A távcsöves megfigyelések vagy a csillagászattal kapcsolatos témájú előadások során sokféle emberrel beszélek. Az egyik leggyakoribb kérdés, amit kapok, hogy “hogyan ismerjük……?”. Lehet, hogy “honnan tudjuk, mekkora a Szaturnusz”, vagy “honnan tudjuk, milyen messze van a Nap”, mindezek a kérdések rávilágítanak a tudomány alapvető fejlődésére az elmúlt évszázadokban, és néhány olyan úttörő felfedezésre, mint Newton és Halley a tudomány úttörőinek hosszú listájáról. Úgy gondoltam, egy kicsit elmélyedek abban a kérdésben, hogy honnan tudjuk, mekkora a Szaturnusz tömege.
Most már rendelkezésünkre áll néhány egyenlet az érték kiszámításához, de képzeljük el, milyen lehetett az 1600-as és 1700-as évek korai csillagászainak, akik még csak most jutottak hozzá a távcsövek használatához, és kezdték összerakni a világegyetem rejtélyeit, kezdve a saját Naprendszerünkkel.
A Szaturnusz keringési idejének meghatározása
Nézzük meg ezt a problémát lépésről lépésre, először is tudnunk kell, mennyi idő alatt tesz meg a Szaturnusz egy Nap körüli fordulatot. Ez egyszerűen hosszú időn át tartó megfigyelésekkel történik, és ez az egyik legfontosabb információ ahhoz, hogy megértsük, hol helyezkedik el egy bolygó a Naprendszerben. A Szaturnusz esetében a megfigyelőnek csak azt kell figyelnie, hogy a Szaturnusz az ekliptikán a háttércsillagok között halad át, egészen 29 évvel későbbig, amikor is megtett egy teljes kört.
Mivel a Föld minden évben utoléri és elhalad a Szaturnusz mellett, a bolygó egy kicsit retrográdot tesz, és úgy tűnik, hogy minden évben egy rövid időre nyugatra megy, így az útja az ekliptikán keresztül nem egyenletes. A kis retrográd mozgástól eltekintve a bolygó minden évben lassan halad át az ekliptikán kelet felé. A Szaturnusz gondos megfigyelése tehát 29,44 földi évet adna arra, hogy a bolygó megtegyen egy kört a Nap körül. Ezt te magad is megmérheted, csak nagyon türelmesnek kell lenned.
Amikor a megfigyelők már tudták, hogy a Nap a Naprendszer középpontja, viszonylag könnyen ki tudták számítani a bolygók keringési idejét. Kepler az 1600-as évek elején dolgozta ki a bolygómozgás három törvényét, és ezek alapján tudták kiszámítani, hogy a bolygók milyen messze vannak a Naptól.
Kepler harmadik bolygómozgási törvénye
Kepler harmadik bolygómozgási törvénye kimondja, hogy egy bolygó pályájának négyzete egyenlő a fél nagytengelyének kockájával, így miután ezt az összefüggést felfedezték, Kepler ki tudta számítani a bolygók relatív távolságát a Naptól. A Szaturnusz félnagytengelyének kiszámításához csak a keringési periódusra van szükségünk, amit az elmúlt 29 és fél év gondos megfigyelései révén már megkaptunk.
A fenti számításban a 9,534 somethings valójában egy csillagászati egységnek nevezett mértékegység. Egy csillagászati egység a Föld és a Nap távolsága. Tehát ha a Föld keringési ideje egy év, akkor ennek a négyzetének egyenlőnek kell lennie eggyel, és egyenlőnek kell lennie a fél nagytengely kockájával is. A félnagytengely egy csillagászati egység, és az egy egység kockája egyenlő eggyel, tehát minden a Föld keringési idejére és a Föld Naptól való távolságára vonatkozik, ezért a Szaturnuszra adott válasznak is a Föld Naptól való távolságára kell vonatkoznia.
A csillagászati egység
Az 1700-as években a tudósok nem tudták a Föld és a Nap távolságát, és elég sok munkára és a Vénusz 1761-es és 1769-es átvonulásának aprólékos megfigyelésére volt szükség ahhoz, hogy végül kiderüljön, hogy a távolság körülbelül 150 000 000 km. Miután ezt megtették, tudták, hogy a Szaturnusznak 1,427,000,000,000,000 km-re kell lennie a Naptól. Ez a szám és a Föld és a Nap távolsága, valamint annak ismerete, hogy a Föld és a Szaturnusz hol van egymáshoz képest, lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk a Föld és a Szaturnusz távolságát. Ez a szám azért fontos, hogy a mért szögtávolságokat méterben kifejezett abszolút távolságokká alakítsuk.
Titán
A Szaturnusz tömegének meghatározásához meg kell találnunk a Szaturnusz egy olyan holdját, amelyről méréseket tudunk végezni. A legfényesebb a Titan, körülbelül +9,3 magnitúdóval, így egy elfogadható távcsővel elég pontos méréseket lehet végezni a keringési idejéről és a fél nagytengelyéről.
