlich)

• Bäume: Lichtenberg-Figur: Hochspannungsdurchschlag in einem Acrylpolymerblock

• Bäume: Dendritische Kupferkristalle (im Mikroskop)

SpiralenBearbeiten

Spiralen sind bei Pflanzen und einigen Tieren, vor allem bei Weichtieren, häufig. Bei der Nautilus, einem Kopffüßer, ist zum Beispiel jede Kammer ihrer Schale eine ungefähre Kopie der nächsten, skaliert mit einem konstanten Faktor und angeordnet in einer logarithmischen Spirale. Ausgehend von einem modernen Verständnis von Fraktalen kann eine Wachstumsspirale als ein Spezialfall von Selbstähnlichkeit angesehen werden.

Pflanzenspiralen können in der Phyllotaxis, der Anordnung von Blättern an einem Stängel, und in der Anordnung (Parastichie) anderer Teile gesehen werden, wie in zusammengesetzten Blütenköpfen und Samenköpfen wie der Sonnenblume oder Fruchtstrukturen wie der Ananas:337 und der Schlangenfrucht, sowie im Muster der Schuppen in Kiefernzapfen, wo mehrere Spiralen sowohl im als auch gegen den Uhrzeigersinn verlaufen. Für diese Anordnungen gibt es Erklärungen auf verschiedenen Ebenen – Mathematik, Physik, Chemie, Biologie – jede für sich richtig, aber alle zusammen notwendig. Phyllotaxis-Spiralen lassen sich mathematisch aus den Fibonacci-Verhältnissen ableiten: Die Fibonacci-Folge lautet 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… (jede nachfolgende Zahl ist die Summe der beiden vorangegangenen Zahlen). Wenn sich z. B. Blätter an einem Stängel abwechseln, berührt eine Umdrehung der Spirale zwei Blätter, so dass das Muster oder Verhältnis 1/2 beträgt. Bei der Hasel ist das Verhältnis 1/3, bei der Aprikose 2/5, bei der Birne 3/8 und bei der Mandel 5/13. Bei der Scheibenphyllotaxis, wie bei der Sonnenblume und dem Gänseblümchen, sind die Blüten in einer Fermatschen Spirale mit Fibonacci-Zahlen angeordnet, zumindest wenn der Blütenkopf reif ist, so dass alle Elemente gleich groß sind. Die Fibonacci-Zahlen entsprechen ungefähr dem Goldenen Winkel von 137,508°, der die Krümmung der Fermatschen Spirale bestimmt.

Physikalisch gesehen sind Spiralen Konfigurationen mit niedrigster Energie, die spontan durch selbstorganisierende Prozesse in dynamischen Systemen entstehen. Aus Sicht der Chemie kann eine Spirale durch einen Reaktions-Diffusions-Prozess entstehen, der sowohl Aktivierung als auch Hemmung beinhaltet. Die Phyllotaxis wird durch Proteine gesteuert, die die Konzentration des Pflanzenhormons Auxin manipulieren, das das Meristemwachstum aktiviert, sowie durch andere Mechanismen, die den relativen Winkel der Knospen um den Stamm herum steuern. Aus biologischer Sicht wird die Anordnung der Blätter so weit wie möglich voneinander entfernt durch die natürliche Selektion begünstigt, da sie den Zugang zu den Ressourcen, insbesondere zum Sonnenlicht für die Photosynthese, maximiert.

• Fibonacci-Spirale

• Bighornschaf, Ovis canadensis

• Spiralen: Phyllotaxis der spiralförmigen Aloe, Aloe polyphylla

• Nautilus shell’s logarithmic growth spiral

• Fermat’s spiral: Samenkopf der Sonnenblume, Helianthus annuus

• Mehrere Fibonacci-Spiralen: Rotkohl im Querschnitt

• Wirbelnde Schale von Trochoidea liebetruti

• Wassertröpfchen fliegen in gleichwinkligen Spiralen von einer nassen, sich drehenden Kugel

Chaos, Fluss, MäanderBearbeiten

In der Mathematik ist ein dynamisches System chaotisch, wenn es (hoch) empfindlich auf Anfangsbedingungen reagiert (der sogenannte „Schmetterlingseffekt“), was die mathematischen Eigenschaften der topologischen Vermischung und der dichten periodischen Bahnen erfordert.

