Pythagoras sats: Sanningens väg

Pythagoras (569-475 f.Kr.) är erkänd som världens första matematiker. Han föddes på ön Samos och tros ha studerat tillsammans med Thales och Anaximander (erkända som de första västerländska filosoferna). Pythagoras trodde att siffrorna inte bara var vägen till sanningen, utan själva sanningen. Genom matematik kunde man uppnå harmoni och leva ett enklare liv. Han sägs ha föreslagit ett antal matematiska satser för detta ändamål, men av alla dessa finns bara den berömda Pythagoras-satsen kvar (Allen, 1966).

Historikern Robinson skriver: ”Uttalandet att `Pythagoras arbetade mycket hårt med geometrins aritmetiska sida’ bekräftas ytterligare av traditionen att han undersökte det aritmetiska problemet att hitta trianglar där kvadraten på den ena sidan är lika med summan av kvadraterna på de andra två.” Och han gjorde det tidigt genom att använda stenar i rader för att förstå de sanningar han försökte förmedla (1968). Pythagoras sats säger att a² + b² = c². Detta används när vi får en triangel där vi bara känner till längden på två av de tre sidorna. C är den längsta sidan av den vinkel som kallas hypotenusan. Om a är den angränsande vinkeln är b den motsatta sidan. Om b är den angränsande vinkeln är a den motsatta sidan. Om a = 3 och b = 4 kan vi lösa c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Detta är en av de främsta användningsområdena för Pythagoras sats.

Det finns många bevis för Pythagoras sats, varav det mest kända är Euklids bevis från bok I i Elementarämnena.

Sats: I rätvinkliga trianglar är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på benen.
Euklid började med en pythagorisk konfiguration och drog sedan en linje genom ett diagram som illustrerade areornas likhet. Han drog slutsatsen att AB/AC = AC/HA, därför är (AC)² = (HA)(AB). Eftersom AB=AJ motsvarar arean av rektangeln HAJG arean av kvadraten på sidan AC. På samma sätt är AB/BC = BC/BH också skrivet som (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD) och eftersom AB=BD. Vi ser alltså att summan av rektanglarnas areor är arean av kvadraten på hypotenusan. Med Stephanie Morris ord: ”This complete the proof” (Morris, 2011).

Ett annat bevis, som är lättare för människor att förstå, börjar med en rektangel som är uppdelad i tre trianglar, alla med räta vinklar.
Triangeln BEA och triangeln BCE överlappar triangeln ACD. Genom att jämföra triangeln BCE och triangeln ACD och titta på deras motsvarande sidor ser vi att AC/BC = AD/EC. Eftersom AD = BC är AC/AD = AD/EC. Genom multiplikation blir denna ekvation (AD)² = (AC)(AE). Från trianglarna ABC och ABE, där vi konstaterar att AB = CD, jämför vi de räta vinklarna i dessa två figurer och får ekvationen AC/AB = CD/AE. Från den ursprungliga rektangelformen hade vi AB = CD som också ges som AC/CD = CD/AE, vilket skrivs som ett multiplikationsproblem som (CD)² = (AC)(AE) och genom att addera ekvationerna vi har hittills får vi två nya formler som är (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC)(EC) och (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Eftersom AC = AE + EC får vi (CD)² + (AD)² = (AC)². Liksom det tidigare beviset visar detta att Pythagoras sats är giltig (Morris, 2011).

I Pythagoras sats är varje sida/vinkel en viktig information som hjälper oss att bestämma andra vinklar/sidor. Pythagoras trodde på en objektiv sanning som var antalet. Pythagoras sats gör det möjligt att känna till sanningar genom de matematiska ekvationerna ovan, vilket innebär att det finns en objektiv sanning, utanför alla personliga åsikter, som faktiskt kan bevisas, och detta är slutligen vad Pythagoras ville bevisa genom sitt arbete.