Porquê aprender sobre fractais?
Os fractais estão em todo o lado! Se você não acredita em mim, dê uma olhada fora da sua janela. Desde as formas das árvores e arbustos até aos perfis irregulares das montanhas e das costas irregulares, muitas características do nosso mundo natural parecem ser modeladas pela geometria fractal.
Mas o que é exactamente um fractal? Como você aprenderá neste módulo, um fractal é um objeto que exibe auto-similaridade em todos os níveis. Ou seja, quando você faz zoom em uma seção, ele se assemelha a toda a imagem. Esta auto-similaridade não precisa ser exata; na verdade, muitos fractais mostram alguma variação ou aleatoriedade. Abaixo está um vídeo ilustrando como o conjunto Mandelbrot, um conhecido fractal, mostra a auto-similaridade.
Embora alguns fractais (como o conjunto Mandelbrot) possam passar por obras de arte, a verdadeira beleza dos fractais está em como desenhos e padrões tão intrincados podem resultar de fórmulas ou regras geradoras muito elementares.
Neste módulo, você aprenderá como criar padrões fractais como o conjunto Mandelbrot usando uma fórmula simples como:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Obviamente existem muitos detalhes que ainda precisam ser explicados, tais como a relação entre fractais e números complexos. Os valores de c, z_n e z_{n+1} na fórmula acima devem ser números complexos, ou seja, números que incluem a unidade imaginária, i = \sqrt{-1}.
O número imaginário i é algo completamente diferente de qualquer número que você já tenha visto. Na verdade, eu não apareço de todo na linha de números! Em vez disso, como você logo descobrirá, a unidade imaginária vive em sua própria linha numérica separada, chamada de eixo imaginário, que é perpendicular à linha numérica usual (ou eixo real).
O conjunto Mandelbrot é composto de números complexos que satisfazem uma certa regra relacionada a uma equação simples. A imagem resultante é surpreendente, e fica cada vez mais fascinante à medida que você aumenta o zoom!
Um conjunto de Mandelbrot no plano Complexo.