望遠鏡鑑賞会や天文関連の講演をする際に、様々な方とお話をしています。 その中でよく聞かれるのが、「どうしてわかるのですか……」という質問です。 土星の大きさはどうなっているのか」、「太陽の距離はどうなっているのか」などです。これらの質問は、過去数世紀にわたる科学の基本的な進歩や、ニュートンやハレーなど多くの科学の先駆者たちによる画期的な発見を浮き彫りにしています。 3337>
最近では、いくつかの方程式を使って計算することができますが、1600年代や1700年代の初期の天文学者は、望遠鏡を使えるようになったばかりで、太陽系をはじめとする宇宙のパズルを組み立て始めていたのですから、どんな感じだったのか想像してみてください。
土星の軌道周期
この問題を1歩ずつ見ていきましょう。まず土星はどのくらいで太陽の1回転をするか知ることが必要です。 これは長期間の観測で簡単にわかることで、惑星が太陽系のどこに位置するかを理解するための重要な情報の一つです。 3337>
地球が毎年土星に追いついて通過するため、土星は毎年少し逆行し、短期間西に行くように見えるので、黄道を通る経路は滑らかではありません。 わずかな逆行を除けば、惑星は毎年ゆっくりと黄道を東へ向かって進んでいる。 そのため、土星を注意深く観察すると、土星が太陽の周りを1周するのに29.44地球年という数字が出る。 3337>
太陽が太陽系の中心であることがわかれば、惑星の公転周期を比較的容易に計算することができました。
ケプラーの惑星運動の第三法則
ケプラーの惑星運動の第三法則は、惑星の軌道の二乗は、その半長軸の三乗に等しいというもので、この関係がわかれば、ケプラーは太陽からの惑星の相対距離を計算できるようになった。 土星の半長径を計算するのに必要なのは、過去29年と少しにわたる注意深い観測によってすでに得られている公転周期だ。
上記の計算で9.534なんとかとは、実は天文単位と呼ばれる尺度である。 1天文単位は、地球から太陽までの距離である。 つまり、地球の公転周期が1年なら、その2乗は1になり、半長径の3乗にも等しくなる。 半長径は1天文単位であり、1の3乗は1に等しいので、すべては地球の公転周期と地球の太陽からの距離で表されることになります。
天文単位
1700年当時、科学者は地球から太陽までの距離を知らず、1761年と1769年の金星の遷移を丹念に観測して、ようやくその距離が約1億5000万kmであることを突き止めたのです。 そうすると、土星は太陽から1,427,000,000km離れているはずだとわかった。 この数字と地球から太陽までの距離、そして地球と土星の相対的な位置関係を知ることで、地球から土星までの距離を割り出すことができるのです。 3337>
Titan
土星の質量を求めるには、測定できる土星の月を探す必要がある。 最も明るいのはタイタンで約9.3等星ですから、それなりの望遠鏡があれば、公転周期と半長径をかなり正確に測定できます。
タイタンを望遠鏡で2ヶ月ほど観察すれば、公転周期15.95日をそれなりに正確に決定することができます。 タイタンの半長軸は土星の質量に依存するため、ケプラーの第三法則を使うことはできません。 3337>
望遠鏡は非常に細かい角度測定ができるので、三角法を少し使えば、タイタンの半長径を約120万kmと計算することができるのです。 これは、すでに太陽から土星までの距離を計算し、地球から太陽までの距離を知っていて、両惑星がそれぞれの軌道の中で相対的にどこに位置しているかを知っているからです。
計算時間
土星の質量を計算するには、ケプラーの惑星運動の第三法則にもう少し手を入れる必要があります。そこで幸運にもニュートンが現れ、質量と軌道の速さには関係があることを突き止めたのです。 ですから、土星の月の公転周期を測定し、その月の半長軸を計算すれば、ちょっとした数学で土星の質量を計算することができるのです。
この式は一見ちょっと怖いけど、ニュートンが超長軸（a³）の3乗の前にいろいろと追加している以外はケプラー第三法則と非常に似ていますね。 3337>
Making the Formula a bit Simpler
The bit under the line is a bit challenging. まず「G」は重力定数で、これを求めるのに時間がかかったが、現在では0.0000000000667 m³/kgs² とわかっている。 2つの “M “は土星とタイタンの質量を表している。 タイタンの質量は土星の質量に比べると非常に小さく、計算上ほとんど差がないと言えるので、これらは1つの「M」にすることができる。 土星の質量にタイタンの質量を足したものは、土星の質量だけに非常に近いので、タイタンの質量は事実上無視した計算ができるのです。 つまり、式は次のようになります：
すべてをMと同じにするには少し代数を使えばよいのです、それが求めたい値だからです。
つまり、aは120万kmと分かっているが、それをメートルで表すと120万mになることが必要だ。 p “は15.95日ですが、1,378,080秒なので秒単位が必要です。 Gの定数は0.0000000000667 m³/kgs²です。
これらの数字をすべて上の式に突っ込めば、土星の質量がキログラムで求まるはずです。
もしこれらの数字を電卓で計算したら、5.38 x 10²⁶kg となり、これは実際の数字である 5.68 x 10²⁶kg （地球の約95倍の質量）にかなり近い数字になります。6 x 10²⁶kg ですが、フェーベの光度は17.3等級でとても暗いので、測定にはとても強力な望遠鏡が必要です。
これで土星の質量を計算する方法がわかりました。必要なのは望遠鏡、晴れた夜、計算機、そしてケプラーとニュートンが考えたとても便利な公式だけでした。 さらに、天文単位や重力定数を計算した多くの科学者や天文学者の優れた研究成果も必要です。 驚くべきことは、地球の表面からこれらすべてを行えるということです。
さあ、木星の質量を計算してみましょう！
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