Lógica

Lógica (del griego «logos», que tiene una variedad de significados que incluyen palabra, pensamiento, idea, argumento, cuenta, razón o principio) es el estudio del razonamiento, o el estudio de los principios y criterios de inferencia y demostración válidos. Intenta distinguir el buen razonamiento del malo.

Aristóteles definió la lógica como un «razonamiento nuevo y necesario», «nuevo» porque nos permite aprender lo que no sabemos, y «necesario» porque sus conclusiones son ineludibles. Plantea preguntas como «¿Qué es un razonamiento correcto?», «¿Qué distingue un buen argumento de uno malo?», «¿Cómo podemos detectar una falacia en un razonamiento?»

La lógica investiga y clasifica la estructura de los enunciados y los argumentos, tanto a través del estudio de los sistemas formales de inferencia como del estudio de los argumentos en el lenguaje natural. Se ocupa únicamente de las proposiciones (oraciones declarativas, utilizadas para hacer una afirmación, en contraposición a las preguntas, órdenes u oraciones que expresan deseos) que son capaces de ser verdaderas y falsas. No se ocupa de los procesos psicológicos relacionados con el pensamiento, ni de las emociones, las imágenes o similares. Abarca temas fundamentales como el estudio de las falacias y las paradojas, así como el análisis especializado de los razonamientos que utilizan la probabilidad y los argumentos que implican la causalidad y la teoría de la argumentación.

Los sistemas lógicos deben tener tres cosas: consistencia (lo que significa que ninguno de los teoremas del sistema se contradice); solidez (lo que significa que las reglas de demostración del sistema nunca permitirán una inferencia falsa a partir de una premisa verdadera); y completitud (lo que significa que no hay oraciones verdaderas en el sistema que no puedan, al menos en principio, demostrarse en el sistema).

En la antigua India, el «Nasadiya Sukta» del Rig Veda contiene varias divisiones lógicas que más tarde fueron refundidas formalmente como los cuatro círculos de catuskoti: «A», «no A», «A y no A» y «no A y no A». La escuela Nyaya de especulación filosófica india se basa en los textos conocidos como los «Nyaya Sutras» de Aksapada Gautama de alrededor del siglo II a.C., y su metodología de inferencia se basa en un sistema de lógica (que implica una combinación de inducción y deducción pasando de lo particular a lo particular a través de la generalidad) que posteriormente ha sido adoptado por la mayoría de las otras escuelas indias.

Pero la lógica moderna desciende principalmente de la tradición griega antigua. Tanto Platón como Aristóteles concibieron la lógica como el estudio de la argumentación y desde una preocupación por la corrección de la misma. Aristóteles produjo seis obras sobre lógica, conocidas colectivamente como el «Organon», siendo la primera de ellas, los «Analíticos Previos», el primer trabajo explícito en lógica formal.

Aristóteles propugnó dos principios de gran importancia en la lógica, la Ley del Medio Excluido (que toda afirmación es verdadera o falsa) y la Ley de la No Contradicción (confusamente, también conocida como la Ley de la Contradicción, que ninguna afirmación es tanto verdadera como falsa). Quizá sea más famoso por haber introducido el silogismo (o término lógico) (véase la sección sobre Lógica Deductiva más adelante). Sus seguidores, conocidos como los peripatéticos, refinaron aún más su trabajo sobre la lógica.

En la época medieval, la lógica aristotélica (o dialéctica) se estudiaba, junto con la gramática y la retórica, como una de las tres vertientes principales del trivium, la base de una educación medieval de artes liberales.

La lógica en la filosofía islámica también contribuyó al desarrollo de la lógica moderna, especialmente el desarrollo de la lógica avicena (que fue responsable de la introducción del silogismo hipotético, la lógica temporal, la lógica modal y la lógica inductiva) como alternativa a la lógica aristotélica.

En el siglo XVIII, Immanuel Kant defendió que la lógica debía concebirse como la ciencia del juicio, de modo que las inferencias válidas de la lógica se desprenden de las características estructurales de los juicios, aunque seguía manteniendo que Aristóteles había dicho esencialmente todo lo que había que decir sobre la lógica como disciplina.

En el siglo XX, sin embargo, los trabajos de Gottlob Frege, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell sobre la Lógica Simbólica, dieron un giro a la afirmación de Kant. Esta nueva lógica, expuesta en su obra conjunta «Principia Mathematica», tiene un alcance mucho más amplio que la lógica aristotélica, e incluso contiene la lógica clásica dentro de ella, aunque como una parte menor. Se asemeja a un cálculo matemático y se ocupa de las relaciones de los símbolos entre sí.

