Logique

Logique (du grec « logos », qui a une variété de significations, notamment mot, pensée, idée, argument, compte, raison ou principe) est l’étude du raisonnement, ou l’étude des principes et des critères de déduction et de démonstration valides. Elle tente de distinguer les bons raisonnements des mauvais raisonnements.

Aristote définissait la logique comme un « raisonnement nouveau et nécessaire », « nouveau » parce qu’il nous permet d’apprendre ce que nous ne savons pas, et « nécessaire » parce que ses conclusions sont inéluctables. Elle pose des questions comme « Qu’est-ce qu’un raisonnement correct ? », « Qu’est-ce qui distingue un bon argument d’un mauvais ? », « Comment pouvons-nous détecter une erreur de raisonnement ? »

La logique étudie et classe la structure des déclarations et des arguments, à la fois par l’étude des systèmes formels d’inférence et par l’étude des arguments en langage naturel. Elle ne traite que des propositions (phrases déclaratives, utilisées pour faire une affirmation, par opposition aux questions, aux commandements ou aux phrases exprimant des souhaits) qui sont capables d’être vraies et fausses. Elle ne s’intéresse pas aux processus psychologiques liés à la pensée, aux émotions, aux images, etc. Elle couvre des sujets de base tels que l’étude des sophismes et des paradoxes, ainsi que l’analyse spécialisée du raisonnement utilisant la probabilité et les arguments impliquant la causalité et la théorie de l’argumentation.

Les systèmes logiques devraient avoir trois choses : la cohérence (qui signifie qu’aucun des théorèmes du système ne se contredit) ; la solidité (qui signifie que les règles de preuve du système ne permettront jamais une inférence fausse à partir d’une prémisse vraie) ; et la complétude (qui signifie qu’il n’y a pas de phrases vraies dans le système qui ne peuvent pas, au moins en principe, être prouvées dans le système).

Dans l’Inde ancienne, le « Nasadiya Sukta » du Rig Veda contient diverses divisions logiques qui ont été plus tard refondues formellement comme les quatre cercles de catuskoti : « A », « pas A », « A et pas A » et « pas A et pas pas A ». L’école Nyaya de spéculation philosophique indienne est basée sur des textes connus sous le nom de « Nyaya Sutras » d’Aksapada Gautama datant d’environ le 2e siècle avant J.-C., et sa méthodologie d’inférence est basée sur un système de logique (impliquant une combinaison d’induction et de déduction en allant du particulier au particulier via la généralité) qui a ensuite été adopté par la majorité des autres écoles indiennes.

Mais la logique moderne descend principalement de la tradition grecque antique. Platon et Aristote ont tous deux conçu la logique comme l’étude de l’argumentation et à partir d’une préoccupation pour la justesse de l’argumentation. Aristote a produit six ouvrages sur la logique, connus collectivement sous le nom d' »Organon », le premier d’entre eux, les « Analytiques préalables », étant le premier travail explicite en logique formelle.

Aristote a épousé deux principes de grande importance en logique, la loi du milieu exclu (que toute déclaration est soit vraie, soit fausse) et la loi de non-contradiction (confusément, également connu comme la loi de la contradiction, qu’aucune déclaration est à la fois vrai et faux). Il est peut-être plus célèbre pour avoir introduit le syllogisme (ou logique des termes) (voir la section sur la logique déductive ci-dessous). Ses disciples, connus sous le nom de Péripatéticiens, ont affiné son travail sur la logique.

À l’époque médiévale, la logique aristotélicienne (ou dialectique) était étudiée, avec la grammaire et la rhétorique, comme l’un des trois principaux volets du trivium, le fondement d’une éducation médiévale en arts libéraux.

La logique dans la philosophie islamique a également contribué au développement de la logique moderne, en particulier le développement de la logique avicennienne (qui était responsable de l’introduction du syllogisme hypothétique, de la logique temporelle, de la logique modale et de la logique inductive) comme alternative à la logique aristotélicienne.

