Pythagorasta (569-475 eaa.) pidetään maailman ensimmäisenä matemaatikkona. Hän syntyi Samoksen saarella, ja hänen uskotaan opiskelleen Thalesin ja Anaximanderin (jotka tunnustetaan ensimmäisiksi länsimaisiksi filosofeiksi) kanssa. Pythagoras uskoi, että numerot eivät olleet vain tie totuuteen, vaan itse totuus. Matematiikan avulla voitiin saavuttaa harmonia ja elää helpompaa elämää. Hänen sanotaan ehdottaneen useita matemaattisia teoreemoja tätä tarkoitusta varten, mutta niistä kaikista on jäljellä vain kuuluisa Pythagoraan lause (Allen, 1966).
Historioitsija Robinson kirjoittaa: ”Väitettä, jonka mukaan `Pythagoras työskenteli ahkerasti geometrian aritmeettisen puolen parissa’, tukee lisäksi perimätieto, jonka mukaan hän tutki aritmeettista ongelmaa löytää kolmiot, joiden yhden sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa”, ja hän teki sen jo varhain käyttämällä riviin aseteltuja kiviä ymmärtääkseen totuuksia, joita hän yritti välittää (1968). Pythagoraan lauseen mukaan a² + b² = c². Tätä käytetään, kun meille annetaan kolmio, jonka kolmesta sivusta tiedämme vain kahden sivun pituuden. C on hypotenuusaksi kutsutun kulman pisin sivu. Jos a on viereinen kulma, b on vastakkainen sivu. Jos b on viereinen kulma, a on vastakkainen sivu. Jos a = 3 ja b = 4, voidaan ratkaista c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Tämä on yksi Pythagoraan lauseen tärkeimmistä käyttökohteista.
Advertisement
Pythagoraan lauseelle on monia todistuksia, joista tunnetuin on Eukleideen todistus elementtien kirjasta I.
Proposition: Suorakulmaisissa kolmioissa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.
Eukleides lähti liikkeelle Pythagoraan asetelmasta ja piirsi sitten viivan kaavion läpi, joka havainnollistaa pinta-alojen yhtäsuuruuksia. Hän päätteli, että AB/AC = AC/HA, joten (AC)² = (HA)(AB). Koska AB=AJ, suorakulmion HAJG pinta-ala vastaa sivulla AC olevan neliön pinta-alaa. Vastaavasti AB/BC = BC/BH kirjoitetaan myös (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD) ja koska AB=BD. Näin ollen nähdään, että suorakulmioiden pinta-alojen summa on hypotenuusalla olevan neliön pinta-ala. Stephanie Morrisin sanoin: ”This completes the proof” (Morris, 2011).
Advertisement
Toinen todistus, joka on helpommin ymmärrettävissä, lähtee liikkeelle suorakulmiosta, joka on jaettu kolmeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joilla kaikilla on suorat kulmat.
Kolmio BEA ja kolmio BCE peittävät kolmion ACD. Kun verrataan kolmioita BCE ja ACD ja tarkastellaan niiden vastaavia sivuja, nähdään, että AC/BC = AD/EC. Koska AD = BC, AC/AD = AD/EC. Kertomalla tämä yhtälö saadaan (AD)² = (AC)(AE). Kolmioista ABC ja ABE, joissa AB = CD, saadaan näiden kahden kuvion suorakulmia vertailemalla yhtälö AC/AB = CD/AE. Alkuperäisestä suorakulmion muodosta AB = CD saadaan myös kaava AC/CD = CD/AE, joka kirjoitetaan kertolaskutehtävänä (CD)² = (AC)(AE), ja lisäämällä tähänastiset yhtälöt saadaan kaksi uutta kaavaa, jotka ovat (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC)(EC) ja (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Koska AC = AE + EC, saadaan (CD)² + (AD)² = (AC)². Kuten aiempi todistus, tämä osoittaa Pythagoraan lauseen paikkansapitävyyden (Morris, 2011).
Pythagoraan lauseessa jokainen sivu/kulma on kriittinen tieto, joka auttaa meitä määrittämään muita kulmia/sivuja. Pythagoras uskoi objektiiviseen totuuteen, joka oli luku. Pythagoraan lause mahdollistaa totuuksien tuntemisen edellä mainittujen matemaattisten yhtälöiden avulla, mikä tarkoittaa, että on olemassa objektiivinen totuus, joka on henkilökohtaisten mielipiteiden ulkopuolella ja joka voidaan todella todistaa; ja tämän Pythagoras lopulta halusi todistaa teoksellaan.
Tilaa viikoittainen uutiskirjeemme sähköpostitse!