Je parle à un large éventail de personnes lors de séances d’observation au télescope ou de conférences sur des sujets liés à l’astronomie. L’une des questions les plus courantes que je reçois est « comment savons-nous…… ? ». Toutes ces questions soulignent les progrès fondamentaux de la science au cours des derniers siècles et certaines des découvertes les plus révolutionnaires faites par des gens comme Newton et Halley, parmi une longue liste de pionniers de la science. J’ai pensé approfondir un peu la question de savoir comment nous connaissons la masse de Saturne.
De nos jours, nous avons l’avantage d’une quelques équations pour calculer la valeur mais imaginez ce que cela a dû être pour les premiers astronomes des années 1600 et 1700 qui venaient tout juste d’obtenir l’avantage d’utiliser des télescopes et commençaient à reconstituer les puzzles de l’univers, à commencer par notre propre système solaire.
Déterminer la période orbitale de Saturne
Regardons ce problème une étape à la fois, d’abord nous devons savoir combien de temps il faut à Saturne pour faire une rotation du Soleil. Cela se fait simplement par des observations sur une longue période de temps et c’est l’une des informations clés pour comprendre où se situe une planète dans le système solaire. Pour Saturne, un observateur n’a qu’à regarder la trajectoire de Saturne à travers les étoiles d’arrière-plan sur l’écliptique jusqu’à 29 ans plus tard, lorsqu’elle a fait un tour complet.
Parce que la Terre rattrape et passe devant Saturne chaque année, la planète fait un peu de rétrogradation et semble aller vers l’Ouest pendant une courte période chaque année, de sorte que la trajectoire à travers l’écliptique n’est pas lisse. Hormis le petit mouvement rétrograde, chaque année, la planète traverse lentement l’écliptique vers l’est. Une observation attentive de Saturne donnerait donc un chiffre de 29,44 années terrestres pour que la planète fasse un tour du Soleil. Vous pouvez le mesurer vous-même, il vous faudra juste être très patient.
Une fois que les observateurs ont su que le Soleil était le centre du système solaire, ils ont pu calculer relativement facilement les périodes orbitales des planètes. Kepler a élaboré les trois lois du mouvement planétaire au début des années 1600 et elles ont été utilisées pour déterminer la distance entre les planètes et le Soleil.
Troisième loi du mouvement planétaire de Kepler
La troisième loi du mouvement planétaire de Kepler stipule que le carré de l’orbite d’une planète est égal au cube de son demi-grand axe, donc une fois que cette relation a été découverte, Kepler a pu calculer la distance relative entre les planètes et le Soleil. Pour calculer le demi-grand axe de Saturne, tout ce dont nous avons besoin est la période orbitale que nous avons déjà obtenue par une observation minutieuse au cours des 29 et quelques dernières années.
Dans le calcul ci-dessus, les 9,534 machins sont en fait une mesure appelée unités astronomiques. Une unité astronomique est la distance entre la Terre et le Soleil. Ainsi, si la période orbitale de la Terre est d’un an, le carré de cette période doit être égal à un et également égal au cube du demi-grand axe. Le demi-grand axe est une unité astronomique et le cube de un est égal à un donc tout est en termes de période orbitale de la Terre et de la distance de la Terre au Soleil, d’où la raison pour laquelle la réponse pour Saturne doit aussi être en termes de distance de la Terre au Soleil.
L’unité astronomique
En 1700, les scientifiques ne connaissaient pas la distance de la Terre au Soleil et il leur a fallu pas mal de travail et des observations méticuleuses du transit de Vénus en 1761 et 1769 pour finalement arriver à savoir que la distance était d’environ 150 000 000 km. Une fois ce résultat obtenu, ils ont su que Saturne devait se trouver à 1 427 000 000 000 km du Soleil. Ce chiffre et la distance de la Terre au Soleil et le fait de savoir où se trouvent la Terre et Saturne l’une par rapport à l’autre peuvent nous permettre de déterminer la distance de la Terre à Saturne. Ce chiffre est important pour transformer les distances angulaires mesurées en distances absolues en mètres.
Titan
Pour obtenir la masse de Saturne, nous devons trouver une lune de Saturne sur laquelle nous pouvons prendre des mesures. Le plus brillant est Titan à environ une magnitude de +9,3 donc avec un télescope raisonnable, certaines mesures assez précises peuvent être faites de sa période orbitale et de son demi-grand axe.