Au 18ème siècle, Emmanuel Kant a soutenu que la logique devrait être conçue comme la science du jugement, de sorte que les inférences valides de la logique découlent des caractéristiques structurelles des jugements, bien qu’il ait toujours maintenu qu’Aristote avait essentiellement dit tout ce qu’il y avait à dire sur la logique en tant que discipline.

Au 20ème siècle, cependant, les travaux de Gottlob Frege, Alfred North Whitehead et Bertrand Russell sur la logique symbolique, ont renversé l’affirmation de Kant. Cette nouvelle logique, exposée dans leur ouvrage commun « Principia Mathematica », a une portée beaucoup plus large que la logique aristotélicienne, et contient même la logique classique, bien qu’en tant que partie mineure. Elle s’apparente à un calcul mathématique et traite des relations des symboles entre eux.

La logique en général peut être divisée en logique formelle, logique informelle et logique symbolique et mathématique:

• Logique formelle:
  La logique formelle est ce que nous considérons comme la logique traditionnelle ou la logique philosophique, à savoir l’étude de l’inférence avec un contenu purement formel et explicite (i.c’est-à-dire qu’elle peut être exprimée comme une application particulière d’une règle totalement abstraite), comme les règles de la logique formelle qui nous sont parvenues d’Aristote. (Voir la section sur la logique déductive ci-dessous).
  Un système formel (également appelé calcul logique) est utilisé pour dériver une expression (conclusion) à partir d’une ou plusieurs autres expressions (prémisses). Ces prémisses peuvent être des axiomes (une proposition évidente, prise pour acquise) ou des théorèmes (dérivés en utilisant un ensemble fixe de règles d’inférence et d’axiomes, sans aucune hypothèse supplémentaire).
  Le formalisme est la théorie philosophique selon laquelle les énoncés formels (logiques ou mathématiques) n’ont pas de signification intrinsèque, mais que ses symboles (qui sont considérés comme des entités physiques) présentent une forme qui a des applications utiles.
• Logique informelle:
  La logique informelle est une discipline récente qui étudie les arguments en langage naturel, et tente de développer une logique pour évaluer, analyser et améliorer le raisonnement en langage ordinaire (ou « quotidien »). Le langage naturel désigne ici une langue parlée, écrite ou signée par les humains pour une communication à usage général, à la différence des langues formelles (comme les langages de programmation informatique) ou des langues construites (comme l’espéranto).
  Il se concentre sur le raisonnement et l’argumentation que l’on trouve dans les échanges personnels, la publicité, les débats politiques, les arguments juridiques et les commentaires sociaux qui caractérisent les journaux, la télévision, l’Internet et d’autres formes de médias de masse.
• Logique symbolique:
  La logique symbolique est l’étude des abstractions symboliques qui capturent les caractéristiques formelles de l’inférence logique. Elle traite des relations des symboles entre eux, en utilisant souvent un calcul mathématique complexe, dans une tentative de résoudre des problèmes insolubles que la logique formelle traditionnelle n’est pas en mesure de traiter.
  Elle est souvent divisée en deux sous-branches :
  • Logique des prédicats : un système dans lequel les formules contiennent des variables quantifiables. (Voir la section sur la Logique des Prédicats ci-dessous).
  • Logique propositionnelle (ou Logique Sententielle) : un système dans lequel des formules représentant des propositions peuvent être formées en combinant des propositions atomiques à l’aide de connecteurs logiques, et un système de règles de preuve formelles permet d’établir certaines formules comme des théorèmes. (Voir la section sur la logique propositionnelle ci-dessous).
• Logique mathématique:
  A la fois l’application des techniques de la logique formelle aux mathématiques et au raisonnement mathématique, et, inversement, l’application des techniques mathématiques à la représentation et à l’analyse de la logique formelle.
  Les premières utilisations des mathématiques et de la géométrie en relation avec la logique et la philosophie remontent aux Grecs anciens tels qu’Euclide, Platon et Aristote.
  L’informatique est apparue comme une discipline dans les années 1940 avec les travaux d’Alan Turing (1912 – 1954) sur le Entscheidungsproblem, qui découlaient des théories de Kurt Gödel (1906 – 1978), notamment ses théorèmes d’incomplétude. Dans les années 1950 et 1960, des chercheurs ont prédit que lorsque les connaissances humaines pourraient être exprimées par la logique avec une notation mathématique, il serait possible de créer une machine qui raisonne (ou intelligence artificielle), bien que cela se soit avéré plus difficile que prévu en raison de la complexité du raisonnement humain.Les doctrines liées aux mathématiques comprennent :
  • Logicisme : peut-être la tentative la plus audacieuse d’appliquer la logique aux mathématiques, lancée par des philosophes-logiciens tels que Gottlob Frege et Bertrand Russell, en particulier l’application des mathématiques à la logique sous la forme de la théorie de la preuve, de la théorie des modèles, de la théorie des ensembles et de la théorie de la récursion.
  • Intuitionnisme : doctrine qui soutient que la logique et les mathématiques ne consistent pas en des activités analytiques dans lesquelles des propriétés profondes de l’existence sont révélées et appliquées, mais simplement en l’application de méthodes intérieurement cohérentes pour réaliser des constructions mentales plus complexes.