Neben den Fraktalen gilt die Chaostheorie als ein im Wesentlichen universeller Einfluss auf Muster in der Natur. Es gibt eine Beziehung zwischen Chaos und Fraktalen – die seltsamen Attraktoren in chaotischen Systemen haben eine fraktale Dimension. Einige zelluläre Automaten, einfache Sätze mathematischer Regeln, die Muster erzeugen, weisen chaotisches Verhalten auf, insbesondere Stephen Wolframs Regel 30.

Wirbelstraßen sind Zickzackmuster aus wirbelnden Wirbeln, die durch die instationäre Trennung der Strömung eines Fluids, meist Luft oder Wasser, über hinderliche Objekte entstehen. Eine glatte (laminare) Strömung beginnt sich aufzulösen, wenn die Größe des Hindernisses oder die Strömungsgeschwindigkeit im Vergleich zur Viskosität des Fluids groß genug ist.

Meander sind gewundene Kurven in Flüssen oder anderen Kanälen, die sich bilden, wenn ein Fluid, meist Wasser, um Kurven fließt. Sobald der Weg leicht gekrümmt ist, nimmt die Größe und Krümmung jeder Schleife zu, da die schraubenförmige Strömung Material wie Sand und Kies über den Fluss zur Innenseite der Kurve zieht. Die Außenseite der Schleife bleibt sauber und ungeschützt, so dass die Erosion beschleunigt wird, was die Mäanderbildung in einer starken positiven Rückkopplungsschleife weiter verstärkt.

• Chaos: Schale der Schneckenmolluske das Tuch des Goldkegels, Conus-Textil, ähnelt Regel 30 zellulären Automaten

• Fluss: Wirbelstraße der Wolken bei den Juan-Fernandez-Inseln

• Mäander: dramatische Mäandernarben und Altarme in der breiten Überschwemmungsebene des Rio Negro, aus dem Weltraum gesehen

• Mäander: gewundener Pfad des Rio Cauto, Kuba

• Meander: gewundene Schlange kriechend

• Meander: Symmetrische Hirnkoralle, Diploria strigosa

Wellen, DünenEdit

Wellen sind Störungen, die bei ihrer Bewegung Energie übertragen. Mechanische Wellen breiten sich durch ein Medium – Luft oder Wasser – aus und versetzen es in Schwingung. Windwellen sind Wellen an der Meeresoberfläche, die das charakteristische chaotische Muster eines großen Gewässers erzeugen, wobei ihr statistisches Verhalten mit Windwellenmodellen vorhergesagt werden kann. Wenn Wasser- oder Windwellen über Sand laufen, erzeugen sie Wellenmuster. Wenn Winde über große Sandflächen wehen, bilden sie Dünen, manchmal in Form ausgedehnter Dünenfelder wie in der Taklamakan-Wüste. Dünen können eine Reihe von Mustern bilden, darunter Halbmonde, sehr lange gerade Linien, Sterne, Kuppeln, Parabeln und längliche oder schwertförmige Formen.

Barchan- oder Halbmonddünen entstehen, wenn der Wind auf den Wüstensand einwirkt; die beiden Hörner des Halbmondes und die Gleitfläche zeigen gegen den Wind. Der Sand wird über die windzugewandte Seite geweht, die eine Neigung von etwa 15 Grad gegenüber der Horizontalen aufweist, und fällt auf die Gleitfläche, wo er sich bis zum Schüttwinkel des Sandes, der etwa 35 Grad beträgt, ansammelt. Wenn die Gleitwand den Schüttwinkel überschreitet, löst der Sand eine Lawine aus, was ein nichtlineares Verhalten ist: Die Zugabe vieler kleiner Sandmengen bewirkt, dass nicht viel passiert, aber die Zugabe einer weiteren kleinen Menge löst plötzlich eine große Menge Lawine aus. Von dieser Nichtlinearität abgesehen, verhalten sich Barchane eher wie einsame Wellen.

• Wellen: brechende Welle im Kielwasser eines Schiffes

• Dünen: Sanddünen in der Taklamakan-Wüste, aus dem Weltraum

• Dünen: Barchan-Sicheldüne

• Windwellen mit Versetzungen in Sistan, Afghanistan

Seifenblasen, SchaumBearbeiten

Eine Seifenblase bildet eine Kugel, eine Oberfläche mit minimaler Fläche (Minimalfläche) – die kleinstmögliche Oberfläche für das eingeschlossene Volumen. Zwei Seifenblasen bilden zusammen eine komplexere Form: Die Außenflächen beider Seifenblasen sind kugelförmig; diese Flächen werden durch eine dritte kugelförmige Fläche verbunden, da sich die kleinere Seifenblase leicht in die größere hineinwölbt.