En observant Titan à travers un télescope pendant quelques mois, nous pouvons déterminer qu’il a une période orbitale de 15,95 jours à un degré raisonnable de précision. Nous ne pouvons pas utiliser la troisième loi de Kepler pour trouver le demi-grand axe de Titan car cela dépend de la masse de Saturne – qui est très différente de celle du Soleil, faisons comme si nous ne connaissions pas la constante pour le système de Saturne. La bonne nouvelle est que nous pouvons mesurer le demi-grand axe.
Les télescopes peuvent prendre des mesures angulaires très fines donc avec un peu de trigonométrie nous pouvons calculer le demi-grand axe de Titan à environ 1 200 000 km. Nous le savons parce que nous avons déjà calculé la distance du Soleil à Saturne et nous connaissons la distance de la Terre au Soleil et nous savons où les deux planètes sont l’une par rapport à l’autre dans leurs orbites respectives.
Temps pour calculer
Pour calculer la masse de Saturne il faut travailler un peu plus sur la troisième loi du mouvement planétaire de Kepler, heureusement est arrivé Newton qui a compris qu’il y avait une relation entre la masse et la vitesse à laquelle quelque chose orbite, plus la planète est lourde plus l’attraction sur une de ses lunes est forte et donc plus cette lune va orbiter vite. Donc si vous mesurez la période orbitale d’une lune de Saturne et que vous travaillez sur le semi grand axe de cette lune alors avec un peu de maths vous pouvez calculer la masse de Saturne.
Cette formule semble un peu effrayante au premier abord mais elle est en fait très similaire à la troisième loi de Kepler, sauf que Newton a bourré tout un tas de trucs supplémentaires devant le cube du demi-grand axe (a³). Donc, si on s’occupe juste du truc devant le a³ et au-dessus de la ligne, alors on voit que c’est quatre fois le carré de pi, qui est toujours la même valeur d’environ 39,44.
Faire la formule un peu plus simple
Le bit sous la ligne est un peu plus difficile. Tout d’abord, le « G » est la constante gravitationnelle qui a été longue à déterminer mais nous savons maintenant qu’elle est de 0,0000000000667 m³/kgs². Les deux « M » représentent la masse de Saturne et la masse de Titan. On peut les réduire à un seul « M », car on peut dire que la masse de Titan est si minuscule par rapport à la masse de Saturne qu’elle ne ferait guère de différence dans le calcul. La masse de Saturne plus la masse de Titan est très proche de la seule masse de Saturne, donc nous pouvons effectivement ignorer la masse de Titan dans le calcul. La formule devient donc :
Il nous suffit de faire un peu d’algèbre pour que tout soit égal à M, car c’est la valeur que nous voulons trouver.
Donc nous savons que « a » est de 1 200 000 km mais nous avons besoin de cette valeur en mètres qui est de 1 200 000 000 mètres. Nous savons que « p » est de 15,95 jours, mais nous avons besoin de cette valeur en secondes, soit 1 378 080 secondes. Nous savons déjà que la constante de G est de 0,0000000000667 m³/kgs².
Si nous introduisons tous ces chiffres dans la formule ci-dessus, nous devrions obtenir la masse de Saturne en kilogrammes. Si vous branchez ces chiffres dans une calculatrice, vous obtiendrez 5,38 x 10²⁶kg, ce qui est assez proche du chiffre réel de 5,68 x 10²⁶kg (environ 95 fois plus de masse que la Terre).
Si vous avez utilisé les données pour Iapetus, alors le chiffre est plus grand à 5,87 x10²⁶kg et pour Phoebe le chiffre est beaucoup plus proche 5.6 x 10²⁶kg, bien que vous aurez besoin d’un télescope très puissant pour prendre des mesures de Phoebe étant donné sa magnitude est de 17,3 donc très faible.
Voilà, comment calculer la masse de Saturne, tout ce dont vous aviez besoin était un télescope, beaucoup de nuits claires, une calculatrice et quelques formules très pratiques élaborées par Kepler et Newton. Sans oublier le travail de nombreux scientifiques et astronomes qui ont mis au point l’unité astronomique et la constante gravitationnelle. La chose la plus étonnante est que vous pouvez faire tout cela depuis la surface de la Terre.
Ok, maintenant allez calculer la masse de Jupiter!