Jeg taler med en bred vifte af mennesker, når jeg holder teleskopvisningssessioner eller foredrag om astronomirelaterede emner. Et af de mest almindelige spørgsmål, jeg får, er “hvordan kender vi……?”. Det kan være “hvordan ved vi, hvor stor Saturn er”, eller “hvordan ved vi, hvor langt væk solen er”. Alle disse spørgsmål fremhæver videnskabens grundlæggende fremskridt i de sidste par århundreder og nogle af de mest banebrydende opdagelser, der er gjort af folk som Newton og Halley blandt en lang række af videnskabens pionerer. Jeg tænkte, at jeg ville dykke lidt ned i spørgsmålet om, hvordan vi kender Saturns masse.
I dag har vi fordelene af et par ligninger til at beregne værdien, men forestil dig, hvordan det må have været for de tidlige astronomer i 1600- og 1700-tallet, som først lige havde fået fordelene ved at bruge teleskoper og var begyndt at samle universets puslespil, begyndende med vores eget solsystem.
Find Saturns omløbstid
Lad os se på dette problem et skridt ad gangen, først skal vi vide, hvor lang tid det tager for Saturn at lave en omdrejning om Solen. Dette gøres simpelthen gennem observationer over en lang periode, og det er en af de vigtigste oplysninger for at forstå, hvor en planet passer ind i solsystemet. For Saturns vedkommende skal en observatør blot se Saturn følge sin bane gennem baggrundsstjernerne på ekliptika indtil 29 år senere, hvor den har lavet en hel omgang.
Da Jorden indhenter og passerer Saturn hvert år, laver planeten en smule retrograd og synes at gå mod vest i en kort periode hvert år, så vejen gennem ekliptika er ikke jævn. Bortset fra den lille retrograde bevægelse marcherer planeten hvert år langsomt hen over ekliptika mod øst. Så en omhyggelig observation af Saturn ville give et tal på 29,44 jordår for planeten til at lave en omgang rundt om Solen. Du kan selv måle det, du skal bare være meget tålmodig.
Når observatørerne vidste, at Solen var centrum i Solsystemet, kunne de relativt nemt beregne planeternes omløbstider. Kepler udarbejdede de tre love for planetarisk bevægelse i begyndelsen af 1600-tallet, og de blev brugt til at regne ud, hvor langt planeterne var væk fra Solen.
Keplers tredje lov for planetarisk bevægelse
Keplers tredje lov for planetarisk bevægelse siger, at kvadratet på en planets bane er lig med kuben af dens halvstore akse, så da man først havde opdaget dette forhold, kunne Kepler beregne den relative afstand, planeterne var fra Solen. For at beregne Saturns halvstorakse skal vi blot bruge omløbstiden, som vi allerede har fået gennem omhyggelig observation i løbet af de sidste 29 og lidt år.
I ovenstående beregning er de 9,534 somethings faktisk et mål, der kaldes astronomiske enheder. En astronomisk enhed er afstanden fra Jorden til Solen. Så hvis Jordens omløbstid er et år, så må kvadratet på det være lig med et og også lig med kuben af den halve storakse. Den halve storakse er en astronomisk enhed, og kuben af en er lig med en, så alt er i forhold til Jordens omløbstid og Jordens afstand til Solen, og derfor må svaret for Saturn også være i forhold til Jordens afstand til Solen.
Den astronomiske enhed
Tilbage i 1700 kendte forskerne ikke afstanden fra Jorden til Solen, og det krævede en hel del arbejde og omhyggelige observationer af Venus’ passage i 1761 og 1769 for endelig at regne ud, at afstanden var ca. 150.000.000 km. Da de først havde gjort det, vidste de, at Saturn må være 1.427.000.000.000.000 km fra Solen. Dette tal og afstanden fra Jorden til Solen og viden om, hvor Jorden og Saturn befinder sig i forhold til hinanden, kan gøre det muligt for os at bestemme afstanden fra Jorden til Saturn. Dette tal er vigtigt for at omdanne målte vinkelafstande til absolutte afstande i meter.
Titan
For at få Saturns masse skal vi finde en af Saturns måner, som vi kan foretage målinger af. Den lyseste er Titan med en magnitude på omkring +9,3, så med et rimeligt teleskop kan der foretages nogle ret nøjagtige målinger af dens omløbstid og halvstore akse.
