Hablo con un amplio abanico de personas cuando hago sesiones de observación de telescopios o charlas sobre temas relacionados con la astronomía. Una de las preguntas más habituales que recibo es «¿cómo sabemos……?». Puede ser «cómo sabemos lo grande que es Saturno», o «cómo sabemos lo lejos que está el Sol», todas estas preguntas ponen de manifiesto el progreso fundamental de la ciencia en los últimos siglos y algunos de los descubrimientos más rompedores realizados por gente como Newton y Halley entre una larga lista de pioneros de la ciencia. He pensado en profundizar un poco en la cuestión de cómo sabemos la masa de Saturno.
Hoy en día tenemos la ventaja de unas cuantas ecuaciones para calcular el valor, pero imaginen lo que debió ser para los primeros astrónomos de los años 1600 y 1700, que acababan de obtener la ventaja de utilizar telescopios y estaban empezando a reconstruir los rompecabezas del universo, empezando por nuestro propio Sistema Solar.
Cómo encontrar el periodo orbital de Saturno
Veamos este problema paso a paso, primero necesitamos saber cuánto tarda Saturno en dar una vuelta al Sol. Esto se hace simplemente a través de observaciones durante un largo período de tiempo y es una de las piezas clave de información para entender dónde encaja un planeta en el sistema solar. En el caso de Saturno, un observador sólo tiene que ver el seguimiento de Saturno a través de las estrellas de fondo en la eclíptica hasta 29 años más tarde, cuando ha hecho un círculo completo.
Debido a que la Tierra alcanza y pasa a Saturno cada año, el planeta hace un poco de retrógrado y parece ir hacia el Oeste por un corto tiempo cada año, por lo que la trayectoria a través de la eclíptica no es suave. Aparte del pequeño movimiento retrógrado, cada año el planeta marcha lentamente a través de la eclíptica hacia el Este. Así que la observación cuidadosa de Saturno daría una cifra de 29,44 años terrestres para que el planeta dé una vuelta alrededor del Sol. Una vez que los observadores supieron que el Sol era el centro del Sistema Solar, pudieron calcular con relativa facilidad los períodos orbitales de los planetas. Kepler elaboró las tres leyes del movimiento planetario a principios del siglo XVII y las utilizó para calcular la distancia de los planetas al Sol.
Tercera ley del movimiento planetario de Kepler
La tercera ley del movimiento planetario de Kepler establece que el cuadrado de la órbita de un planeta es igual al cubo de su semieje mayor, por lo que una vez descubierta esta relación, Kepler pudo calcular la distancia relativa de los planetas al Sol. Para calcular el semieje mayor de Saturno, todo lo que necesitamos es el período orbital que ya obtuvimos a través de una cuidadosa observación durante los últimos 29 y pico años.
En el cálculo anterior los 9,534 somethings son en realidad una medida llamada unidades astronómicas. Una unidad astronómica es la distancia de la Tierra al Sol. Por lo tanto, si el período orbital de la Tierra es de un año, el cuadrado de éste debe ser igual a uno y también al cubo del semieje mayor. El semieje mayor es una unidad astronómica y el cubo de uno es igual a uno por lo que todo es en términos del período orbital de la Tierra y la distancia de la Tierra al Sol, por lo que la respuesta para Saturno también debe ser en términos de la distancia de la Tierra al Sol.
La Unidad Astronómica
En el año 1700, los científicos no conocían la distancia de la Tierra al Sol y les costó bastante trabajo y observaciones meticulosas del Tránsito de Venus en 1761 y 1769 para finalmente averiguar que la distancia era de unos 150.000.000 km. Una vez hecho esto, supieron que Saturno debía estar a 1.427.000.000 km del Sol. Con esta cifra y la distancia de la Tierra al Sol y sabiendo dónde están la Tierra y Saturno uno respecto al otro, podemos determinar la distancia de la Tierra a Saturno. Esta cifra es importante para convertir las distancias angulares medidas en distancias absolutas en metros.
Titán
Para obtener la masa de Saturno necesitamos encontrar una luna de Saturno de la que podamos tomar medidas. La más brillante es Titán, con una magnitud de +9,3, por lo que con un telescopio razonable se pueden hacer algunas mediciones bastante precisas de su período orbital y su semieje mayor.