Le raisonnement déductif concerne ce qui découle nécessairement de prémisses données (c’est-à-dire d’une prémisse générale à une prémisse particulière). Une inférence est déductivement valide si (et seulement si) il n’existe aucune situation possible dans laquelle toutes les prémisses sont vraies et la conclusion fausse. Cependant, il faut se rappeler qu’une prémisse fausse peut éventuellement conduire à une conclusion fausse.

Le raisonnement déductif a été développé par Aristote, Thalès, Pythagore et d’autres philosophes grecs de la période classique. Au cœur du raisonnement déductif se trouve le syllogisme (également connu sous le nom de logique des termes),généralement attribué à Aristote), où une proposition (la conclusion) est déduite de deux autres (les prémisses), dont chacune a un terme en commun avec la conclusion. Par exemple :

Prémisse majeure : Tous les humains sont mortels.
Prémisse mineure : Socrate est humain.
Conclusion : Socrate est mortel.

Un exemple de déduction est :

Toutes les pommes sont des fruits.
Tous les fruits poussent sur les arbres.
Donc toutes les pommes poussent sur les arbres.

On peut nier les prémisses initiales, et donc nier la conclusion. Mais quiconque accepte les prémisses doit accepter la conclusion. Aujourd’hui, certains universitaires affirment que le système d’Aristote n’a guère plus qu’une valeur historique, étant rendu obsolète par l’avènement de la logique des prédicats et de la logique propositionnelle (voir les sections ci-dessous).

Le raisonnement inductif est le processus consistant à dériver une généralisation fiable à partir d’observations (c’est-à-dire du particulier au général), de sorte que l’on croit que les prémisses d’un argument soutiennent la conclusion, mais ne l’assurent pas nécessairement. La logique inductive ne s’intéresse pas à la validité ou à la conclusion, mais à la solidité des déductions pour lesquelles les preuves ne sont pas concluantes.

De nombreux philosophes, dont David Hume, Karl Popper et David Miller, ont contesté ou nié l’admissibilité logique du raisonnement inductif. En particulier, Hume a fait valoir qu’il faut un raisonnement inductif pour arriver aux prémisses du principe du raisonnement inductif, et donc que la justification du raisonnement inductif est un argument circulaire.

Un exemple d’induction forte (un argument dans lequel la vérité de la prémisse rendrait la vérité de la conclusion probable mais non définitive) est:

Tous les corbeaux observés sont noirs.

Donc:

Tous les corbeaux sont noirs.

Un exemple d’induction faible (un argument dans lequel le lien entre la prémisse et la conclusion est faible, et la conclusion n’est même pas nécessairement probable) est:

J’accroche toujours les tableaux aux clous.

Donc:

Tous les tableaux sont accrochés aux clous.

