15.2: Enkel harmonisk rörelse

author
3 minutes, 22 seconds Read

Som en enkel harmonisk rörelse

Vid en block som är fäst vid en fjäder på ett friktionsfritt bord (figur \(\PageIndex{3}\)). Jämviktsläget (det läge där fjädern varken sträcks eller trycks ihop) är markerat som x = 0 . I jämviktsläget är nettokraften noll.

Figur \(\PageIndex{3}\): Ett block är fäst vid en fjäder och placeras på ett friktionsfritt bord. Jämviktsläget, där fjädern varken är utsträckt eller komprimerad, markeras som x = 0.

Blockets arbete utförs för att dra ut det till ett läge x = + A, och det släpps sedan från viloläget. Det maximala x-läget (A) kallas rörelsens amplitud. Blocket börjar svänga i SHM mellan x = + A och x = -A, där A är rörelsens amplitud och T är svängningens period. Perioden är tiden för en svängning. Figur \(\PageIndex{4}\) visar blockets rörelse när det fullbordar en och en halv svängning efter frisläppandet.

Figur \(\PageIndex{4}\): Ett block fästs i ena änden av en fjäder och placeras på ett friktionsfritt bord. Fjäderns andra ände är förankrad i väggen. Jämviktsläget, där nettokraften är lika med noll, markeras som x = 0 m. Arbete utförs på blocket, vilket drar ut det till x = + A, och blocket släpps från vila. Blocket pendlar mellan x = + A och x = -A. Kraften visas också som en vektor.

\

Ekvationen för positionen som en funktion av tiden \(x(t) = A\cos( \omega t)\) är bra för modellering av data, där klossens position vid den initiala tiden t = 0,00 s är vid amplituden A och den initiala hastigheten är noll. Ofta när man tar experimentella data är massans position vid den inledande tiden t = 0,00 s inte lika med amplituden och den inledande hastigheten är inte noll. Tänk på 10 sekunders data som samlats in av en elev i labbet och som visas i figur \(\PageIndex{6}\).

Figur \(\PageIndex{6}\): Data som samlades in av en student i labbet visar positionen för ett block som är fäst vid en fjäder, mätt med en sonisk avståndsmätare. Data samlas in med början vid tiden t = 0,00s, men utgångsläget är nära positionen x ≈ – 0,80 cm ≠ 3,00 cm, så utgångsläget är inte lika med amplituden x0 = + A. Hastigheten är tidsderivatan av positionen, vilket är lutningen vid en punkt på grafen för position mot tid. Hastigheten är inte v = 0,00 m/s vid tiden t = 0,00 s, vilket framgår av lutningen på grafen för position mot tid, som inte är noll vid den inledande tiden.

Data i figur \(\PageIndex{6}\) kan fortfarande modelleras med en periodisk funktion, som en cosinusfunktion, men funktionen är förskjuten till höger. Denna förskjutning kallas fasförskjutning och representeras vanligtvis av den grekiska bokstaven phi (\(\phi\)). Ekvationen för positionen som en funktion av tiden för ett block på en fjäder blir

\

Detta är den generaliserade ekvationen för SHM där t är tiden mätt i sekunder, \(\omega\) är vinkelfrekvensen med enheterna inversa sekunder, A är amplituden mätt i meter eller centimeter, och \(\phi\) är fasförskjutningen mätt i radianer (Figur \(\PageIndex{7}\)). Det bör noteras att eftersom sinus- och cosinusfunktionerna endast skiljer sig åt genom en fasförskjutning, kan denna rörelse modelleras med hjälp av antingen cosinus- eller sinusfunktionen.

Hastigheten för massan på en fjäder, som oscillerar i SHM, kan hittas genom att ta derivatan av positionsekvationen:

\

Då sinusfunktionen oscillerar mellan -1 och +1, är den maximala hastigheten amplituden gånger vinkelfrekvensen, vmax = A\(\omega\). Den maximala hastigheten inträffar i jämviktsläget (x = 0) när massan rör sig mot x = + A. Den maximala hastigheten i negativ riktning uppnås i jämviktsläget (x = 0) när massan rör sig mot x = -A och är lika med -vmax.

Massans acceleration på fjädern kan hittas genom att ta tidsderivatan av hastigheten:

\\

Similar Posts

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.