Observando Titán a través de un telescopio durante un par de meses podemos determinar que tiene un período orbital de 15,95 días con un grado de precisión razonable. No podemos usar la tercera ley de Kepler para encontrar el semieje mayor de Titán porque eso depende de la masa de Saturno, que es bastante diferente a la del Sol, hagamos de cuenta que no conocemos la constante para el sistema de Saturno. La buena noticia es que podemos medir el semieje mayor.
Los telescopios pueden realizar mediciones angulares muy finas, así que con un poco de trigonometría podemos calcular que el semieje mayor de Titán es de unos 1.200.000 km. Esto lo sabemos porque ya hemos calculado la distancia del Sol a Saturno y conocemos la distancia de la Tierra al Sol y sabemos dónde están ambos planetas en relación con sus respectivas órbitas.
Tiempo de cálculo
Para calcular la masa de Saturno hay que trabajar un poco más en la tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario, así que por suerte llegó Newton que descubrió que había una relación entre la masa y la velocidad a la que algo orbita, cuanto más pesado es el planeta más fuerte es la atracción sobre una de sus lunas y por tanto más rápido orbitará esa luna. Así que si se mide el periodo orbital de una luna de Saturno y se calcula el semieje mayor de esa luna entonces con un poco de matemáticas se puede calcular la masa de Saturno.
Esta fórmula da un poco de miedo al principio, pero en realidad es muy parecida a la tercera ley de Kepler, excepto que Newton puso un montón de cosas extra delante del cubo del semieje mayor (a³). Así que si sólo nos ocupamos de lo que hay delante de a³ y por encima de la línea, vemos que es cuatro veces el cuadrado de pi, que es siempre el mismo valor de aproximadamente 39,44.
Haciendo la fórmula un poco más sencilla
La parte que hay debajo de la línea es un poco más difícil. En primer lugar, la «G» es la constante gravitacional, que nos llevó mucho tiempo averiguar, pero que ahora sabemos que es de 0,0000000000667 m³/kgs². Las dos «M» representan la masa de Saturno y la de Titán. Se pueden reducir a una sola «M», porque podemos decir que la masa de Titán es tan pequeña comparada con la masa de Saturno que apenas supondría una diferencia en el cálculo. La masa de Saturno más la masa de Titán está muy cerca de la masa de Saturno, así que podemos ignorar la masa de Titán en el cálculo. Así que la fórmula se convierte en:
Sólo tenemos que hacer un poco de álgebra para que todo sea igual a M, porque ese es el valor que queremos encontrar.
Así que sabemos que «a» es 1.200.000 km pero lo necesitamos en metros que es 1.200.000.000 metros. Sabemos que «p» es 15,95 días, pero lo necesitamos en segundos, que son 1.378.080 segundos. Ya sabemos que la constante de G es 0,0000000000667 m³/kgs².
Si introducimos todos estos números en la fórmula anterior deberíamos obtener la masa de Saturno en kilogramos. Si se introducen esas cifras en una calculadora, se obtendrá 5,38 x 10²⁶kg, que se aproxima bastante a la cifra real de 5,68 x 10²⁶kg (unas 95 veces más masa que la de la Tierra).
Si se utilizan los datos de Iapetus, la cifra es mayor, 5,87 x10²⁶kg, y en el caso de Febe la cifra es mucho más cercana, 5.6 x 10²⁶kg, aunque necesitarás un telescopio muy potente para tomar medidas de Febe, ya que su magnitud es de 17,3, por lo que es muy tenue.
Ahí lo tienes, cómo calcular la masa de Saturno, todo lo que necesitabas era un telescopio, muchas noches despejadas, una calculadora y algunas fórmulas muy útiles calculadas por Kepler y Newton. Además, necesitabas todo el buen trabajo de un montón de científicos y astrónomos que descubrieron la unidad astronómica y la constante gravitacional. Lo increíble es que puedes hacer todo esto desde la superficie de la Tierra.
¡Bien, ahora ve y calcula la masa de Júpiter!