La logique modale est tout système de logique formelle qui tente de traiter des modalités (expressions associées aux notions de possibilité, de probabilité et de nécessité). La logique modale traite donc de termes tels que « éventuellement », « autrefois », « éventuellement », « peut », « pourrait », « pourrait », « peut », « doit », etc.

Les modalités sont des façons dont les propositions peuvent être vraies ou fausses. Les types de modalité comprennent :

• Modalités aléthiques : Comprend la possibilité et la nécessité, ainsi que l’impossibilité et la contingence. Certaines propositions sont impossibles (nécessairement fausses), tandis que d’autres sont contingentes (à la fois possiblement vraies et possiblement fausses).
• Modalités temporelles : Vérité ou fausseté historique et future. Certaines propositions étaient vraies/fausses dans le passé et d’autres seront vraies/fausses dans le futur.
• Modalités déontiques : Obligation et permissibilité. Certaines propositions devraient être vraies/fausses, tandis que d’autres sont permises.
• Modalités épistémiques : Connaissance et croyance. Certaines propositions sont connues pour être vraies/fausses, et d’autres sont crues pour être vraies/fausses.

Bien que la logique d’Aristote soit presque entièrement concernée par les syllogismes catégoriques, il a anticipé la logique modale dans une certaine mesure, et sa connexion avec la potentialité et le temps. La logique modale moderne a été fondée par Gottlob Frege, bien qu’il ait initialement douté de sa viabilité, et elle n’a été développée que plus tard par Rudolph Carnap (1891 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1978), C.I. Lewis (1883 – 1964) et ensuite Saul Kripke (1940 – ) qui a établi le système K, la forme de logique modale que la plupart des chercheurs utilisent aujourd’hui).

La logique propositionnelle (ou logique sententielle) ne s’intéresse qu’aux connecteurs sententiels et aux opérateurs logiques (tels que « et », « ou », « pas », « si …. alors … », « parce que » et « nécessairement »), par opposition à la logique des prédicats (voir ci-dessous), qui se préoccupe également de la structure interne des propositions atomiques.

La logique propositionnelle étudie donc les façons de joindre et/ou de modifier des propositions, des énoncés ou des phrases entières pour former des propositions, des énoncés ou des phrases plus complexes, ainsi que les relations et les propriétés logiques qui découlent de ces méthodes de combinaison ou de modification des énoncés. En logique propositionnelle, les énoncés les plus simples sont considérés comme des unités indivisibles.

Les philosophes stoïciens de la fin du 3e siècle avant J.-C. ont tenté d’étudier des opérateurs d’énoncés tels que « et », « ou » et « si… alors… », et Chrysippe (vers 280-205 avant J.-C.) a avancé une sorte de logique propositionnelle, en marquant un certain nombre de façons différentes de former des prémisses complexes pour les arguments. Ce système a également été étudié par les logiciens médiévaux, bien que la logique propositionnelle n’ait pas vraiment porté ses fruits avant le milieu du 19e siècle, avec l’avènement de la logique symbolique dans les travaux de logiciens comme Augustus DeMorgan (1806-1871), George Boole (1815-1864) et Gottlob Frege.

La logique des prédicats permet d’analyser les phrases en sujet et argument de plusieurs manières différentes, contrairement à la logique syllogistique aristotélicienne, où les formes que prenait la partie pertinente des jugements impliqués doivent être spécifiées et limitées (voir la section sur la logique déductive ci-dessus). La logique des prédicats est également capable de donner un compte rendu des quantificateurs suffisamment général pour exprimer tous les arguments survenant dans le langage naturel, permettant ainsi de résoudre le problème de la généralité multiple qui avait rendu perplexes les logiciens médiévaux.

Par exemple, il est intuitivement clair que si :

Un certain chat est craint par toutes les souris

alors il s’ensuit logiquement que :

Toutes les souris ont peur d’au moins un chat

mais parce que les phrases ci-dessus contiennent chacune deux quantificateurs (« certains » et « tous » dans la première phrase et « tous » et « au moins un » dans la deuxième phrase), elles ne peuvent pas être représentées de manière adéquate dans la logique traditionnelle.