La Lógica en general puede dividirse en Lógica Formal, Lógica Informal y Lógica Simbólica y Lógica Matemática:

• Lógica Formal:
  La Lógica Formal es lo que consideramos como lógica tradicional o lógica filosófica, es decir, el estudio de la inferencia con un contenido puramente formal y explícito (es decir, que puede expresarse como una lógica matemática).es decir, que puede expresarse como una aplicación particular de una regla totalmente abstracta), como las reglas de la lógica formal que nos han llegado desde Aristóteles. (Véase la sección sobre Lógica Deductiva más adelante).
  Un sistema formal (también llamado cálculo lógico) se utiliza para derivar una expresión (conclusión) a partir de una o más expresiones (premisas). Estas premisas pueden ser axiomas (una proposición evidente, que se da por sentada) o teoremas (que se derivan utilizando un conjunto fijo de reglas de inferencia y axiomas, sin ninguna suposición adicional).
  El formalismo es la teoría filosófica de que los enunciados formales (lógicos o matemáticos) no tienen ningún significado intrínseco, sino que sus símbolos (que se consideran entidades físicas) exhiben una forma que tiene aplicaciones útiles.
• Lógica Informal:
  La Lógica Informal es una disciplina reciente que estudia los argumentos del lenguaje natural, e intenta desarrollar una lógica para evaluar, analizar y mejorar el razonamiento del lenguaje ordinario (o «cotidiano»). Por lenguaje natural se entiende un lenguaje hablado, escrito o firmado por los seres humanos para la comunicación de propósito general, a diferencia de los lenguajes formales (como los lenguajes de programación de ordenadores) o los lenguajes construidos (como el esperanto).
  Se centra en el razonamiento y la argumentación que se encuentra en el intercambio personal, la publicidad, el debate político, la argumentación jurídica y el comentario social que caracteriza a los periódicos, la televisión, Internet y otras formas de medios de comunicación de masas.
• Lógica simbólica:
  La lógica simbólica es el estudio de las abstracciones simbólicas que capturan las características formales de la inferencia lógica. Se ocupa de las relaciones de los símbolos entre sí, a menudo utilizando complejos cálculos matemáticos, en un intento de resolver problemas intratables que la lógica formal tradicional no es capaz de abordar.
  Suele dividirse en dos sub-ramas:
  • Lógica de Predicados: un sistema en el que las fórmulas contienen variables cuantificables. (Véase la sección sobre Lógica de Predicados más adelante).
  • Lógica Proposicional (o Lógica Sentencial): un sistema en el que las fórmulas que representan proposiciones pueden formarse combinando proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos, y un sistema de reglas de demostración formal permite establecer ciertas fórmulas como teoremas. (Véase la sección sobre Lógica Proposicional más adelante).
• Lógica Matemática:
  Tanto la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y al razonamiento matemático como, a la inversa, la aplicación de las técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal.
  El uso más antiguo de las matemáticas y la geometría en relación con la lógica y la filosofía se remonta a los antiguos griegos, como Euclides, Platón y Aristóteles.
  La informática surgió como disciplina en la década de 1940 con el trabajo de Alan Turing (1912 – 1954) sobre el Entscheidungsproblem, que se derivó de las teorías de Kurt Gödel (1906 – 1978), en particular sus teoremas de incompletitud. En los años 50 y 60, los investigadores predijeron que cuando el conocimiento humano pudiera expresarse mediante la lógica con notación matemática, sería posible crear una máquina que razonara (o inteligencia artificial), aunque esto resultó ser más difícil de lo esperado debido a la complejidad del razonamiento humano.Las doctrinas relacionadas con las matemáticas incluyen:
  • Logicismo: tal vez el intento más audaz de aplicar la lógica a las matemáticas, promovido por filósofos-lógicos como Gottlob Frege y Bertrand Russell, especialmente la aplicación de las matemáticas a la lógica en forma de teoría de la prueba, teoría de modelos, teoría de conjuntos y teoría de la recursión.
  • Intuicionismo: la doctrina que sostiene que la lógica y las matemáticas no consisten en actividades analíticas en las que se revelan y aplican propiedades profundas de la existencia, sino simplemente en la aplicación de métodos internamente consistentes para realizar construcciones mentales más complejas.

