Keskustelen monenlaisten ihmisten kanssa tehdessäni teleskooppitarkkailuja tai puhuessani tähtitiedeaiheista. Yksi yleisimmistä kysymyksistä, joita saan, on ”miten me tiedämme……?”. Se voi olla ”mistä tiedämme, kuinka suuri Saturnus on” tai ”mistä tiedämme, kuinka kaukana Aurinko on”. Kaikki nämä kysymykset korostavat tieteen perustavanlaatuista edistystä viime vuosisatojen aikana ja eräitä uraauurtavia löytöjä, joita ovat tehneet Newtonin ja Halleyn kaltaiset henkilöt, jotka ovat kuuluneet tieteen uranuurtajien pitkään luetteloon. Ajattelin syventyä hieman kysymykseen siitä, mistä tiedämme Saturnuksen massan.
Tänä päivänä meillä on käytössämme muutama yhtälö arvon laskemiseksi, mutta kuvitelkaa, millaista sen on täytynyt olla 1600- ja 1700-lukujen varhaisille tähtitieteilijöille, jotka olivat vasta päässeet käyttämään teleskooppeja ja jotka alkoivat koota yhteen maailmankaikkeuden arvoituksia omasta aurinkokunnastamme alkaen.
Saturnuksen kiertoaikajakson selvittäminen
Katsotaanpa tätä ongelmaa vaihe vaiheelta, ensin on tiedettävä, kauanko Saturnukselta kuluu aikaa yhteen Auringon kiertoon. Tämä tehdään yksinkertaisesti pitkän ajanjakson aikana tehtyjen havaintojen avulla, ja se on yksi tärkeimmistä tiedoista sen ymmärtämiseksi, mihin planeetta sopii aurinkokunnassa. Saturnuksen osalta tarkkailijan on vain seurattava Saturnuksen rataa taustatähtien läpi ekliptikolla, kunnes 29 vuotta myöhemmin se on tehnyt yhden täyden kierroksen.
Koska Maa saavuttaa Saturnuksen ja ohittaa sen joka vuosi, planeetta tekee pienen taantumuksen ja näyttää menevän joka vuosi lyhyeksi ajaksi länteen, joten rata ekliptikolla ei ole tasainen. Pientä retrogradista liikettä lukuun ottamatta planeetta marssii joka vuosi hitaasti ekliptikan poikki itään. Saturnuksen huolellisen tarkkailun perusteella planeetta tekee yhden kierroksen Auringon ympäri 29,44 Maan vuoden aikana. Voit mitata sen itsekin, sinun on vain oltava hyvin kärsivällinen.
Kun havaitsijat tiesivät, että Aurinko on aurinkokunnan keskus, he pystyivät suhteellisen helposti laskemaan planeettojen kiertoajat. Kepler kehitti kolme planeettojen liikkeen lakia 1600-luvun alussa, ja niiden avulla voitiin selvittää, kuinka kaukana planeetat olivat Auringosta.
Keplerin kolmas planeettojen liikkeen laki
Keplerin kolmas planeettojen liikkeen laki sanoo, että planeetan kiertoradan neliö on yhtä suuri kuin planeettojen puolisuurten akselien kuutio, joten kun tämä suhde oli löydetty, niin sitten Kepler pystyi laskemaan planeettojen suhteellisen etäisyyden Auringosta. Saturnuksen puolisuuren akselin laskemiseksi tarvitsemme vain kiertoaikajakson, jonka saimme jo viimeisten 29 ja vähän vuosien huolellisen havainnoinnin avulla.
Yllä olevassa laskelmassa 9,534 somaa on itse asiassa mitta, jota kutsutaan tähtitieteellisiksi yksiköiksi. Yksi tähtitieteellinen yksikkö on etäisyys Maasta Aurinkoon. Jos siis Maan kiertoaika on yksi vuosi, niin sen neliön on oltava yhtä suuri kuin yksi ja myös yhtä suuri kuin puolen pääakselin kuutio. Puoliväliakseli on yksi tähtitieteellinen yksikkö, ja sen kuutio on yhtä suuri kuin yksi, joten kaikki on ilmaistu Maan kiertoaikana ja Maan etäisyytenä Auringosta, minkä vuoksi Saturnuksen vastauksen on oltava myös ilmaistu Maan etäisyytenä Auringosta.
Tähtitieteellinen yksikkö
Taannoin 1700-luvulla tiedemiehet eivät tienneet Maan ja Auringon välistä etäisyyttä, ja tarvittiin melko paljon työtä ja pikkutarkkoja havaintoja Venuksen kauttakulkutapahtumasta vuosina 1761 ja 1769, ennen kuin lopulta saatiin selville, että etäisyys oli noin 150.000.000 km. Kun tämä oli saatu selville, tiedettiin, että Saturnuksen on oltava 1,427,000,000,000 km päässä Auringosta. Tämän luvun ja Maan ja Auringon välisen etäisyyden perusteella sekä tietäen, missä etäisyydellä Maa ja Saturnus ovat toisiinsa nähden, voimme määrittää etäisyyden Maasta Saturnukseen. Tämä luku on tärkeä, jotta voimme muuttaa mitatut kulmaetäisyydet absoluuttisiksi etäisyyksiksi metreinä.