La logique des prédicats a été conçue comme une forme de mathématiques, et en tant que telle est capable de toutes sortes de raisonnements mathématiques au-delà des pouvoirs de la logique des termes ou de la logique syllogistique. En logique du premier ordre (également connue sous le nom de calcul des prédicats du premier ordre), un prédicat ne peut se référer qu’à un seul sujet, mais la logique des prédicats peut également traiter de la logique du second ordre, de la logique d’ordre supérieur, de la logique à plusieurs triages ou de la logique infinitaire. Elle est également capable de nombreuses inférences de sens commun qui échappent à la logique des termes, et (avec la logique propositionnelle – voir ci-dessous) a pratiquement supplanté la logique traditionnelle des termes dans la plupart des cercles philosophiques.

La logique des prédicats a été initialement développée par Gottlob Frege et Charles Peirce à la fin du 19e siècle, mais elle a atteint sa pleine maturité dans l’atomisme logique de Whitehead et Russell au 20e siècle (développé à partir de travaux antérieurs de Ludwig Wittgenstein).

Une erreur logique est toute sorte d’erreur de raisonnement ou d’inférence, ou, essentiellement, tout ce qui fait qu’un argument tourne mal. Il existe deux grandes catégories de sophismes, les sophismes d’ambiguïté et les sophismes contextuels :

• sophismes d’ambiguïté : un terme est ambigu s’il a plus d’un sens. Il en existe deux types principaux :
  • équivoque : lorsqu’un seul mot peut être utilisé dans deux sens différents.
  • amphibole : lorsque l’ambiguïté provient de la structure de la phrase (souvent en raison de participes ballants ou de l’utilisation inexacte des négations), plutôt que du sens des mots individuels.
• Fallacies contextuelles : qui dépendent du contexte ou des circonstances dans lesquelles les phrases sont utilisées. Il en existe de nombreux types, parmi les plus courants :
  • Fallacies de signification : lorsqu’il n’est pas clair si une affirmation est significative ou non.
  • Fallacies d’emphase : l’emphase incorrecte des mots dans une phrase.
  • Fallacies de la citation hors contexte : la manipulation du contexte d’une citation.
  • Fallacies de l’Argumentum ad Hominem : on ne peut pas démontrer qu’une affirmation est fausse simplement parce qu’on peut démontrer que l’individu qui la fait a un caractère défectueux.
  • Les sophismes de l’argument d’autorité : la vérité ou la fausseté ne peut être prouvée simplement parce que la personne qui la dit est considérée comme une « autorité » sur le sujet.
  • Les sophismes des arguments qui font appel aux sentiments : rapporter ce que les gens ressentent à propos de quelque chose afin de persuader plutôt que de prouver.
  • Les sophismes de l’argument de l’ignorance : une affirmation ne peut pas être prouvée vraie simplement parce qu’il n’y a pas de preuves pour la réfuter.
  • Les sophismes de la question piège : un argument circulaire, où effectivement la même affirmation est utilisée à la fois comme prémisse et comme conclusion.
  • Faux raisonnements de composition : l’hypothèse selon laquelle ce qui est vrai d’une partie est également vrai du tout.
  • Faux raisonnements de division : l’hypothèse inverse selon laquelle ce qui est vrai d’un tout doit également être vrai de toutes ses parties.
  • Fallacies de conclusion non pertinente : lorsque la conclusion concerne autre chose que ce que l’argument cherchait initialement à prouver.
  • Fallacies de non-séquitur : un saut argumentatif, où la conclusion ne découle pas nécessairement des prémisses.
  • Fallacies de la statistique : les statistiques peuvent être manipulées et biaisées pour « prouver » de nombreuses hypothèses différentes.

Ce ne sont que quelques-uns des types les plus couramment rencontrés, la page de l’Encyclopédie Internet de la philosophie sur les fallacies en recense 176 !

