15.2: Moto armonico semplice

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Equazioni di SHM

Consideriamo un blocco attaccato a una molla su un tavolo senza attrito (Figura \(\PageIndex{3}). La posizione di equilibrio (la posizione in cui la molla non è né tesa né compressa) è segnata come x = 0 . Nella posizione di equilibrio, la forza netta è zero.

Figura \(\PageIndex{3}): Un blocco è attaccato ad una molla e posto su un tavolo senza attrito. La posizione di equilibrio, dove la molla non è né estesa né compressa, è segnata come x = 0.

Si lavora sul blocco per tirarlo fuori fino alla posizione di x = + A, e poi lo si rilascia da fermo. La posizione massima di x (A) è chiamata ampiezza del movimento. Il blocco inizia ad oscillare in SHM tra x = + A e x = -A, dove A è l’ampiezza del moto e T è il periodo dell’oscillazione. Il periodo è il tempo di un’oscillazione. La figura \(\PageIndex{4}) mostra il movimento del blocco mentre completa un’oscillazione e mezza dopo il rilascio.

Figura \(\PageIndex{4}): Un blocco è attaccato ad un’estremità di una molla e posto su un tavolo senza attrito. L’altra estremità della molla è ancorata al muro. La posizione di equilibrio, dove la forza netta è uguale a zero, è segnata come x = 0 m. Il lavoro viene fatto sul blocco, tirandolo fuori a x = + A, e il blocco viene rilasciato da fermo. Il blocco oscilla tra x = + A e x = -A. La forza è anche mostrata come un vettore.

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L’equazione per la posizione in funzione del tempo \(x(t) = A\cos( \omega t)\) è buona per modellare i dati, dove la posizione del blocco al tempo iniziale t = 0.00 s è all’ampiezza A e la velocità iniziale è zero. Spesso quando si prendono dati sperimentali, la posizione della massa al tempo iniziale t = 0,00 s non è uguale all’ampiezza e la velocità iniziale non è zero. Consideriamo 10 secondi di dati raccolti da uno studente in laboratorio, mostrati nella Figura \(\PageIndex{6}\).

Figura \(\PageIndex{6}\: I dati raccolti da uno studente in laboratorio indicano la posizione di un blocco attaccato ad una molla, misurata con un telemetro sonico. I dati sono raccolti a partire dal tempo t = 0.00s, ma la posizione iniziale è vicina alla posizione x ≈ – 0.80 cm ≠ 3.00 cm, quindi la posizione iniziale non è uguale all’ampiezza x0 = + A. La velocità è la derivata temporale della posizione, che è la pendenza in un punto del grafico della posizione rispetto al tempo. La velocità non è v = 0.00 m/s al tempo t = 0.00 s, come evidente dalla pendenza del grafico della posizione rispetto al tempo, che non è zero al tempo iniziale.

I dati nella Figura \(\PageIndex{6}\) possono ancora essere modellati con una funzione periodica, come una funzione coseno, ma la funzione è spostata a destra. Questo spostamento è noto come uno spostamento di fase ed è solitamente rappresentato dalla lettera greca phi (\(\phi\)). L’equazione della posizione in funzione del tempo per un blocco su una molla diventa

Questa è l’equazione generalizzata per SHM dove t è il tempo misurato in secondi, \(\omega\) è la frequenza angolare con unità di secondi inversi, A è l’ampiezza misurata in metri o centimetri, e \(\phi\) è lo spostamento di fase misurato in radianti (Figura \(\PageIndex{7}). Va notato che poiché le funzioni seno e coseno differiscono solo per uno spostamento di fase, questo movimento potrebbe essere modellato usando sia la funzione coseno che quella seno.

La velocità della massa su una molla, oscillante in SHM, può essere trovata prendendo la derivata dell’equazione di posizione:

Perché la funzione seno oscilla tra -1 e +1, la velocità massima è l’ampiezza per la frequenza angolare, vmax = A\(\omega\). La velocità massima si verifica nella posizione di equilibrio (x = 0) quando la massa si muove verso x = + A. La velocità massima in direzione negativa è raggiunta nella posizione di equilibrio (x = 0) quando la massa si muove verso x = -A ed è uguale a -vmax.

L’accelerazione della massa sulla molla può essere trovata prendendo la derivata temporale della velocità:

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