Ein Schaum ist eine Masse von Seifenblasen; in der Natur kommen Schäume aus verschiedenen Materialien vor. Schäume, die aus Seifenfilmen bestehen, gehorchen den Plateau’schen Gesetzen, die verlangen, dass sich drei Seifenfilme an jeder Kante in einem Winkel von 120° und vier Seifenkanten an jedem Scheitelpunkt in einem Tetraederwinkel von etwa 109,5° treffen. Die Plateau’schen Gesetze verlangen ferner, dass die Filme glatt und kontinuierlich sind und an jedem Punkt eine konstante durchschnittliche Krümmung aufweisen. So kann eine Folie beispielsweise im Durchschnitt nahezu flach bleiben, wenn sie in einer Richtung nach oben gekrümmt ist (z. B. von links nach rechts), während sie in einer anderen Richtung nach unten gekrümmt ist (z. B. von vorne nach hinten). Strukturen mit minimalen Oberflächen können als Zelte verwendet werden.

Auf der Ebene lebender Zellen sind Schaummuster weit verbreitet; Radiolarien, Schwammnadeln, Exoskelette von Silicoflagellaten und das Kalzitskelett eines Seeigels, Cidaris rugosa, ähneln alle mineralischen Abdrücken von Plateauschaumgrenzen. Das Skelett des Radiolariums Aulonia hexagona, einer schönen Meeresform, die von Ernst Haeckel gezeichnet wurde, sieht aus, als sei es eine Kugel, die vollständig aus Sechsecken besteht, was jedoch mathematisch unmöglich ist. Die Euler-Charakteristik besagt, dass für jedes konvexe Polyeder die Anzahl der Flächen plus die Anzahl der Eckpunkte (Ecken) gleich der Anzahl der Kanten plus zwei ist. Ein Ergebnis dieser Formel ist, dass jedes geschlossene Polyeder aus Sechsecken genau 12 Fünfecke enthalten muss, wie ein Fußball, eine geodätische Kuppel von Buckminster Fuller oder ein Fulleren-Molekül. Dies lässt sich veranschaulichen, indem man sich vor Augen führt, dass ein Netz aus Sechsecken flach ist wie ein Blatt Hühnerdraht, aber jedes hinzugefügte Fünfeck das Netz dazu zwingt, sich zu krümmen (es gibt weniger Ecken, so dass das Netz nach innen gezogen wird).

• Schaum aus Seifenblasen: Vier Kanten treffen sich an jedem Scheitelpunkt, in Winkeln nahe 109.5°, wie bei zwei C-H-Bindungen in Methan.

• Radiolarien, gezeichnet von Haeckel in seinen Kunstformen der Natur (1904).

• Haeckels Spumellarien; die Skelette dieser Radiolarien haben schaumartige Formen.

• Buckminsterfulleren C60: Richard Smalley und Kollegen synthetisierten das Fulleren-Molekül 1985.

• Brochosomen (sekretorische Mikropartikel, die von Heuschrecken produziert werden) ähneln oft der Fulleren-Geometrie.

• Gleiche Kugeln (Gasblasen) in einem Oberflächenschaum

• Zirkuszelt nähert sich einer Minimalfläche an.

TessellationenBearbeiten

Tessellierungen sind Muster, die durch sich wiederholende Kacheln auf einer ebenen Fläche gebildet werden. Es gibt 17 Tapetengruppen von Tessellationen. Während sie in Kunst und Design weit verbreitet sind, sind sich exakt wiederholende Tessellierungen in Lebewesen weniger leicht zu finden. Die Zellen in den Papiernestern sozialer Wespen und die Wachszellen in den von Bienen gebauten Honigwaben sind bekannte Beispiele. Bei den Tieren sind Knochenfische, Reptilien wie das Schuppentier oder Früchte wie der Salak durch sich überlappende Schuppen oder Osteoderme geschützt, die mehr oder weniger exakt wiederkehrende Einheiten bilden, obwohl die Schuppen in der Tat oft in ihrer Größe kontinuierlich variieren. Bei den Blumen hat der Schlangenkopffalter (Fritillaria meleagris) ein mosaikartiges Schachbrettmuster auf seinen Blütenblättern. Die Strukturen von Mineralien sind ein gutes Beispiel für sich regelmäßig wiederholende dreidimensionale Anordnungen. Trotz der Hunderttausenden von bekannten Mineralien gibt es nur wenige mögliche Arten der Anordnung von Atomen in einem Kristall, die durch die Kristallstruktur, das Kristallsystem und die Punktgruppe definiert sind; zum Beispiel gibt es genau 14 Bravais-Gitter für die 7 Gittersysteme im dreidimensionalen Raum.

