Miksi oppia fraktaaleista?
Fraktaaleja on kaikkialla! Jos et usko minua, katso vaikka ikkunasi ulkopuolelle. Puiden ja pensaiden muodoista vuorten särmikkäisiin profiileihin ja epäsäännöllisiin rantaviivoihin, monet luonnollisen maailmamme piirteet näyttävät olevan fraktaaligeometrian mallintamia.
Mutta mikä tarkalleen ottaen on fraktaali? Kuten opit tässä moduulissa, fraktaali on objekti, joka osoittaa itsesimilaarisuutta kaikilla tasoilla. Toisin sanoen, kun zoomaat yhteen osaan, se muistuttaa koko kuvaa. Tämän itsesimilaarisuuden ei tarvitse olla täsmällistä, vaan monissa fraktaaleissa on jonkin verran vaihtelua tai satunnaisuutta. Alla on video, jossa havainnollistetaan, miten Mandelbrotin joukko, tunnettu fraktaali, osoittaa itsesimilaarisuutta.
Vaikka jotkin fraktaalit (kuten Mandelbrotin joukko) voisivat kelvata taideteoksiksi, fraktaalien todellinen kauneus piilee siinä, miten näin monimutkaiset kuviot ja kuviot voivat saada alkunsa hyvin alkeellisista generointikaavoista tai -säännöistä.
Tässä moduulissa opit luomaan Mandelbrotin joukon kaltaisia fraktaalikuvioita käyttämällä yksinkertaista kaavaa, kuten:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Tietysti on monia yksityiskohtia, jotka on vielä selitettävä, kuten fraktaalien ja kompleksilukujen välinen suhde. Yllä olevassa kaavassa olevien c:n, z_n:n ja z_{n+1}:n arvojen oletetaan olevan kompleksilukuja eli lukuja, jotka sisältävät imaginääriyksikön i = \sqrt{-1}.
Imaginääriluku i on jotakin täysin erilaista kuin mikään koskaan näkemäsi luku. Itse asiassa i ei näy lainkaan lukujonossa! Sen sijaan, kuten pian huomaat, imaginääriyksikkö elää omalla erillisellä lukujonollaan, jota kutsutaan imaginääriakseliksi ja joka on kohtisuorassa tavanomaiseen lukujonoon (tai reaaliakseliin) nähden.
Itse Mandelbrotin joukko koostuu kompleksiluvuista, jotka täyttävät tietyn yksinkertaiseen yhtälöön liittyvän säännön. Tuloksena syntyvä kuva on hämmästyttävä, ja se vain muuttuu yhä kiehtovammaksi, kun sitä tarkentaa!
Mandelbrotin joukko kompleksitasossa.