El razonamiento deductivo se refiere a lo que se sigue necesariamente de unas premisas dadas (es decir, de una premisa general a una particular). Una inferencia es deductivamente válida si (y sólo si) no hay ninguna situación posible en la que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Sin embargo, hay que recordar que una premisa falsa puede llevar a una conclusión falsa.

El razonamiento deductivo fue desarrollado por Aristóteles, Tales, Pitágoras y otros filósofos griegos del periodo clásico. El núcleo del razonamiento deductivo es el silogismo (también conocido como lógica de términos),generalmente atribuido a Aristóteles), donde una proposición (la conclusión) se infiere de otras dos (las premisas), cada una de las cuales tiene un término en común con la conclusión. Por ejemplo:

Premisa mayor: Todos los humanos son mortales.
Premisa menor: Sócrates es humano.
Conclusión: Sócrates es mortal.

Un ejemplo de deducción es:

Todas las manzanas son frutas.
Todas las frutas crecen en los árboles.
Por tanto, todas las manzanas crecen en los árboles.

Uno podría negar las premisas iniciales, y por tanto negar la conclusión. Pero quien acepta las premisas debe aceptar la conclusión. Hoy en día, algunos académicos afirman que el sistema de Aristóteles tiene poco más que valor histórico, quedando obsoleto con la llegada de la Lógica de Predicados y la Lógica Proposicional (ver las secciones siguientes).

El razonamiento inductivo es el proceso de derivar una generalización fiable a partir de las observaciones (es decir, de lo particular a lo general), de modo que se cree que las premisas de un argumento apoyan la conclusión, pero no la aseguran necesariamente. La lógica inductiva no se ocupa de la validez o el carácter concluyente, sino de la solidez de aquellas inferencias para las que las pruebas no son concluyentes.

Muchos filósofos, entre ellos David Hume, Karl Popper y David Miller, han discutido o negado la admisibilidad lógica del razonamiento inductivo. En particular, Hume argumentó que se requiere un razonamiento inductivo para llegar a las premisas del principio de razonamiento inductivo, y por lo tanto la justificación del razonamiento inductivo es un argumento circular.

Un ejemplo de inducción fuerte (un argumento en el que la verdad de la premisa haría la verdad de la conclusión probable pero no definitiva) es:

Todos los cuervos observados son negros.

Por lo tanto:

Todos los cuervos son negros.

Un ejemplo de inducción débil (un argumento en el que el vínculo entre la premisa y la conclusión es débil, y la conclusión ni siquiera es necesariamente probable) es:

Siempre cuelgo los cuadros de los clavos.

Por tanto:

Todos los cuadros cuelgan de los clavos.

La Lógica Modal es cualquier sistema de lógica formal que intenta tratar con las modalidades (expresiones asociadas a las nociones de posibilidad, probabilidad y necesidad). La Lógica Modal, por lo tanto, trata con términos como «eventualmente», «anteriormente», «posiblemente», «puede», «podría», «puede», «debe», etc.

Las modalidades son formas en las que las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas. Los tipos de modalidad incluyen:

• Modalidades alegóricas: Incluye la posibilidad y la necesidad, así como la imposibilidad y la contingencia. Algunas proposiciones son imposibles (necesariamente falsas), mientras que otras son contingentes (tanto posiblemente verdaderas como posiblemente falsas).
• Modalidades temporales: Verdad o falsedad histórica y futura. Algunas proposiciones fueron verdaderas/falsas en el pasado y otras serán verdad/falsas en el futuro.
• Modalidades Deónticas: Obligación y permisividad. Algunas proposiciones deben ser verdaderas/falsas, mientras que otras son permisibles.
• Modalidades epistémicas: Conocimiento y creencia. Se sabe que algunas proposiciones son verdaderas/falsas, y se cree que otras son verdaderas/falsas.

Aunque la lógica de Aristóteles se ocupa casi por completo de los silogismos categóricos, anticipó en cierta medida la lógica modal, y su conexión con la potencialidad y el tiempo. La lógica modal moderna fue fundada por Gottlob Frege, aunque inicialmente dudó de su viabilidad, y sólo fue desarrollada posteriormente por Rudolph Carnap (1891 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1978), C.I. Lewis (1883 – 1964) y luego Saul Kripke (1940 – ) que estableció el Sistema K, la forma de Lógica Modal que la mayoría de los estudiosos utilizan hoy en día).