• Kristalle: würfelförmige Kristalle von Halit (Steinsalz); kubisches Kristallsystem, isometrische hexoktaedrische Kristallsymmetrie

• Arrays: Bienenwabe ist ein natürliches Mosaik

• Wismut-Trichterkristall, der den treppenförmigen Kristallhabitus illustriert.

• Deckschichten: Mosaikblüte des Schlangenkopf-Fritillars, Fritillaria meleagris

• Deckschichten: Überlappende Schuppen von Gemeinem Rotauge, Rutilus rutilus

• Deckel: Überlappende Schuppen der Schlangenfrucht oder Salak, Salacca zalacca

• Mosaikpflaster: eine seltene Felsformation auf der Tasmanischen Halbinsel

RisseBearbeiten

Risse sind lineare Öffnungen, die sich in Materialien bilden, um Spannungen abzubauen. Wenn ein elastisches Material gleichmäßig gedehnt oder geschrumpft wird, erreicht es schließlich seine Bruchfestigkeit und versagt dann plötzlich in alle Richtungen, wobei Risse mit 120-Grad-Fugen entstehen, so dass drei Risse an einem Knotenpunkt zusammentreffen. Umgekehrt bilden sich beim Versagen eines unelastischen Materials gerade Risse, um die Spannung abzubauen. Weitere Spannungen in der gleichen Richtung würden die vorhandenen Risse einfach öffnen; Spannungen im rechten Winkel können neue Risse erzeugen, die im 90-Grad-Winkel zu den alten stehen. Das Muster der Risse zeigt also an, ob das Material elastisch ist oder nicht. In einem zähen Fasermaterial wie Eichenrinde bilden sich Risse, um Spannungen abzubauen, aber sie wachsen nicht lange, da ihr Wachstum durch Bündel von starken elastischen Fasern unterbrochen wird. Da jede Baumart auf der Ebene der Zellen und der Moleküle eine eigene Struktur aufweist, hat jede ihr eigenes Rissmuster in ihrer Rinde.

• Alte Töpferoberfläche, weiße Glasur mit hauptsächlich 90°-Rissen

• Trocknender unelastischer Schlamm im Rann of Kutch mit hauptsächlich 90°-Rissen

• Geäderter Gabbro mit 90°-Rissen, in der Nähe von Sgurr na Stri, Skye

• Trocknender elastischer Schlamm in Sizilien mit hauptsächlich 120°-Rissen

• Gekühlter Basalt am Giant’s Causeway. Vertikale, hauptsächlich 120°-Risse, die sechseckige Säulen ergeben

• Palmenstamm mit verzweigten vertikalen Rissen (und horizontalen Blattnarben)

Flecken, StreifenEdit

Leoparden und Marienkäfer sind gefleckt; Engelsfische und Zebras sind gestreift. Diese Muster haben eine evolutionäre Erklärung: Sie haben Funktionen, die die Chancen erhöhen, dass die Nachkommen des gemusterten Tieres überleben und sich fortpflanzen. Eine Funktion von Tiermustern ist die Tarnung; ein Leopard, der schwerer zu sehen ist, fängt zum Beispiel mehr Beute. Eine andere Funktion ist die Signalfunktion: Ein Marienkäfer beispielsweise wird von Raubvögeln, die nach Sicht jagen, weniger angegriffen, wenn er auffällige Warnfarben hat und außerdem bitter oder giftig ist oder andere unangenehme Insekten nachahmt. Ein Jungvogel kann ein warnendes Insekt wie einen Marienkäfer sehen und versuchen, es zu fressen, aber er wird dies nur einmal tun; sehr bald wird er das bittere Insekt wieder ausspucken; die anderen Marienkäfer in der Umgebung bleiben ungestört. Die jungen Leoparden und Marienkäfer überleben, weil sie die Gene geerbt haben, die irgendwie die Fleckigkeit erzeugen. Diese evolutionären und funktionalen Argumente erklären zwar, warum diese Tiere ihre Muster brauchen, aber sie erklären nicht, wie die Muster gebildet werden.

• Dirce-Schönheitsfalter, Colobura dirce

• Grevys Zebra, Equus grevyi

• Königskaiserfisch, Pygoplites diacanthus

• Leopard, Panthera pardus pardus

• Anordnung von Marienkäfern von G.G. Jacobson

• Aufzuchtmuster des Tintenfisches, Sepia officinalis