A Titan néhány hónapos távcsöves megfigyelésével elfogadható pontossággal meg tudjuk határozni, hogy a keringési ideje 15,95 nap. Nem használhatjuk Kepler harmadik törvényét arra, hogy megtaláljuk a Titán fél nagytengelyét, mert az a Szaturnusz tömegétől függ – ami egészen más, mint a Napé, tegyünk úgy, mintha nem ismernénk a Szaturnusz rendszerre vonatkozó állandót. A jó hír az, hogy meg tudjuk mérni a félnagytengelyt.
A távcsövek nagyon finom szögméréseket tudnak végezni, így egy kis trigonometriával kiszámíthatjuk, hogy a Titán félnagytengelye körülbelül 1 200 000 km. Ezt azért tudjuk, mert már kiszámoltuk a Nap és a Szaturnusz távolságát, és ismerjük a Föld és a Nap távolságát, és tudjuk, hogy a két bolygó hol van egymáshoz képest a saját pályáján.
A számítás ideje
A Szaturnusz tömegének kiszámításához egy kicsit többet kell foglalkozni Kepler harmadik bolygómozgási törvényével, így szerencsére jött Newton, aki rájött, hogy összefüggés van a tömeg és a sebesség között, amellyel valami kering, minél nehezebb egy bolygó, annál erősebb a vonzása valamelyik holdjára, és ezért annál gyorsabban fog keringeni az a hold. Ha tehát megmérjük a Szaturnusz egyik holdjának keringési idejét, és kiszámítjuk a hold fél nagytengelyét, akkor egy kis matematikával kiszámíthatjuk a Szaturnusz tömegét.
A képlet elsőre kicsit ijesztőnek tűnik, de valójában nagyon hasonlít Kepler harmadik törvényére, csak Newton egy csomó extra dolgot tömött a fél nagytengely kockája (a³) elé. Tehát ha csak az a³ előtti és a vonal feletti részekkel foglalkozunk, akkor azt látjuk, hogy ez a pi négyzetének négyszerese, ami mindig ugyanaz az érték, körülbelül 39,44.
A képlet egy kicsit egyszerűbbé tétele
A vonal alatti rész egy kicsit nagyobb kihívás. Először is a “G” a gravitációs állandó, aminek a kiszámítása sokáig tartott, de ma már tudjuk, hogy 0,0000000000667 m³/kgs². A két “M” a Szaturnusz és a Titán tömegét jelenti. Ezek egy “M”-re redukálhatók, mert azt mondhatjuk, hogy a Titán tömege olyan pici a Szaturnusz tömegéhez képest, hogy aligha lenne jelentősége a számításban. A Szaturnusz tömege plusz a Titán tömege nagyon közel van csak a Szaturnusz tömegéhez, így gyakorlatilag figyelmen kívül hagyhatjuk a Titán tömegét a számításban. Így a képlet a következő lesz:
Még egy kis algebrát kell végeznünk, hogy minden egyenlő legyen M-el, mert ezt az értéket akarjuk megtalálni.
Szóval tudjuk, hogy “a” 1,200,000 km, de nekünk ez méterben kell, ami 1,200,000,000 méter. Tudjuk, hogy “p” 15,95 nap, de ez másodpercben kell, ami 1 378 080 másodperc. Azt már tudjuk, hogy a G állandója 0,0000000000667 m³/kgs².
Ha ezeket a számokat bedugjuk a fenti képletbe, meg kell kapnunk a Szaturnusz tömegét kilogrammban. Ha ezeket a számokat bedugjuk egy számológépbe, akkor 5,38 x 10²⁶kg-ot kapunk, ami elég közel van a valós értékhez, ami 5,68 x 10²⁶kg (kb. 95-ször nagyobb tömegű, mint a Föld).
Ha az Iapetusra vonatkozó adatokat használtuk, akkor az érték nagyobb, 5,87 x 10²⁶kg, a Phoebe esetében pedig sokkal közelebbi 5. A Szaturnusz tömegére vonatkozó számadatokat használjuk.6 x 10²⁶kg, bár a Phoebe méréséhez nagyon erős távcsőre lesz szükséged, mivel 17,3 magnitúdójú, tehát nagyon halvány.
Íme, megvan, hogyan kell kiszámítani a Szaturnusz tömegét, csak egy távcsőre, sok tiszta éjszakára, egy számológépre és néhány nagyon hasznos képletre van szükséged, amelyeket Kepler és Newton talált ki. Ráadásul szükséged volt a rengeteg tudós és csillagász jó munkájára, akik kitalálták a csillagászati egységet és a gravitációs állandót. A csodálatos dolog az, hogy mindezt a Föld felszínéről is megteheted.
Oké, most menj és számold ki a Jupiter tömegét!