La Lógica Proposicional (o Lógica Sentencial) se ocupa únicamente de las conectivas sentenciales y los operadores lógicos (como «y», «o», «no», «si … entonces …», «porque» y «necesariamente»), a diferencia de la Lógica de Predicados (véase más adelante), que también se ocupa de la estructura interna de las proposiciones atómicas.

La Lógica Proposicional, por tanto, estudia las formas de unir y/o modificar proposiciones, enunciados u oraciones enteras para formar proposiciones, enunciados u oraciones más complejas, así como las relaciones y propiedades lógicas que se derivan de estos métodos de combinación o alteración de enunciados. En la lógica proposicional, los enunciados más simples se consideran unidades indivisibles.

Los filósofos estoicos de finales del siglo III a.C. intentaron estudiar operadores de enunciados como «y», «o» y «si… entonces…», y Crisipo (c. 280-205 a.C.) avanzó un tipo de lógica proposicional, marcando una serie de formas diferentes de formar premisas complejas para los argumentos. Este sistema también fue estudiado por los lógicos medievales, aunque la lógica proposicional no llegó realmente a buen puerto hasta mediados del siglo XIX, con la llegada de la Lógica Simbólica en los trabajos de lógicos como Augustus DeMorgan (1806-1871), George Boole (1815-1864) y Gottlob Frege.

La Lógica de Predicados permite analizar las oraciones en sujeto y argumento de varias formas diferentes, a diferencia de la lógica silogística aristotélica, en la que hay que especificar y limitar las formas que adopta la parte relevante de los juicios implicados (véase la sección sobre Lógica Deductiva más arriba). La Lógica de Predicados también es capaz de dar cuenta de cuantificadores lo suficientemente generales como para expresar todos los argumentos que ocurren en el lenguaje natural, permitiendo así la solución del problema de la generalidad múltiple que había dejado perplejos a los lógicos medievales.

Por ejemplo, es intuitivamente claro que si:

Algún gato es temido por todos los ratones

entonces se sigue lógicamente que:

Todos los ratones temen al menos a un gato

pero como las oraciones anteriores contienen cada una dos cuantificadores (‘algunos’ y ‘todos’ en la primera oración y ‘todos’ y ‘al menos uno’ en la segunda), no pueden representarse adecuadamente en la lógica tradicional.

La lógica predicada fue diseñada como una forma de matemática, y como tal es capaz de todo tipo de razonamiento matemático más allá de los poderes de la lógica de términos o silogística. En la lógica de primer orden (también conocida como cálculo de predicados de primer orden), un predicado sólo puede referirse a un único sujeto, pero la lógica de predicados también puede ocuparse de la lógica de segundo orden, la lógica de orden superior, la lógica de muchos órdenes o la lógica infinita. También es capaz de muchas inferencias de sentido común que eluden la lógica de términos, y (junto con la Lógica Proposicional – véase más adelante) casi ha suplantado a la lógica de términos tradicional en la mayoría de los círculos filosóficos.

La Lógica de Predicados fue desarrollada inicialmente por Gottlob Frege y Charles Peirce a finales del siglo XIX, pero alcanzó su pleno desarrollo en el Atomismo Lógico de Whitehead y Russell en el siglo XX (desarrollado a partir de trabajos anteriores de Ludwig Wittgenstein).

Una falacia lógica es cualquier tipo de error en el razonamiento o la inferencia, o, esencialmente, cualquier cosa que hace que un argumento vaya mal. Hay dos categorías principales de falacias, falacias de ambigüedad y falacias contextuales:

