Ich spreche mit einer Vielzahl von Menschen, wenn ich Teleskopbeobachtungen oder Vorträge zu astronomischen Themen halte. Eine der häufigsten Fragen, die mir gestellt werden, lautet: „Wie können wir…… kennen?“. All diese Fragen verweisen auf den grundlegenden Fortschritt der Wissenschaft in den letzten Jahrhunderten und auf einige der bahnbrechendsten Entdeckungen, die von Pionieren wie Newton und Halley gemacht wurden. Ich dachte, ich würde mich ein wenig mit der Frage befassen, woher wir die Masse des Saturn kennen.
Heute haben wir den Vorteil einiger Gleichungen, um den Wert zu berechnen, aber stellen Sie sich vor, wie es für die frühen Astronomen des 16. und 17. Jahrhunderts gewesen sein muss, die gerade erst den Vorteil der Verwendung von Teleskopen erlangt hatten und begannen, die Rätsel des Universums zusammenzusetzen, angefangen mit unserem eigenen Sonnensystem.
Bestimmung der Umlaufzeit des Saturn
Wir wollen dieses Problem Schritt für Schritt angehen: zunächst müssen wir wissen, wie lange Saturn für einen Umlauf um die Sonne braucht. Dies wird einfach durch Beobachtungen über einen langen Zeitraum hinweg ermittelt und ist eine der wichtigsten Informationen, um zu verstehen, wo ein Planet in das Sonnensystem passt. Bei Saturn muss ein Beobachter nur beobachten, wie er sich durch die Hintergrundsterne auf der Ekliptik bewegt, bis er 29 Jahre später einen vollen Kreis vollzogen hat.
Da die Erde Saturn jedes Jahr einholt und passiert, macht der Planet eine kleine retrograde Bewegung und scheint jedes Jahr für eine kurze Zeit nach Westen zu gehen, so dass der Weg durch die Ekliptik nicht glatt ist. Abgesehen von der kleinen retrograden Bewegung wandert der Planet jedes Jahr langsam über die Ekliptik nach Osten. Bei sorgfältiger Beobachtung des Saturn ergibt sich also eine Zahl von 29,44 Erdenjahren, in denen der Planet eine Runde um die Sonne dreht. Man kann das selbst messen, man muss nur sehr geduldig sein.
Sobald die Beobachter wussten, dass die Sonne das Zentrum des Sonnensystems ist, konnten sie die Umlaufzeiten der Planeten relativ leicht berechnen. Kepler erarbeitete die drei Gesetze der Planetenbewegung in den frühen 1600er Jahren, und sie wurden verwendet, um herauszufinden, wie weit die Planeten von der Sonne entfernt waren.
Keplers drittes Gesetz der Planetenbewegung
Keplers drittes Gesetz der Planetenbewegung besagt, dass das Quadrat der Umlaufbahn eines Planeten gleich dem Kubus seiner Halbachse ist, so dass Kepler, sobald diese Beziehung entdeckt wurde, die relative Entfernung der Planeten von der Sonne berechnen konnte. Um die Halbachse des Saturn zu berechnen, brauchen wir nur die Umlaufzeit, die wir bereits durch sorgfältige Beobachtung in den letzten 29 und ein paar Jahren erhalten haben.
In der obigen Berechnung sind die 9,534 Tausendstel eigentlich ein Maß, das als astronomische Einheiten bezeichnet wird. Eine astronomische Einheit ist der Abstand zwischen der Erde und der Sonne. Wenn also die Umlaufzeit der Erde ein Jahr beträgt, dann muss das Quadrat davon gleich eins sein und auch gleich dem Kubus der Halbachse. Die Semi-Dur-Achse ist eine astronomische Einheit und der Kubus von eins ist gleich eins, so dass sich alles auf die Umlaufzeit der Erde und den Abstand der Erde von der Sonne bezieht, weshalb die Antwort für Saturn auch auf den Abstand der Erde von der Sonne bezogen sein muss.
Die Astronomische Einheit
Im Jahr 1700 kannten die Wissenschaftler die Entfernung zwischen Erde und Sonne noch nicht, und es bedurfte einiger Arbeit und sorgfältiger Beobachtungen des Venustransits in den Jahren 1761 und 1769, um schließlich herauszufinden, dass die Entfernung etwa 150.000.000 km beträgt. Danach wusste man, dass der Saturn 1.427.000.000.000 km von der Sonne entfernt sein musste. Mit dieser Zahl und der Entfernung von der Erde zur Sonne und dem Wissen, wo sich Erde und Saturn relativ zueinander befinden, können wir die Entfernung von der Erde zum Saturn bestimmen. Diese Zahl ist wichtig, um gemessene Winkelentfernungen in absolute Entfernungen in Metern umzuwandeln.
Titan
Um die Masse des Saturns zu bestimmen, müssen wir einen Saturnmond finden, an dem wir Messungen vornehmen können. Der hellste ist Titan mit einer Helligkeit von etwa +9,3, so dass man mit einem vernünftigen Teleskop ziemlich genaue Messungen seiner Umlaufzeit und seiner Hauptachse vornehmen kann.
