Le théorème de Pythagore : La voie de la vérité

Pythagore (569-475 av. J.-C.) est reconnu comme le premier mathématicien du monde. Il est né sur l’île de Samos et on pense qu’il a étudié avec Thalès et Anaximandre (reconnus comme les premiers philosophes occidentaux). Pythagore croyait que les nombres n’étaient pas seulement le chemin vers la vérité, mais la vérité elle-même. Grâce aux mathématiques, on pouvait atteindre l’harmonie et vivre une vie plus facile. On dit qu’il a proposé un certain nombre de théorèmes mathématiques à cette fin mais, de tous, seul le célèbre théorème de Pythagore subsiste (Allen, 1966).

L’historien Robinson écrit : « L’affirmation selon laquelle `Pythagore a travaillé très dur sur le côté arithmétique de la géométrie’ est encore confirmée par la tradition selon laquelle il a étudié le problème arithmétique consistant à trouver des triangles dont le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres » et ce, très tôt, en utilisant des pierres en rangées pour comprendre les vérités qu’il essayait de transmettre (1968). Le théorème de Pythagore affirme que a² + b² = c². Il est utilisé lorsqu’on nous donne un triangle dont on ne connaît que la longueur de deux des trois côtés. C est le côté le plus long de l’angle appelé hypoténuse. Si a est l’angle adjacent, alors b est le côté opposé. Si b est l’angle adjacent, alors a est le côté opposé. Si a = 3, et b = 4, nous pouvons alors résoudre c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. C’est l’une des premières utilisations du théorème de Pythagore.

Il existe de nombreuses preuves du théorème de Pythagore, la plus connue étant la preuve d’Euclide du livre I de ses Éléments.

Proposition : Dans les triangles à angle droit, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des branches.
Euclide part d’une configuration pythagoricienne puis trace une ligne à travers un diagramme illustrant les égalités des aires. Il en conclut que AB/AC = AC/HA, donc (AC)² = (HA)(AB). Puisque AB=AJ, l’aire du rectangle HAJG correspond à l’aire du carré du côté AC. De même, AB/BC = BC/BH s’écrit aussi (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD) et puisque AB=BD. Nous voyons donc que la somme des aires des rectangles est l’aire du carré sur l’hypoténuse. Selon les mots de Stephanie Morris, « Cela complète la preuve » (Morris, 2011).

Une autre preuve, plus facile à comprendre pour les gens, commence par un rectangle divisé en trois triangles, tous avec des angles droits.
Le triangle BEA et le triangle BCE recouvrent le triangle ACD. En comparant le triangle BCE et le triangle ACD, et en regardant leurs côtés correspondants, on voit que AC/BC = AD/EC. Puisque AD = BC, AC/AD = AD/EC. En multipliant cette équation, on obtient (AD)² = (AC)(AE). À partir des triangles ABC et ABE, en notant que AB = CD, en comparant les angles droits de ces deux figures, on obtient l’équation AC/AB = CD/AE. À partir de la forme originale du rectangle, nous avions AB = CD, également donnée par AC/CD = CD/AE, qui s’écrit comme un problème de multiplication sous la forme (CD)² = (AC)(AE) et en ajoutant les équations que nous avons jusqu’à présent, nous obtenons deux nouvelles formules qui sont (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC) (EC) et (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Puisque AC = AE + EC, on obtient (CD)² + (AD)² = (AC)². Comme pour la preuve précédente, cela montre la validité du théorème de Pythagore (Morris, 2011).

Dans le théorème de Pythagore, chaque côté/angle est une information critique qui nous aide à déterminer d’autres angles/côtés. Pythagore croyait en une vérité objective qui était le nombre. Le théorème de Pythagore permet de connaître des vérités grâce aux équations mathématiques ci-dessus, ce qui signifie qu’il existe bien une vérité objective, en dehors de toute opinion personnelle, qui peut réellement être prouvée ; et c’est finalement ce que Pythagore a voulu prouver par son travail.

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