• Falacias de ambigüedad: un término es ambiguo si tiene más de un significado. Hay dos tipos principales:
  • equívoco: cuando una misma palabra puede utilizarse en dos sentidos diferentes.
  • anfibolismo: cuando la ambigüedad surge debido a la estructura de la frase (a menudo debido a participios colgantes o al uso inexacto de los negativos), más que al significado de las palabras individuales.
• Falacias contextuales: que dependen del contexto o de las circunstancias en las que se utilizan las frases. Hay muchos tipos diferentes, entre los más comunes están:
  • Falacias de significación: cuando no está claro si una afirmación es significativa o no.
  • Falacias de énfasis: el énfasis incorrecto de las palabras en una oración.
  • Falacias de Cita Fuera de Contexto: la manipulación del contexto de una cita.
  • Falacias de Argumentum ad Hominem: no se puede demostrar que una afirmación es falsa por el mero hecho de que se pueda demostrar que el individuo que la hace tiene un carácter defectuoso.
  • Falacias de Argumentum ad Hominem: no se puede demostrar la verdad o la falsedad por el mero hecho de que la persona que lo dice se considere una «autoridad» en la materia.
  • Falacias de Argumentos que Apelan a los Sentimientos: informar de cómo se siente la gente sobre algo con el fin de persuadir en lugar de demostrar.
  • Falacias de Argumento desde la Ignorancia: no se puede demostrar que una afirmación es verdadera sólo porque no hay pruebas para refutarla.
  • Falacias de Invocación de la Pregunta: un argumento circular, en el que se utiliza efectivamente la misma afirmación como premisa y como conclusión.
  • Falacias de composición: la suposición de que lo que es cierto de una parte es también cierto del todo.
  • Falacias de división: la suposición inversa de que lo que es cierto de un todo debe ser también cierto de todas sus partes.
  • Falacias de Conclusión Irrelevante: cuando la conclusión se refiere a algo distinto de lo que el argumento intentaba demostrar inicialmente.
  • Falacias de No-Sequitur: un salto argumentativo, donde la conclusión no se sigue necesariamente de las premisas.
  • Falacias de la Estadística: las estadísticas pueden ser manipuladas y sesgadas para «probar» muchas hipótesis diferentes.

¡Estos son sólo algunos de los tipos más comúnmente encontrados, la página de la Enciclopedia de Filosofía de Internet sobre Falacias enumera 176!

Una paradoja es una afirmación o sentimiento que es aparentemente contradictorio u opuesto al sentido común y que, sin embargo, puede ser cierto de hecho. A la inversa, una paradoja puede ser una afirmación que en realidad es autocontradictoria (y por lo tanto falsa) aunque parezca verdadera. Normalmente, o bien los enunciados en cuestión no implican realmente la contradicción, el resultado desconcertante no es realmente una contradicción, o bien las propias premisas no son todas realmente verdaderas o no pueden ser todas verdaderas a la vez.

El reconocimiento de las ambigüedades, los equívocos y los supuestos no declarados que subyacen a las paradojas conocidas ha conducido a importantes avances en la ciencia, la filosofía y las matemáticas. Pero muchas paradojas (por ejemplo, la paradoja de Curry) aún no tienen resoluciones universalmente aceptadas.

Se puede argumentar que hay cuatro clases de paradojas:

• Paradojas verídicas: que producen un resultado que parece absurdo pero que puede demostrarse que es, sin embargo, verdadero.
• Paradojas Falsas: que producen un resultado que no sólo parece falso, sino que es realmente falso.
• Antinomias: que no son ni verídicas ni falsas, sino que producen un resultado autocontradictorio aplicando adecuadamente las formas de razonamiento aceptadas.
• Dialetheias: que producen un resultado que es verdadero y falso al mismo tiempo y en el mismo sentido.

Las paradojas suelen ser el resultado de la autorreferencia (cuando una frase o fórmula se refiere a sí misma directamente), de la infinitud (un argumento que genera una regresión infinita, o una serie infinita de referencias de apoyo), de las definiciones circulares (en las que una proposición a demostrar se asume implícita o explícitamente en una de las premisas), la vaguedad (cuando no está claro si un concepto se aplica o no), las afirmaciones falsas o engañosas (afirmaciones que son falsas o engañosas, ya sea de forma voluntaria o sin saberlo), y las medias verdades (afirmaciones engañosas que incluyen algún elemento de verdad).

Algunas paradojas famosas incluyen:

