Why learn about fractals?
Fractals are everywhere! Jeśli mi nie wierzysz, po prostu spójrz za swoje okno. Od kształtów drzew i krzewów do poszarpanych profili gór do nieregularnych linii brzegowych, wiele cech naszego naturalnego świata wydaje się być modelowanych przez geometrię fraktalną.
Ale czym dokładnie jest fraktal? Jak dowiesz się w tym module, fraktal jest obiektem, który wykazuje samopodobieństwo na każdym poziomie. To znaczy, że kiedy powiększysz jeden fragment, przypomina on cały obraz. To samopodobieństwo nie musi być dokładne; w rzeczywistości wiele fraktali wykazuje pewną zmienność lub przypadkowość. Poniżej znajduje się film ilustrujący, jak zbiór Mandelbrota, dobrze znany fraktal, wykazuje samopodobieństwo.
While niektóre fraktale (jak zbiór Mandelbrota) mogłyby przejść za dzieła sztuki, prawdziwe piękno fraktali polega na tym, jak takie skomplikowane projekty i wzory mogą wynikać z bardzo elementarnych formuł generujących lub reguł.
W tym module dowiesz się, jak tworzyć wzory fraktalne, takie jak zbiór Mandelbrota, używając prostego wzoru, takiego jak:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Oczywiście jest wiele szczegółów, które wciąż wymagają wyjaśnienia, takich jak związek między fraktalami i liczbami zespolonymi. Wartości c, z_n i z_{n+1} w powyższym wzorze mają być liczbami złożonymi, to znaczy liczbami, które zawierają jednostkę urojoną, i = \sqrt{-1}.
Liczba urojona i jest czymś zupełnie innym niż jakakolwiek liczba, którą kiedykolwiek widziałeś. W rzeczywistości, i nie pojawia się na linii liczbowej w ogóle! Zamiast tego, jak wkrótce odkryjesz, jednostka urojona żyje na swojej własnej oddzielnej linii liczbowej, zwanej osią urojoną, która jest prostopadła do zwykłej linii liczbowej (lub osi rzeczywistej).
Zestaw Mandelbrota składa się z liczb zespolonych, które spełniają pewną regułę związaną z prostym równaniem. Powstały obraz jest niesamowity i staje się coraz bardziej fascynujący w miarę powiększania!
Zbiór Mandelbrota na płaszczyźnie zespolonej.
.