Ved at observere Titan gennem et teleskop i et par måneder kan vi med en rimelig nøjagtighed bestemme, at den har en omløbstid på 15,95 dage. Vi kan ikke bruge Keplers tredje lov til at finde Titans halvstorakse, fordi den afhænger af Saturns masse – som er helt anderledes end Solens, lad os lade som om vi ikke kender konstanten for Saturn-systemet. Den gode nyhed er, at vi kan måle den halve storakse.
Teleskoper kan foretage meget fine vinkelmålinger, så med en smule trigonometri kan vi beregne Titans halve storakse til at være ca. 1.200.000 km. Det ved vi, fordi vi allerede har beregnet afstanden fra Solen til Saturn, og vi kender afstanden fra Jorden til Solen, og vi ved, hvor begge planeter befinder sig i forhold til hinanden i deres respektive baner.
Tid til at beregne
For at beregne Saturns masse skal der arbejdes lidt mere med Keplers tredje lov om planeternes bevægelse, så heldigvis kom Newton, som fandt ud af, at der var en sammenhæng mellem masse og den hastighed, hvormed noget kredser, jo tungere planeten er, jo stærkere tiltrækningen på en af dens måner er, og jo hurtigere vil den pågældende måne derfor kredse. Så hvis man måler omløbstiden for en af Saturns måner og beregner den pågældende månes halvstore akse, kan man med lidt matematik udregne Saturns masse.
Denne formel ser lidt skræmmende ud ved første øjekast, men den ligner faktisk meget Keplers tredje lov, bortset fra at Newton har proppet en hel masse ekstra ting foran kuben af den halve storakse (a³). Så hvis vi bare tager os af det, der er foran a³ og over stregen, kan vi se, at det er fire gange kvadratet på pi, hvilket altid er den samme værdi på ca. 39,44.
Makke formlen lidt enklere
Den del, der er under stregen, er lidt mere udfordrende. Først er “G” gravitationskonstanten, som det tog lang tid at regne ud, men vi ved nu, at den er 0,00000000000000667 m³/kgs². De to “M “er repræsenterer Saturns masse og Titans masse. De kan reduceres til ét “M”, fordi vi kan sige, at Titans masse er så lille i forhold til Saturns masse, at det næppe vil gøre en forskel i beregningen. Saturns masse plus Titans masse er meget tæt på Saturns masse alene, så vi kan faktisk se bort fra Titans masse i beregningen. Så formlen bliver:
Vi skal bare lave lidt algebra for at gøre det hele lig med M, fordi det er den værdi, vi vil finde.
Så vi ved, at “a” er 1.200.000 km, men vi skal bruge det i meter, som er 1.200.000.000 meter. Vi ved, at “p” er 15,95 dage, men vi skal bruge det i sekunder, hvilket er 1.378.080 sekunder. Vi ved allerede, at konstanten for G er 0,00000000000000667 m³/kgs².
Hvis vi sætter alle disse tal ind i ovenstående formel, bør vi få Saturns masse i kilogram. Hvis du sætter disse tal ind i en lommeregner, vil du få 5,38 x 10²⁶kg, hvilket er ret tæt på det virkelige tal på 5,68 x 10²⁶kg (ca. 95 gange mere masse end Jorden).
Hvis du brugte data for Iapetus, så er tallet større på 5,87 x 10²⁶kg, og for Phoebe er tallet meget tættere på 5.6 x 10²⁶kg, selv om du skal bruge et meget kraftigt teleskop for at tage målinger af Phoebe, da dens magnitude er 17,3, så den er meget svag.
Der har du det, hvordan du kan beregne Saturns masse, alt hvad du behøver var et teleskop, masser af klare nætter, en lommeregner og nogle meget praktiske formler, som Kepler og Newton har udtænkt. Desuden havde du brug for alt det gode arbejde, som masser af videnskabsmænd og astronomer har udført for at finde frem til den astronomiske enhed og gravitationskonstanten. Det utrolige er, at man kan gøre alt dette fra jordens overflade.
Okay, så gå nu ud og beregn Jupiters masse!