• La paradoja del mentiroso de Epiménides: Epiménides era un cretense que dijo «Todos los cretenses son mentirosos». ¿Debemos creerle?
• Paradoja del Mentiroso (2): «Esta frase es falsa.»
• Paradoja del Mentiroso (3): «La siguiente frase es falsa. La frase anterior es verdadera.»
• Paradoja de Curry: «Si esta frase es verdadera, entonces Santa Claus existe.»
• Paradoja de Quine: «produce falsedad cuando va precedida de su cita» produce falsedad cuando va precedida de su cita.
• Paradoja del barbero de Russell: Si un barbero afeita a todos y sólo a los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo?
• Paradoja del abuelo: Supongamos que un viajero del tiempo retrocede en el tiempo y mata a su abuelo cuando éste era sólo un niño. Si su abuelo muere en la infancia, entonces el viajero del tiempo no puede nacer. Pero si el viajero del tiempo nunca nace, ¿cómo puede haber viajado al pasado en primer lugar?
• Paradoja de la dicotomía de Zenón: Antes de que un objeto en movimiento pueda recorrer una determinada distancia (por ejemplo, una persona que cruza una habitación), debe llegar a la mitad del camino. Antes de llegar a la mitad, debe llegar a la cuarta parte. Antes de recorrer un cuarto, debe recorrer un octavo; antes de un octavo, un dieciseisavo; y así sucesivamente. Como esta secuencia se prolonga eternamente, hay que atravesar un número infinito de puntos, lo cual es lógicamente imposible en un período de tiempo finito, por lo que nunca se cubrirá la distancia (el cuarto atravesado, etc.).
• Paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga: Si Aquiles permite a la tortuga una ventaja en una carrera, entonces para cuando Aquiles haya llegado al punto de partida de la tortuga, ésta ya habrá recorrido una distancia menor. Para cuando Aquiles llega a ese segundo punto, la tortuga ha vuelto a avanzar, etc, etc. Así que Aquiles nunca podrá atrapar a la tortuga.
• Paradoja de la flecha de Zenón: Si se dispara una flecha con un arco, entonces en cualquier momento, la flecha o está donde está, o está donde no está. Si se mueve donde está, entonces debe estar quieta, y si se mueve donde no está, entonces no puede estar allí. Por lo tanto, no puede moverse en absoluto.
• Paradoja del barco de Teseo: Después de la muerte de Teseo, su barco fue puesto en exhibición pública. Con el tiempo, todos los tablones se habían podrido en un momento u otro, y habían sido sustituidos por nuevos tablones iguales. Si no quedaba nada del barco «original», ¿seguía siendo el barco de Teseo?
• Paradoja de Sorites (Montón de Arena): Si se quita un grano de arena de un montón, sigue siendo un montón. Si se quitan los granos individualmente, ¿sigue siendo un montón cuando sólo queda un grano? Si no, ¿cuándo pasó de ser un montón a no serlo?
• Paradoja del cuervo de Hempel: Si todos los cuervos son negros, entonces, en términos estrictos de equivalencia lógica, todo lo que no es negro no es un cuervo. Así que cada avistamiento de un jersey azul o una taza roja confirma la hipótesis de que todos los cuervos son negros.
• Paradoja de Petronio» «Moderación en todas las cosas, incluida la moderación.»
• Aviso paradójico: «Por favor, ignore este aviso.»
• Paradoja de los números aburridos: Si existe un número aburrido, entonces podemos dividir todos los números en dos conjuntos: interesantes y aburridos. En el conjunto de números aburridos sólo habrá un número que sea el más pequeño. Como es el menor de los números aburridos, se convierte, ipso facto, en un número interesante. Por tanto, debemos sacarlo del conjunto opaco y colocarlo en el otro. Pero ahora habrá otro número más pequeño sin interés. La repetición de este proceso hará que cualquier número aburrido se convierta en interesante.
• Paradoja del alumno de Protágoras: Un abogado llegó a un acuerdo con uno de sus alumnos por el cual el alumno debía pagar su instrucción después de haber ganado su primer caso. Al cabo de un tiempo, el abogado se impacientó por la falta de clientes del alumno y decidió demandarle por la cantidad que le debía. La lógica del abogado era que si él, el abogado, ganaba, el alumno le pagaría según la sentencia del tribunal; si el alumno ganaba, entonces tendría que cumplir el acuerdo y pagar de todos modos. El alumno, sin embargo, argumentaba que si él, el alumno, ganaba, entonces por sentencia del tribunal no tenía que pagar al abogado; y si el abogado ganaba, entonces el acuerdo no entraba en vigor y el alumno no tenía que pagar al abogado.
• Paradoja de Moore: «Lloverá pero no creo que lo haga».
• El gato de Schrödinger: Hay un gato en una caja sellada, y la vida o muerte del gato depende del estado de una partícula subatómica concreta. Según la mecánica cuántica, la partícula sólo tiene un estado definido en el momento exacto de la medición cuántica, de modo que el gato permanece tanto vivo como muerto hasta el momento en que se abre la caja.
• «Tortugas hasta el final»: Una historia sobre una regresión infinita, a menudo atribuida a Bertrand Russell pero que probablemente data de siglos antes, basada en un antiguo mito cosmológico (posiblemente indio) según el cual la tierra es un disco plano sostenido por un elefante gigante que a su vez está sostenido por una tortuga gigante. En la historia, cuando se le preguntaba qué era lo que sostenía a la tortuga, la respuesta era «son tortugas hasta el final».

Tres doctrinas que pueden considerarse bajo el título de Lógica son: