Când fac sesiuni de vizionare la telescop sau discuții pe teme legate de astronomie vorbesc cu o gamă largă de persoane. Una dintre cele mai frecvente întrebări pe care le primesc este „cum se cunoaște……?”. Ar putea fi „cum știm cât de mare este Saturn” sau „cum știm cât de departe este Soarele”, toate aceste întrebări evidențiază progresul fundamental al științei din ultimele secole și unele dintre cele mai revoluționare descoperiri făcute de oameni precum Newton și Halley, printre o listă lungă de pionieri ai științei. M-am gândit să aprofundez puțin întrebarea cum cunoaștem masa lui Saturn.
În zilele noastre avem avantajul unor ecuații pentru a calcula valoarea, dar imaginați-vă cum trebuie să fi fost pentru primii astronomi din anii 1600 și 1700, care abia obținuseră avantajul utilizării telescoapelor și începeau să pună cap la cap puzzle-urile universului, începând cu propriul nostru sistem solar.
Căutarea perioadei orbitale a lui Saturn
Să analizăm această problemă pas cu pas, mai întâi trebuie să știm cât timp îi ia lui Saturn să facă o rotație a Soarelui. Acest lucru se face pur și simplu prin observații pe o perioadă lungă de timp și este una dintre informațiile cheie pentru a înțelege unde se încadrează o planetă în sistemul solar. În cazul lui Saturn, un observator trebuie doar să-l urmărească pe Saturn urmărind stelele din fundal pe ecliptică până 29 de ani mai târziu, când a făcut o rotație completă.
Pentru că Pământul îl prinde din urmă și trece pe lângă Saturn în fiecare an, planeta face un pic de retrogradare și pare să meargă spre vest pentru o scurtă perioadă de timp în fiecare an, astfel că traiectoria prin ecliptică nu este netedă. În afară de mica mișcare retrogradă, în fiecare an planeta mărșăluiește încet pe ecliptică spre est. Astfel, o observare atentă a lui Saturn ar da o cifră de 29,44 ani tereștri pentru ca planeta să facă o tură în jurul Soarelui. Puteți să o măsurați și dumneavoastră, trebuie doar să aveți multă răbdare.
După ce observatorii au știut că Soarele este centrul sistemului solar, au putut calcula relativ ușor perioadele orbitale ale planetelor. Kepler a elaborat cele trei legi ale mișcării planetare la începutul anilor 1600 și acestea au fost folosite pentru a calcula cât de departe se aflau planetele de Soare.
Cea de-a treia lege a lui Kepler a mișcării planetare
Cea de-a treia lege a lui Kepler a mișcării planetare afirmă că pătratul orbitei unei planete este egal cu cubul semiaxei sale principale, astfel că odată ce această relație a fost descoperită, Kepler a putut calcula distanța relativă a planetelor față de Soare. Pentru a calcula semi-axa majoră a lui Saturn, tot ce avem nevoie este perioada orbitală pe care am obținut-o deja prin observarea atentă din ultimii 29 și ceva de ani.
În calculul de mai sus, cei 9,534 de șaizeci și patru de ani sunt de fapt o măsură numită unități astronomice. O unitate astronomică reprezintă distanța de la Pământ la Soare. Așadar, dacă perioada orbitală a Pământului este de un an, atunci pătratul acestei unități trebuie să fie egal cu unu și, de asemenea, egal cu cubul semiaxei principale. Axa semigrea este de o unitate astronomică, iar cubul lui unu este egal cu unu, astfel încât totul este exprimat în funcție de perioada orbitală a Pământului și de distanța Pământului față de Soare, de aceea răspunsul pentru Saturn trebuie să fie, de asemenea, exprimat în funcție de distanța Pământului față de Soare.
Unitatea astronomică
În 1700, oamenii de știință nu cunoșteau distanța de la Pământ la Soare și a fost nevoie de destulă muncă și de observații meticuloase ale tranzitului lui Venus din 1761 și 1769 pentru a afla în cele din urmă că distanța era de aproximativ 150.000.000 km. După ce au făcut acest lucru, au știut apoi că Saturn trebuie să fie la 1.427.000.000.000.000 km de Soare. Această cifră și distanța de la Pământ la Soare și știind unde se află Pământul și Saturn unul față de celălalt ne pot permite să determinăm distanța de la Pământ la Saturn. Această cifră este importantă pentru a transforma distanțele unghiulare măsurate în distanțe absolute în metri.
Titan
Pentru a obține masa lui Saturn trebuie să găsim o lună a lui Saturn pe care să putem face măsurători. Cea mai strălucitoare este Titan, cu o magnitudine de aproximativ +9,3, astfel încât, cu un telescop rezonabil, se pot face unele măsurători destul de precise ale perioadei sale orbitale și ale semi-axei majore.
Observând Titan printr-un telescop timp de câteva luni, putem determina că are o perioadă orbitală de 15,95 zile cu un grad rezonabil de precizie. Nu putem folosi a treia lege a lui Kepler pentru a găsi semiaxa majoră a lui Titan, deoarece aceasta depinde de masa lui Saturn – care este destul de diferită de cea a Soarelui, să ne prefacem că nu cunoaștem constanta pentru sistemul Saturn. Vestea bună este că putem măsura axa semigrea.
Telescoapele pot face măsurători unghiulare foarte fine, așa că, cu puțină trigonometrie, putem calcula că axa semigrea a lui Titan este de aproximativ 1.200.000 km. Știm acest lucru deoarece am calculat deja distanța de la Soare la Saturn și cunoaștem distanța de la Pământ la Soare și știm unde se află cele două planete una față de cealaltă pe orbitele lor respective.
Timp de calcul
Pentru a calcula masa lui Saturn trebuie să mai lucrăm puțin la a treia lege a mișcării planetare a lui Kepler, așa că, din fericire, a apărut Newton care și-a dat seama că există o relație între masă și viteza cu care ceva orbitează, cu cât o planetă este mai grea, cu atât mai puternică este atracția asupra unuia dintre sateliții săi și, prin urmare, cu atât mai rapidă va fi orbita acelei luni. Așadar, dacă se măsoară perioada orbitală a unei luni a lui Saturn și se calculează semi-axa majoră a acelei luni, atunci, cu puțină matematică, se poate calcula masa lui Saturn.
Formula aceasta pare puțin înfricoșătoare la început, dar este de fapt foarte asemănătoare cu cea de-a treia lege a lui Kepler, cu excepția faptului că Newton a băgat o mulțime de chestii în plus în fața cubului semiexei majore (a³). Deci, dacă ne ocupăm doar de ceea ce se află în fața lui a³ și deasupra liniei, atunci vedem că este de patru ori pătratul lui pi, care este întotdeauna aceeași valoare de aproximativ 39,44.
Facerea formulei un pic mai simplă
Bucătura de sub linie este un pic mai dificilă. În primul rând, „G” este constanta gravitațională, care a durat mult timp pentru a fi calculată, dar acum știm că este de 0,0000000000667 m³/kgs². Cei doi „M” reprezintă masa lui Saturn și masa lui Titan. Acestea pot fi reduse la un singur „M”, deoarece putem spune că masa lui Titan este atât de mică în comparație cu masa lui Saturn, încât nu ar avea nicio importanță în calcul. Masa lui Saturn plus masa lui Titan este foarte apropiată de masa lui Saturn, astfel încât putem ignora efectiv masa lui Titan în calcul. Astfel, formula devine:
Trebuie doar să facem puțină algebră pentru ca totul să fie egal cu M, deoarece aceasta este valoarea pe care dorim să o găsim.
Așa că știm că „a” este de 1.200.000 km, dar avem nevoie de această valoare în metri, care este de 1.200.000.000 de metri. Știm că „p” este de 15,95 zile, dar avem nevoie de acest lucru în secunde, ceea ce înseamnă 1.378.080 secunde. Știm deja că constanta pentru G este 0,0000000000667 m³/kgs².
Dacă introducem toate aceste numere în formula de mai sus, ar trebui să obținem masa lui Saturn în kilograme. Dacă introduceți aceste numere într-un calculator veți obține 5,38 x 10²⁶kg, ceea ce este destul de aproape de cifra reală de 5,68 x 10²⁶kg (de aproximativ 95 de ori mai multă masă decât cea a Pământului).
Dacă ați folosit datele pentru Iapetus, atunci cifra este mai mare, de 5,87 x10²⁶kg, iar pentru Phoebe cifra este mult mai apropiată de 5.6 x 10²⁶kg, deși veți avea nevoie de un telescop foarte puternic pentru a face măsurători pentru Phoebe, având în vedere că magnitudinea sa este de 17,3, deci foarte slabă.
Iată cum să calculați masa lui Saturn, tot ce aveți nevoie este un telescop, multe nopți senine, un calculator și câteva formule foarte la îndemână calculate de Kepler și Newton. În plus, aveai nevoie de toată munca bună depusă de o mulțime de oameni de știință și astronomi care au descoperit unitatea astronomică și constanta gravitațională. Lucrul uimitor este că poți face toate acestea de pe suprafața Pământului.
Bine, acum du-te și calculează masa lui Jupiter!