Miért tanuljunk a fraktálokról?
Fraktálok mindenütt vannak! Ha nem hiszel nekem, csak nézz ki az ablakodon kívülre. A fák és bokrok formáitól kezdve a hegyek cakkos profilján át a szabálytalan partvonalakig természeti világunk számos jellemzője fraktálgeometria által modellezettnek tűnik.
De mi is pontosan az a fraktál? Amint azt ebben a modulban megtanulhatod, a fraktál olyan objektum, amely minden szinten önhasonlóságot mutat. Azaz, ha ráközelítesz egy részre, az hasonlít az egész képre. Ennek az önhasonlóságnak nem kell pontosnak lennie; valójában sok fraktál mutat némi variációt vagy véletlenszerűséget. Az alábbi videón látható, hogy a Mandelbrot-halmaz, egy jól ismert fraktál, hogyan mutatja az önhasonlóságot.
Míg néhány fraktál (mint például a Mandelbrot-halmaz) akár műalkotásnak is megfelelhetne, a fraktálok igazi szépsége abban rejlik, hogy ilyen bonyolult minták és minták nagyon elemi generáló képletekből vagy szabályokból is létrejöhetnek.
Ebben a modulban megtanulod, hogyan hozhatsz létre olyan fraktálmintákat, mint a Mandelbrot-halmaz, egy olyan egyszerű képlet segítségével, mint:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Természetesen sok olyan részletet kell még elmagyarázni, mint például a fraktálok és a komplex számok közötti kapcsolat. A fenti képletben szereplő c, z_n és z_{n+1} értékek feltételezhetően komplex számok, vagyis olyan számok, amelyek tartalmazzák a képzeletbeli egységet, i = \sqrt{-1}.
A képzeletbeli i szám valami egészen más, mint bármelyik szám, amit valaha is láttál. Valójában az i egyáltalán nem jelenik meg a számegyenesen! Ehelyett, mint hamarosan felfedezed, a képzeletbeli egység egy saját, külön számegyenesen él, amit képzeletbeli tengelynek hívnak, és amely merőleges a szokásos számegyenesre (vagy valós tengelyre).
A Mandelbrot-halmaz maga azon komplex számokból áll, amelyek egy egyszerű egyenlethez kapcsolódó bizonyos szabálynak megfelelnek. Az így kapott kép lenyűgöző, és a nagyítással egyre lenyűgözőbbé válik!
A Mandelbrot-halmaz a komplex síkban.