Un paradoxe est une déclaration ou un sentiment qui est apparemment contradictoire ou opposé au sens commun et qui est pourtant peut-être vrai dans les faits. Inversement, un paradoxe peut être une déclaration qui est en fait auto-contradictoire (et donc fausse) même si elle semble vraie. Typiquement, soit les déclarations en question n’impliquent pas vraiment la contradiction, soit le résultat déroutant n’est pas vraiment une contradiction, soit les prémisses elles-mêmes ne sont pas toutes vraiment vraies ou ne peuvent pas être toutes vraies ensemble.

La reconnaissance des ambiguïtés, des équivoques et des hypothèses non formulées sous-jacentes aux paradoxes connus a conduit à des avancées significatives en science, en philosophie et en mathématiques. Mais de nombreux paradoxes (par exemple le paradoxe de Curry) n’ont pas encore de résolutions universellement acceptées.

On peut avancer qu’il existe quatre classes de paradoxes :

• Paradoxes véridiques : qui produisent un résultat qui semble absurde mais dont on peut démontrer qu’il est néanmoins vrai.
• Paradoxes faussaires : qui produisent un résultat qui non seulement semble faux mais qui l’est réellement.
• Antinomies : qui ne sont ni véridiques ni faussaires, mais produisent un résultat auto-contradictoire en appliquant correctement les modes de raisonnement admis.
• Dialéthées : qui produisent un résultat qui est à la fois vrai et faux en même temps et dans le même sens.

Les paradoxes résultent souvent de l’autoréférence (où une phrase ou une formule se réfère directement à elle-même), de l’infini (un argument qui génère une régression infinie, ou une série infinie de références justificatives), des définitions circulaires (dans lesquelles une proposition à prouver est supposée implicitement ou explicitement dans l’une des prémisses), l’imprécision (lorsqu’il n’est pas possible de déterminer clairement si un concept s’applique ou non), les déclarations fausses ou trompeuses (assertions qui sont volontairement ou non fausses ou trompeuses) et les demi-vérités (déclarations trompeuses qui comprennent un élément de vérité).

Parmi les paradoxes célèbres, citons :

