A fizika tudományában a gravitációs mező az a hatás, amelyet egy tömeges test kiterjeszthet a körülötte lévő térre, és ezzel erőt fejt ki egy másik tömeges testre. Másképpen fogalmazva tehát a gravitációs mező segít megmagyarázni a gravitációs jelenségeket, és kilogrammonként newtonban (N/kg) mérik. Sir Isaac Newton fedezte fel a gravitációt és annak erőit. A gravitációs mező a Föld felszínén kissé változik. Tanulmányozzuk részletesen a gravitációs mező képletét.
Mi a gravitációs mező?
A gravitációs mezőként határozzuk meg azt az egységnyi tömegre jutó gravitációs erőt, amely egy kis próbatömegre az adott pontban hatna. Ez egy vektormező, és annak az erőnek az irányába mutat, amelyet egy kis próbatömeg az adott ponton érezne. Tekintsünk egy M tömegű pontszerű részecskét, akkor a g kifejezéssel jelölt eredő gravitációs térerősség nagyságát az M-től r távolságra a képlet adja meg,
\(g= \frac{GM}{r^{2}}}\)
Newton gravitációs törvénye kimondja, hogy a gravitációs erő két, egymástól r távolságra lévő M és m ponttömeg között a vákuumban vonzó, a középpontjukat összekötő vonal mentén hat, és arányos a tömegekkel, valamint fordítottan arányos a távolságuk négyzetével. Ez a képlet,
\(F\alpha \frac{Mm}{r^{2}}}\)
A SI-rendszerben az arányossági állandó a G, a gravitációs állandó, amelynek értéke \(6.67 \szor 10^{-11}Nm^{2} kg^{-2}\), így ezt így írhatjuk fel:
\(F= \frac{GMm}{r^{2}}\)
A gravitációs erő vagy az m tömegre ható súly, az 𝑔 gravitációs mezőben 𝑔, a következőképpen adódik: 𝐹 = m𝑔. A Föld felszínén 𝑔 nagysága \(\frac{GM}{R^{2}_{E}}= 9,81 ms^{-2}\), ahol \(R_{E}\) a Föld sugara.
Forrás: en.wikipedia.org
A gravitációs mező képlete:
A Föld közelében a gravitáció okozta gyorsulás a tárgynak a Föld középpontjától mért távolságától függ. A gravitációs mező képlete nagyon hasznos. Használata segít megtalálni a térerősséget, vagyis a gravitáció okozta gyorsulást a Föld körüli bármely pozícióban. A Föld sugara \(R_{E}= 6,38 \szor 10^{6}m\) , ezért a képletben szereplő r értékek (jellemzően) nagyobbak, mint ez a sugár. A gravitációs mező erősségét kilogrammonként newtonban mérik.
\(\left ( \frac{N}{kg} \right )\), vagy a gyorsulással azonos mértékegységben \(\frac{m}{s^{2}}\)
\(g\left ( r \right )=\frac{Gm_{g}}{r^{2}}}\)
g(r) = a Föld gravitációs térerőssége, \(\left ( \frac{N}{kg} \right ) vagy \frac{m}{s^{2}}}\)
G = gravitációs állandó ()
\( m_{E}\)= a Föld tömege \(\left ( 5.98\times 10^{24}\right ) kg\)
r = távolság a Föld középpontjától (m).
A két tárgy közötti gravitációs vonzás csak akkor befolyásolja a mozgásukat, ha legalább az egyik tárgy nagy tömegű. A Föld tömege körülbelül 6 × 1024 kg.
A gravitációs mező képletének alkalmazása
A gravitációs mező számításának sok felhasználási területe van az űrkutatásban. Használják a műholdak helymeghatározására az űrben. Rakéták űrbe küldésekor is használják.
A gravitációs mező képlet megoldott példái
Q.1. Mekkora a gravitációs térerősség a Föld felszínén, \(R_{g}= 6,38 \szor 10^{6}m\)?
Ans- A gravitációs térerősség a Föld felszínén:
\(g\left ( r \right )= \frac{Gm_{g}}{r^{2}}\)
\(g\left ( R_{E} \right ) = \frac{Gm_{E}}}{\left ( R_{E} \right )^{2}}\)
= \(\frac{\left (6.67 \times 10^{-11} N.\frac{m^{2}}{kg^{2}}} \right )\left ( 5.98\times 10^{24}kg \right )}{ \left ( 6.38 \times 10^{6}m \right )^{2}}\)
\(= \frac{\left (6.67 \times 10^{-11} N.\frac{m^{2}}{kg^{2}}} \right )\left ( 5.98\times 10^{24}kg \right )}{ 40.7044\times 10^{12}m^{2}}\)
= \(0.9799 \times 10^{-11+24-12}\frac{N}{kg}\)
\(= 0.9799 \times 10^{1}\frac{N}{kg}\)
\(g\left ( R_{E} \right ) = 0.9799 \frac{N}{kg}\)
A gravitációs térerősség a Föld felszínén megközelítőleg \(9,799 \frac{N}{kg}\). Ez a Föld felszínén \(9.799 \frac{m}{s^{2}}}\)
gravitációs gyorsulásnak felel meg.