Indem wir Titan ein paar Monate lang durch ein Teleskop beobachten, können wir seine Umlaufzeit von 15,95 Tagen mit einem angemessenen Genauigkeitsgrad bestimmen. Wir können das dritte Keplersche Gesetz nicht anwenden, um die Halbachse von Titan zu bestimmen, da diese von der Masse des Saturns abhängt – und die ist ganz anders als die der Sonne, nehmen wir an, wir kennen die Konstante für das Saturnsystem nicht. Die gute Nachricht ist, dass wir die Halbachse messen können.
Teleskope können sehr feine Winkelmessungen vornehmen, so dass wir mit ein wenig Trigonometrie die Halbachse von Titan auf etwa 1.200.000 km berechnen können. Wir wissen das, weil wir bereits die Entfernung von der Sonne zum Saturn berechnet haben und die Entfernung von der Erde zur Sonne kennen, und wir wissen, wo beide Planeten auf ihren jeweiligen Bahnen zueinander stehen.
Zeit zum Berechnen
Um die Masse des Saturns zu berechnen, muss man sich etwas mehr mit Keplers drittem Gesetz der Planetenbewegung befassen. Zum Glück kam Newton, der herausfand, dass es eine Beziehung zwischen der Masse und der Geschwindigkeit gibt, mit der etwas umkreist: Je schwerer ein Planet ist, desto stärker ist die Anziehungskraft auf einen seiner Monde und desto schneller wird dieser Mond umlaufen. Wenn man also die Umlaufzeit eines Saturnmondes misst und die Halbachse dieses Mondes berechnet, kann man mit ein bisschen Mathematik die Masse des Saturns berechnen.
Diese Formel sieht auf den ersten Blick etwas unheimlich aus, aber sie ist Keplers drittem Gesetz tatsächlich sehr ähnlich, außer dass Newton eine ganze Menge zusätzliches Zeug vor den Kubus der Halbachse (a³) gestopft hat. Wenn wir uns also nur mit dem Zeug vor a³ und oberhalb der Linie befassen, dann sehen wir, dass es das Vierfache des Quadrats von Pi ist, was immer der gleiche Wert von etwa 39,44 ist.
Die Formel ein bisschen einfacher machen
Das bisschen unter der Linie ist ein bisschen schwieriger. Zuerst ist das „G“ die Gravitationskonstante, die lange Zeit brauchte, um herauszufinden, aber wir wissen jetzt, dass sie 0,0000000000667 m³/kgs² beträgt. Die beiden „M“ stehen für die Masse des Saturn und die Masse des Titan. Diese können auf ein „M“ reduziert werden, da die Masse des Titan im Vergleich zur Masse des Saturn so winzig ist, dass sie bei der Berechnung kaum ins Gewicht fällt. Die Masse des Saturns plus die Masse des Titans kommt der Masse des Saturns sehr nahe, so dass wir die Masse des Titans bei der Berechnung praktisch ignorieren können. Die Formel lautet also:
Wir müssen nur ein wenig Algebra betreiben, um alles gleich M zu machen, denn das ist der Wert, den wir finden wollen.
So wissen wir, dass „a“ 1.200.000 km ist, aber wir brauchen das in Metern, was 1.200.000.000 Meter ist. Wir wissen, dass „p“ 15,95 Tage beträgt, aber wir brauchen die Angabe in Sekunden, die 1.378.080 Sekunden beträgt. Wir wissen bereits, dass die Konstante für G 0,0000000000667 m³/kgs² ist.
Wenn wir all diese Zahlen in die obige Formel einsetzen, sollten wir die Masse des Saturns in Kilogramm erhalten. Wenn man diese Zahlen in einen Taschenrechner einträgt, erhält man 5,38 x 10²⁶kg, was ziemlich nah an der realen Zahl von 5,68 x 10²⁶kg liegt (etwa 95-mal mehr Masse als die Erde).
Wenn man die Daten für Iapetus verwendet, ist die Zahl mit 5,87 x 10²⁶kg größer und für Phoebe liegt die Zahl viel näher bei 5.6 x 10²⁶kg. Allerdings braucht man ein sehr leistungsfähiges Teleskop, um Phoebe zu vermessen, da seine Helligkeit 17,3 beträgt, also sehr schwach ist.
Sie sehen also, wie man die Masse des Saturn berechnen kann. Alles, was man dazu brauchte, war ein Teleskop, viele klare Nächte, einen Taschenrechner und einige sehr praktische Formeln, die von Kepler und Newton entwickelt wurden. Außerdem brauchte man all die gute Arbeit von vielen Wissenschaftlern und Astronomen, die die astronomische Einheit und die Gravitationskonstante herausgefunden haben. Das Erstaunliche ist, dass man das alles von der Erdoberfläche aus machen kann.
Okay, jetzt geh und berechne die Masse des Jupiters!