Il Teorema di Pitagora: La via della verità

Pitagora (569-475 a.C.) è riconosciuto come il primo matematico del mondo. Nacque sull’isola di Samo e si pensa che abbia studiato con Talete e Anassimandro (riconosciuti come i primi filosofi occidentali). Pitagora credeva che i numeri non fossero solo la via della verità, ma la verità stessa. Attraverso la matematica, si poteva raggiungere l’armonia e vivere una vita più facile. Si dice che abbia proposto una serie di teoremi matematici a questo scopo ma, di tutti questi, rimane solo il famoso Teorema di Pitagora (Allen, 1966).

Lo storico Robinson scrive: “L’affermazione che `Pythagoras lavorò molto duramente al lato aritmetico della geometria’ è ulteriormente confermata dalla tradizione che egli studiò il problema aritmetico di trovare triangoli che avessero il quadrato su un lato uguale alla somma dei quadrati sugli altri due” e lo fece, presto, usando pietre in file per capire le verità che stava cercando di trasmettere (1968). Il Teorema di Pitagora afferma che a² + b² = c². Questo viene usato quando ci viene dato un triangolo in cui conosciamo solo la lunghezza di due dei tre lati. C è il lato più lungo dell’angolo noto come ipotenusa. Se a è l’angolo adiacente allora b è il lato opposto. Se b è l’angolo adiacente allora a è il lato opposto. Se a = 3, e b = 4, potremmo poi risolvere per c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Questo è uno dei primi usi del Teorema di Pitagora.

Ci sono molte prove del Teorema di Pitagora, la più conosciuta è quella di Euclide dal Libro I dei suoi Elementi.

Proposizione: Nei triangoli rettangoli il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.
Euclide partì da una configurazione pitagorica e poi tracciò una linea attraverso un diagramma che illustrava le uguaglianze delle aree. Ha concluso che AB/AC = AC/HA, quindi (AC)² = (HA)(AB). Poiché AB=AJ, l’area del rettangolo HAJG corrisponde all’area del quadrato di lato AC. Allo stesso modo, AB/BC = BC/BH scritto anche come (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD) e poiché AB=BD. Così vediamo che la somma delle aree dei rettangoli è l’area del quadrato sull’ipotenusa. Nelle parole di Stephanie Morris, “Questo completa la dimostrazione” (Morris, 2011).

Un’altra dimostrazione, che è più facile da capire per le persone, inizia con un rettangolo diviso in tre triangoli, tutti con angoli retti.
Il triangolo BEA e il triangolo BCE si sovrappongono al triangolo ACD. Confrontando il triangolo BCE e il triangolo ACD, e guardando i loro lati corrispondenti, vediamo che AC/BC = AD/EC. Poiché AD = BC, AC/AD = AD/EC. Attraverso la moltiplicazione questa equazione è resa (AD)² = (AC)(AE). Dai triangoli ABC e ABE, notando che AB = CD, confrontando gli angoli retti di queste due figure si rende l’equazione AC/AB = CD/AE. Dalla forma originale del rettangolo avevamo AB = CD data anche come AC/CD = CD/AE, che si scrive come un problema di moltiplicazione come (CD)² = (AC)(AE) e aggiungendo le equazioni che abbiamo finora, otteniamo due nuove formule che sono (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC) (EC) e (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Poiché AC = AE + EC, otteniamo (CD)² + (AD)² = (AC)². Come per la prova precedente, questo dimostra la validità del Teorema di Pitagora (Morris, 2011).

Nel Teorema di Pitagora ogni lato/angolo è un’informazione critica che ci aiuta a determinare altri angoli/lati. Pitagora credeva in una verità oggettiva che era il numero. Il Teorema di Pitagora permette di conoscere le verità attraverso le equazioni matematiche di cui sopra, il che significa che esiste una verità oggettiva, al di fuori di qualsiasi opinione personale, che può essere effettivamente dimostrata; e questo, infine, è ciò che Pitagora voleva dimostrare attraverso il suo lavoro.