Titaani
Saturnuksen massan saamiseksi meidän on löydettävä Saturnuksen kuu, josta voimme tehdä mittauksia. Kirkkain niistä on Titan, jonka magnitudi on noin +9,3, joten kohtuullisella teleskoopilla voidaan tehdä melko tarkkoja mittauksia sen kiertoaikajaksosta ja puolittaisesta pääakselista.
Tarkkailemalla Titania teleskoopin läpi parin kuukauden ajan pystymme kohtuullisella tarkkuudella määrittämään sen kiertoaikajakson 15,95 päiväksi. Emme voi käyttää Keplerin kolmatta lakia löytääksemme Titanin puolipääakselin, koska se riippuu Saturnuksen massasta – joka on aivan erilainen kuin Auringon massa, olettakaamme, ettemme tiedä Saturnuksen järjestelmän vakiota. Hyvä uutinen on, että voimme mitata puolisuuren akselin.
Teleskoopit voivat tehdä hyvin hienoja kulmamittauksia, joten pienellä trigonometrialla voimme laskea Titanin puolisuuren akselin olevan noin 1 200 000 km. Tiedämme tämän, koska olemme jo laskeneet etäisyyden Auringosta Saturnukseen ja tiedämme etäisyyden Maasta Aurinkoon ja tiedämme, missä molemmat planeetat ovat suhteessa toisiinsa omilla kiertoradoillaan.
Aika laskea
Saturnuksen massan laskemiseksi on tehtävä hieman enemmän työtä Keplerin kolmannen planeettojen liikkeen lain parissa, joten onneksi tuli Newton, joka keksi, että massan ja jonkin asian kiertonopeuden välillä on yhteys: mitä painavampi planeetta, sitä voimakkaampi vetovoima kohdistuu johonkin sen kuuhun ja siksi sitä nopeammin kyseinen kuu kiertää. Jos siis mitataan Saturnuksen kuun kiertoaika ja saadaan selville kyseisen kuun puolittainen pääakseli, voidaan pienellä matematiikalla laskea Saturnuksen massa.
Tämä kaava näyttää aluksi hieman pelottavalta, mutta se on itse asiassa hyvin samankaltainen kuin Keplerin kolmas laki, paitsi että Newton tunki paljon ylimääräistä tavaraa puolitoistakertaisen suurten akselien kuution (a³) eteen. Jos siis käsittelemme vain a³:n edessä ja viivan yläpuolella olevat asiat, huomaamme, että se on neljä kertaa pi:n neliö, joka on aina sama arvo, noin 39,44.
Hieman yksinkertaisempi kaava
Viivan alapuolella oleva osa on hieman haastavampi. Ensinnäkin ”G” on gravitaatiovakio, jonka selvittäminen kesti kauan, mutta nyt tiedämme sen olevan 0,0000000000667 m³/kgs². Kaksi ”M”:ää edustavat Saturnuksen massaa ja Titanin massaa. Nämä voidaan vähentää yhdeksi ”M”:ksi, koska voidaan sanoa, että Titanin massa on niin pieni Saturnuksen massaan verrattuna, että sillä tuskin on merkitystä laskennassa. Saturnuksen massa lisättynä Titanin massalla on hyvin lähellä Saturnuksen massaa, joten voimme käytännössä jättää Titanin massan huomiotta laskennassa. Kaavasta tulee siis:
Meidän täytyy vain tehdä hieman algebraa, jotta kaikki saadaan yhtäsuuriksi M:n kanssa, koska sen arvon haluamme löytää.
Tiedämme siis, että ”a” on 1 200 000 kilometriä, mutta tarvitsemme sen metreinä, joka on 1 200 000 000 metriä. Tiedämme, että ”p” on 15,95 päivää, mutta tarvitsemme sen sekunteina eli 1 378 080 sekuntia. Tiedämme jo, että G:n vakio on 0,0000000000667 m³/kgs².
Jos liitämme kaikki nämä luvut yllä olevaan kaavaan, saamme Saturnuksen massan kilogrammoina. Jos kytket nuo luvut laskimeen, saat tulokseksi 5,38 x 10²⁶kg, joka on melko lähellä todellista lukua 5,68 x 10²⁶kg (noin 95 kertaa enemmän massaa kuin maapallolla).
Jos käytit Iapetoksen tietoja, luku on suurempi, 5,87 x 10²⁶kg, ja Phoeben luku on paljon lähempänä 5.6 x 10²²⁶kg, tosin Phoeben mittaamiseen tarvitaan erittäin tehokas kaukoputki, koska sen magnitudi on 17,3, joten se on hyvin hämärä.
Siinä se on, miten Saturnuksen massa lasketaan, tarvitaan vain kaukoputki, paljon kirkkaita öitä, laskin ja joitakin käteviä kaavoja, jotka Kepler ja Newton ovat keksineet. Lisäksi tarvittiin kaikkien niiden tiedemiesten ja tähtitieteilijöiden hyvää työtä, jotka keksivät tähtitieteellisen yksikön ja gravitaatiovakion. Hämmästyttävää on, että kaiken tämän voi tehdä Maan pinnalta käsin.
Okei, mene nyt laskemaan Jupiterin massa!