15.2: Yksinkertainen harmoninen liike

author
2 minutes, 32 seconds Read

Harmonisen liikkeen yhtälöt

Tarkastellaan palikkaa, joka on kiinnitetty jousen varaan kitkattomalle pöydälle (kuva \(\PageIndex{3}\)). Tasapainoasento (asento, jossa jousi ei ole venytetty eikä puristettu) on merkitty x = 0 . Tasapainoasennossa nettovoima on nolla.

Kuva \(\PageIndex{3}\): Lohko on kiinnitetty jouseen ja asetettu kitkattomalle pöydälle. Tasapainoasento, jossa jousi ei ole venytetty eikä puristettu, merkitään x = 0.

Lohkolle tehdään työ, jolla se vedetään asentoon x = + A, minkä jälkeen se vapautetaan levosta. Suurinta x-asentoa (A) kutsutaan liikkeen amplitudiksi. Lohko alkaa värähtelemään SHM:ssä välillä x = + A ja x = -A, missä A on liikkeen amplitudi ja T on värähtelyn jakso. Jakso on yhden värähtelyn kesto. Kuvassa \(\PageIndex{4}\) näkyy lohkon liike, kun se suorittaa puolitoista värähtelyä vapautuksen jälkeen.

Kuva \(\PageIndex{4}\): Lohko on kiinnitetty jousen toiseen päähän ja asetettu kitkattomalle pöydälle. Jousen toinen pää on ankkuroitu seinään. Tasapainoasentoon, jossa nettovoima on nolla, merkitään x = 0 m. Lohkolle tehdään työtä, joka vetää sen ulos kohtaan x = + A, ja lohko vapautetaan levosta. Lohko värähtelee välillä x = + A ja x = -A. Voima esitetään myös vektorina.

\

Yhtälö sijainnille ajan funktiona \(x(t) = A\cos( \omega t)\) soveltuu hyvin mallinnettavaksi aineistosta, jossa lohkon sijainti alkuajankohtana t = 0,00 s on amplitudilla A ja alkunopeus on nolla. Usein kokeellisia tietoja otettaessa massan sijainti alkuajankohtana t = 0,00 s ei ole yhtä suuri kuin amplitudi ja alkunopeus ei ole nolla. Tarkastellaan opiskelijan laboratoriossa keräämää 10 sekunnin dataa, joka näkyy kuvassa \(\PageIndex{6}\).

Kuva \(\PageIndex{6}\): Opiskelijan laboratoriossa keräämät tiedot osoittavat jouseen kiinnitetyn palikan sijainnin, joka on mitattu äänimittarilla. Tiedot on kerätty alkaen ajasta t = 0,00s, mutta alkuasento on lähellä asentoa x ≈ – 0,80 cm ≠ 3,00 cm, joten alkuasento ei ole yhtä suuri kuin amplitudi x0 = + A. Nopeus on asennon aikajohdannainen, joka on kaltevuus asennon ja ajan välisen kuvaajan pisteessä. Nopeus ei ole v = 0,00 m/s ajanhetkellä t = 0,00 s, mikä käy ilmi sijainnin ja ajan suhteen kuvaajan kaltevuudesta, joka ei ole nolla alkuajankohtana.

Kuvan \(\PageIndex{6}\) dataa voidaan edelleen mallintaa jaksollisella funktiolla, kuten kosinifunktiolla, mutta funktio on siirretty oikealle. Tätä siirtymää kutsutaan vaihesiirtymäksi, ja se esitetään yleensä kreikkalaisella kirjaimella phi (\(\phi\)). Jousella olevan kappaleen sijainnin yhtälö ajan funktiona on

\\

Tämä on SHM:n yleistetty yhtälö, jossa t on aika sekunneissa mitattuna, \(\omega\) on kulmataajuus käänteissekunneissa, A on amplitudi metreissä tai senttimetreissä mitattuna ja \(\phi\) on vaiheensiirtymä radiaaneissa mitattuna (kuva \(\(\Sivun indeksi{7}\)). On huomattava, että koska sini- ja kosinifunktiot eroavat toisistaan vain vaiheensiirrolla, tämä liike voitaisiin mallintaa joko kosini- tai sinifunktion avulla.

SHM:ssä värähtelevän jousella olevan massan nopeus voidaan löytää ottamalla paikkayhtälön derivaatta:

\\

Koska sinifunktio värähtelee -1:n ja +1:n välillä, maksiminopeus on amplitudi kertaa kulmataajuus, vmax = A\(\omega\). Maksiminopeus saavutetaan tasapainoasennossa (x = 0), kun massa liikkuu kohti x = + A. Maksiminopeus negatiiviseen suuntaan saavutetaan tasapainoasennossa (x = 0), kun massa liikkuu kohti x = -A, ja se on yhtä suuri kuin -vmax.

Massan kiihtyvyys jousen varassa saadaan selville ottamalla nopeuden aikaderivaatta:

\

Similar Posts

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.