• Paradoxe du menteur d’Epiménide : Epiménide était un Crétois qui a dit « Tous les Crétois sont des menteurs. » Devons-nous le croire ?
• Paradoxe du menteur (2) : « Cette phrase est fausse. »
• Paradoxe du menteur (3) : « La phrase suivante est fausse. La phrase précédente est vraie. »
• Paradoxe de Curry : « Si cette phrase est vraie, alors le Père Noël existe. »
• Paradoxe de Quine : « produit du faux quand il est précédé de sa citation » produit du faux quand il est précédé de sa citation.
• Paradoxe du barbier de Russell : Si un barbier rase tous et seulement les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes, se rase-t-il lui-même ? »
• Paradoxe du grand-père : Supposons qu’un voyageur du temps remonte le temps et tue son grand-père alors que ce dernier n’était qu’un enfant. Si son grand-père meurt dans son enfance, alors le voyageur du temps ne peut pas naître. Mais si le voyageur du temps n’est jamais né, comment peut-il avoir voyagé dans le temps en premier lieu ?
• Paradoxe de la dichotomie de Zénon : Avant qu’un objet en mouvement puisse parcourir une certaine distance (par exemple, une personne traversant une pièce), il doit arriver à mi-chemin. Avant d’arriver à mi-chemin, il doit parcourir un quart du chemin. Avant de parcourir un quart, elle doit parcourir un huitième ; avant un huitième, un seizième ; et ainsi de suite. Comme cette séquence se poursuit indéfiniment, un nombre infini de points doivent être traversés, ce qui est logiquement impossible dans un temps fini, de sorte que la distance ne sera jamais couverte (la pièce traversée, etc).
• Paradoxe de Zénon d’Achille et la tortue : Si Achille permet à la tortue de prendre de l’avance dans une course, alors au moment où Achille est arrivé au point de départ de la tortue, celle-ci a déjà couru sur une distance plus courte. Au moment où Achille atteint ce deuxième point, la tortue a encore avancé, etc, etc. Achille ne pourra donc jamais rattraper la tortue.
• Paradoxe de la flèche de Zénon : Si une flèche est tirée par un arc, alors à tout moment, soit la flèche est là où elle est, soit elle est là où elle n’est pas. Si elle se déplace là où elle est, alors elle doit être immobile, et si elle se déplace là où elle n’est pas, alors elle ne peut pas être là. Ainsi, il ne peut pas bouger du tout.
• Paradoxe du bateau de Thésée : Après la mort de Thésée, son bateau a été mis en exposition publique. Au fil du temps, toutes les planches avaient pourri à un moment ou à un autre, et avaient été remplacées par de nouvelles planches assorties. Si rien ne subsistait du navire « original » réel, s’agissait-il encore du navire de Thésée ?
• Paradoxe de Sorites (tas de sable) : si l’on retire un grain de sable d’un tas, celui-ci reste un tas. Si les grains sont retirés individuellement, s’agit-il encore d’un tas lorsqu’il ne reste qu’un seul grain ? Si non, quand est-il passé d’un tas à un non-tas ?
• Paradoxe du corbeau de Hempel : Si tous les corbeaux sont noirs, alors en termes stricts d’équivalence logique, tout ce qui n’est pas noir n’est pas un corbeau. Ainsi, chaque observation d’un pull bleu ou d’une tasse rouge confirme l’hypothèse que tous les corbeaux sont noirs.
• Paradoxe de Pétrone » « Modération en toutes choses, y compris la modération. »
• Avis paradoxal : « Veuillez ignorer cet avis. »
• Paradoxe des nombres ennuyeux : S’il existe une chose comme un nombre ennuyeux, alors nous pouvons diviser tous les nombres en deux ensembles – intéressant et ennuyeux. Dans l’ensemble des nombres ennuyeux, il n’y aura qu’un seul nombre qui sera le plus petit. Comme il s’agit du plus petit nombre ennuyeux, il devient, ipso facto, un nombre intéressant. Il faut donc l’enlever de l’ensemble terne et le placer dans l’autre. Mais maintenant, il y aura un autre plus petit nombre inintéressant. La répétition de ce processus rendra tout nombre terne intéressant.
• Paradoxe de l’élève de Protagoras : Un avocat passa un accord avec l’un de ses élèves selon lequel l’élève devait payer son instruction après avoir gagné son premier procès. Au bout d’un certain temps, l’avocat s’impatiente devant le manque de clients de l’élève et décide de le poursuivre en justice pour le montant dû. La logique de l’avocat était la suivante : si lui, l’avocat, gagnait, l’élève le paierait selon le jugement du tribunal ; si l’élève gagnait, il devrait honorer l’accord et payer quand même. L’élève, cependant, a fait valoir que si lui, l’élève, gagnait, alors par le jugement du tribunal il n’avait pas besoin de payer l’avocat ; et si l’avocat gagnait, alors l’accord n’entrait pas en vigueur et l’élève n’avait pas besoin de payer l’avocat.
• Paradoxe de Moore : « Il pleuvra mais je ne crois pas qu’il pleuvra. »
• Chat de Schrödinger : Il y a un chat dans une boîte scellée, et la vie ou la mort du chat dépend de l’état d’une particule subatomique particulière. Selon la mécanique quantique, la particule n’a un état défini qu’au moment exact de la mesure quantique, de sorte que le chat reste à la fois vivant et mort jusqu’au moment où la boîte est ouverte.
• « Turtles all the way down » : Une histoire de régression infinie, souvent attribuée à Bertrand Russell mais datant probablement de siècles plus tôt, basée sur un vieux mythe cosmologique (peut-être indien) selon lequel la terre est un disque plat soutenu par un éléphant géant qui est à son tour soutenu par une tortue géante. Dans l’histoire, lorsqu’on demandait ce qui soutenait alors la tortue, la réponse était « c’est des tortues tout le long ».

Trois doctrines qui peuvent être considérées sous le titre de Logique sont :

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